Zestaw 1

Statystyka I - seria 1
1. Wykonujemy n doświadczeń losowych, z których każde kończy sie˛ sukcesem z prawdopodobieństwem θ. Wiadomo, że θ ∈ [θ1 , θ2 ], gdzie θ1 , θ2 sa˛ ustalone. Sformułować model statystyczny tego eksperymentu.
P
próba˛ losowa˛ z rozkładu Poissona Poi( λ) i niech T = ni=1 Xi .
2. Niech X1 , X2 , ..., Xn bedzie
˛
Wyznaczyć rozkład warunkowy zmiennej X1 pod warunkiem T = t.
3. Niech Y bedzie
zmienna˛ losowa˛ o rozkładzie wykładniczym Exp(1). Niech X oznacza zmienna˛
˛
losowa,
˛ której rozkład warunkowy przy ustalonej wartości y zmiennej Y jest rozkładem Poissona Poi(y). Znaleźć rozkład zmiennej X oraz rozkład warunkowy PY |X zmiennej losowej Y
pod warunkiem X.
4. Niech X bedzie
zmienna losowa˛ o rozkładzie z ciagł
˛
˛ a˛ i ściśle rosnac
˛ a˛ dystrybuanta˛ F. Pokazać,
że zmienna losowa Y = F (X) ma rozkład jednostajny U(0, 1).
próba˛ losowa˛ z rozkładu o gestości
f. Wyznaczyć rozkład statystyki
5. Niech X1 , X2 , ..., Xn bedzie
˛
˛
pozycyjnej Xk:n .
6. Niech X ∼ G(a, p), Y ∼ G(b, p), przy czym zmienne X, Y sa˛ niezależne. Udowodnić, że
X + Y ∼ G(a + b, p).
próba˛ losowa˛ z rozkładu wykładniczego Exp(λ). Wyznaczyć rozkład
7. Niech X1 , X2 , ..., Xn bedzie
˛
Y = 2λΣni=1 Xi .
8. Niech X ∼ N (0, 1) . Wyznaczyć rozkład zmiennej X 2 .
9. Niech X1 , X2 , ..., X
˛ a˛ niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu N (0, 1) . Wyznaczyć
n b ed
P
rozkład zmiennej ni=1 Xi2 .
10. Niech X ∼ N (0, 1) , Y ∼ χ2 (n) , przy czym X, Y sa˛ niezależne. Pokazać, że zmienna losowa
Z = √X ma rozkład t (n) .
Y /n
11. Niech X ∼ χ2 (n) , Y ∼ χ2 (m) , przy czym X, Y sa˛ niezależne. Pokazać, że zmienna losowa
Z = YX/n
/m ma rozkład Fn,m .
12. Niech X = (X1 , X2 , ..., Xn )T ∼ N (μ, C) i niech Y = A(X − μ), gdzie A jest pewna˛ macierza˛
nieosobliwa.
˛ Wykazać, że
a) Y ∼ N (0, B) . Wyznaczyć macierz B.
b) jeżeli macierz A jest ortonormalna, oraz μ = 0, to
Pn
2
i=1 Xi
=
Pn
2
i=1 Yi ,
c) je
X1 , X2 , ..., Xn sa˛ niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
¡
¢
¢
¡ żeli2ponadto
N 0, σ , to również Y1 , Y2 , ..., Yn sa˛ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N 0, σ 2 .
1
13. Niech W = (wij )i,j=1,...,n , gdzie
1
√ , j = 1, 2, ..., n,
n
1
, i = 2, 3, ..., n; j < i,
= p
i (i − 1)
r
i−1
, i = 2, 3, ..., n
= −
i
= 0, j > i,
w1j =
wij
wii
wij
¢
¡
Niech X1 , X2 , ..., Xn bed
˛ a˛ niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N μ, σ 2 i niech
Y = WX, gdzie X = (X1 , X2 , ..., Xn )T . Pokazać, że
a) W jest macierza˛ ortonormalna,
˛
√
b) Y1 = nX̄,
P
P
c) ni=2 Yi2 = ni=1 (Xi − X̄)2 ,
P
d) Zmienne losowe X̄ oraz ni=1 (Xi − X̄)2 sa˛ niezależne,
P
e) Wyznaczyć rozkład X̄ oraz ni=1 (Xi − X̄)2 /σ 2 .
14. Pokazać, że w modelu normalnym zmienna losowa
ma rozkład t (n − 1) .
2
√
n(X̄−μ)
,
S
gdzie S 2 =
1
n−1
Pn
i=1 (Xi
− X̄)2