1.61. Uogólniająca parafraza teorii prawdy Tarskiego w języku teorii

Adam Nowaczyk
Uogólniająca parafraza teorii prawdy Tarskiego w języku teorii mnogości
i jej filozoficzne implikacje
J. Pelc (red.) Deskrypcje i prawda, BMS, Warszawa 2010, s. 187 – 208.
Parafrazą nazywamy tutaj to, czego przykładu dostarczył Ajdukiewicz
formułując tezę transcendentalnego idealizmu w języku teorii systemów dedukcyjnych1. Chodzi zatem o interpretację tezy lub pojęcia filozoficznego z wykorzystaniem pewnych narzędzi formalnych. Mówiąc o teorii prawdy Tarskiego
mamy na myśli koncepcję przedstawioną w jego słynnej rozprawie z roku
19332, spopularyzowaną następnie w roku 19443. Rozważania te nie dotyczą
pojęcia prawdy zrelatywizowanego do tzw. modeli semantycznych języków
sformalizowanych. Pojęcie to, zwane teoriomodelowym pojęciem prawdy w pojawiło się publikacjach Tarskiego w latach pięćdziesiątych i stało się centralnym
pojęciem metalogiki.4 Chociaż są autorzy, którzy nie dostrzegają między tymi
dwoma pojęciami istotnej różnicy5, to jednak w polu zainteresowań większości
filozofów znalazło się to pierwsze. Ono to stało się przedmiotem licznych krytyk, radykalnie odmiennych interpretacji i ocen. Teoriomodelowe pojęcie prawdy, poddane następnie licznym uogólnieniom6, nie jest przedmiotem sporów o
interpretację, jego teoretyczna użyteczność na gruncie metalogiki nie jest kwestionowana, natomiast na ogół nie przypisuje się mu istotnego znaczenia dla
rozwiązywania dylematów filozoficznych.
Ktoś mógłby zauważyć, że żadna parafraza w stylu Ajdukiewicza nie jest
tu potrzebna, ponieważ sam Tarski przedstawił swoją koncepcję korzystając z
narzędzi formalnych i wyłożył ją szczegółowo z najwyższą starannością. To
prawda, a jednak rodzi ona pytania, wokół których po dziś dzień toczą się spory.
Parafraza w stylu Ajdukiewicza jest zatem w tym przypadku zabiegiem hermeneutycznym, który może pomóc pewne kontrowersje rozstrzygnąć
Tutaj będzie nam chodziło przede wszystkim o jedno z owych pytań: Czy
pojęcie prawdy wymaga relatywizacji do języka? Jest to — jak zobaczymy
1
W artykule „Problemat transcendentalnego idealizmu w sformułowaniu semantycznym”, vide: K.
Ajdukiewicz., Język i poznanie t. I, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 264 – 277.
2
Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych, Warszawa 1933. Tę i inne rozprawy Tarskiego cytuję wg wydania zbiorowego pod redakcją Jana Zygmunta: Alfred Tarski, Pisma logiczno-filozoficzne,
tom I Prawda, tom II Metalogika, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 1995, 2001, skracając odnośnik
do Prawda lub Metalogika.
3
Chodzi o „The semantic conception of truth and foundation of semantics”, Przekład polski w Prawda
s. 228 – 282.
4
Ale jeszcze w opublikowanym w roku 1969 popularnym artykule „Truth and proof” (przekład polski
w Prawda, s. 293 – 332) powraca do koncepcji z lat trzydziestych.
5
W niektórych podręcznikach logiki omawia się teoriomodelowe pojęcie prawdy wskazując na rozprawę Tarskiego z 1933 roku jako na źródło.
6
Między innymi przez R. Montague i S. Kripkego.
1
— kwestia, w której opinie filozofów są rozbieżne, a pewne wypowiedzi samego Tarskiego rozmijają się z jego praktyką.
Chociaż Tarski utrzymywał zażyłe stosunki z filozofami, zarówno z warszawskimi jak i wiedeńskimi, domeną jego zainteresowań była nie filozofia, lecz
logika i metamatematyka — dyscyplina uprawiana podówczas w getyngeńskiej
szkole Hilberta. Można zatem przypuszczać, że nie zainteresowałby się pojęciem prawdy, gdyby nie zauważył, że pojęcie to występuje w sposób zakamuflowany w dociekaniach metamatematycznych.7 Zauważył jednakże zarazem —
czemu sprzyjały jego kontakty z polskimi filozofami (a zwłaszcza z Kotarbińskim) — że kryje się za tym pojęcie bliskie „klasycznemu”, czyli odpowiadającemu idei korespondencji (jako „zgodności z rzeczywistością”) filozoficznemu
pojęciu prawdy. Dlatego właśnie rozpoczął swoje dociekania od pytania, czy
pojęciem tym można posługiwać się odpowiedzialnie i bezpiecznie na gruncie
języka naturalnego. Odpowiedź negatywna skłoniła go do zajęcia się wyłącznie
pojęciem zdania prawdziwego w sformalizowanych językach „nauk dedukcyjnych”. Tego ograniczenia nie zależy — naszym zdaniem — lekceważyć, ponieważ wiąże się z nim określona koncepcja języka oraz teorii będącej „nauką dedukcyjną”. Wprawdzie w przekładzie na niemiecki Tarski używa określenia „języki sformalizowane” (formalisierten Sprachen), zaś w późniejszej publikacji8
rozważa możliwość zastosowania swojej koncepcji w metodologii nauk empirycznych, to jednak pojęcie języka, którym się posługuje, nie uległo tu istotnym
zmianom. Natomiast filozofów interesuje przede wszystkim możliwość zastosowania wyników uzyskanych przez Tarskiego w odniesieniu do języków naturalnych, przy czym mają oni na uwadze różne wizje tego, czym są owe języki.
Warto tu zauważyć, że zanim zainteresował się pojęciem prawdy, Tarski
zajmował się innymi pojęciami z dziedziny metamatematyki, którą sam nazywał
„metodologią nauk dedukcyjnych”. Wyniki swoich dociekań przedstawił w obszernej rozprawie opublikowanej w roku 1930 w języku niemieckim.9 W tejże
rozprawie poświęconej pojęciu konsekwencji i szeregowi pojęć pochodnych
czytamy:
„Ściśle biorąc, metamatematyki nie należy uważać za pojedynczą teorię. Albowiem w
celu zbadania dowolnej nauki dedukcyjnej trzeba skonstruować dla niej specjalną metanaukę. Studia niniejsze mają jednak charakter ogólniejszy: ich celem jest sprecyzowanie szeregu ważnych pojęć metamatematycznych wspólnych metanaukom szczegółowym, i ugruntowanie podstawowych własności tych pojęć. W wyniku tego podejścia
pewne pojęcia, które na gruncie metanauk szczegółowych dają się zdefiniować, w niniejszej pracy uważane będą za pierwotne i zostaną scharakteryzowane za pomocą aksjomatów.”10
7
Pod postacią określeń: Gültigkeit i Richtigkeit.
Chodzi o „The semantic conception of truth and foundation of semantics”, patrz przypis 3.
9
Pod tytułem „Fundamentale Begriffe der Methodologie der deductiven Wissemschaften”, przekład
polski w Metalogika s. 31 – 92.
10
Metalogika, s. 32.
8
2
Jak widać, Tarski dostrzegał możliwość przypisania pojęciom metamatematyki definiowanym dotychczas oddzielnie dla każdej „nauki dedukcyjnej”
sensu bardziej ogólnego, przy którym mogą one odnosić się do wielu takich nauk. Zauważa przy tym, że pewne spośród takich pojęć muszą być potraktowane
jako pierwotne, zatem scharakteryzowane wyłącznie za pomocą aksjomatów,
inne zaś — zdefiniowane za ich pomocą, jako pojęcia wtórne. I rzeczywiście,
Tarski przyjął tu za pierwotne pojęcia zdania i konsekwencji i za ich pomocą
wprowadził cały szereg pojęć wtórnych (m. in. pojęcie systemu dedukcyjnego,
jego niesprzeczności, zupełności i aksjomatyzowalności).
Czy można się było spodziewać, że podobne podejście zastosuje do pojęcia zdania prawdziwego, nadając swoim dociekaniom charakter równie ogólny
jak w przypadku teorii konsekwencji? Jak wiadomo, wielu filozofów czegoś takiego oczekiwało i miało za złe Tarskiemu, iż nie zapewnił pojęciu prawdy jakiegoś sensu ogólnego. A jak wiadomo, Tarski zdefiniował pojęcie zdania
prawdziwego wyłącznie dla konkretnego języka sformalizowanego algebry klas,
czyli w ramach „specjalnej metanauki”. Dlaczego?
Być może zauważył, że będzie musiał potraktować pojęcie zdania prawdziwego jako pierwotne, czego starał się uniknąć ze względu na groźbę znanej
antynomii. Natomiast wiele przemawia za tym, że powód był inny. Tarski był
niewątpliwie świadom tego, iż ogólne pojęcie zdania prawdziwego powinno być
zrelatywizowane do języka. Już na wstępie swojej rozprawy zauważył, że:
„...to samo wyrażenie może być zdaniem prawdziwym w jednym języku, a na gruncie
innego okazać się zdaniem fałszywym lub wyrażeniem pozbawionym sensu.”11
Wskazuje to wymownie na potrzebę relatywizacji do języka; jednakże już
w następnym zdaniu Tarski zapowiada:
„O jednej ogólnej definicji rozważanego terminu nie będzie tu w ogóle mowy: interesujące nas zagadnienie rozpadnie się na szereg oddzielnych zagadnień, dotyczących
poszczególnych języków.”
Natomiast w końcowych partiach rozprawy zauważa, że:
„Z chwilą, gdy rozważania dotyczą większej liczby języków, nazwa «zdanie prawdziwe» przestaje być jednoznaczna; dla uniknięcia wieloznaczności musimy ją zastąpić
wyrażeniem relatywnym «zdanie prawdziwe ze względu na dany język».”12
Jednakże tej drogi Tarski nie obrał, ponieważ dostrzegał, że pojawiłyby
się tu „nowe zupełnie komplikacje (związane np. z koniecznością sprecyzowania wyrazu «język»)” Oznajmia zatem, że:
„...byłoby iluzją przypuszczać, że relatywizacja pojęcia prawdy – w tym kierunku, o
którym powyżej była mowa — otwiera drogę do jakiejś ogólnej teorii tego pojęcia,
dotyczącej wszelkich możliwych języków lub choćby tylko języków sformalizowanych.”13
Mając na względzie wspomniane trudności, Tarski zdefiniował pojęcie
prawdy wyłącznie dla konkretnego języka i udzielił jedynie ogólnych wskazó11
Prawda, s.15.
Tamże, s. 153.
13
Tamże, s. 154.
12
3
wek, jak można to zrobić w zastosowaniu do innych języków sformalizowanych.
Do kwestii relatywizacji pojęcia prawdy do języka powrócił na Trzecim
Polskim Zjeździe Filozoficznym (Kraków 1936). Wówczas to zwracając się do
Marii Kokoszyńskiej, która proponowała relatywizację pojęcia prawdy do pojęcia znaczenia, Tarski wypowiedział słowa następujące:
„Czy nie byłoby rzeczą prostszą relatywizować pojęcie prawdy do pojęcia języka, które wydaje się pojęciem prostszym i logicznie mniej skomplikowanym od pojęcia znaczenia?”14
Potwierdził w ten sposób, że istotnie dostrzega potrzebę relatywizacji pojęcia prawdy do języka, natomiast trudno ustalić, jakie to pojęcie języka, które
byłoby „prostsze i logicznie mniej skomplikowane” od pojęcia znaczenia, miał
na myśli. Nie mogło tu chodzić o języki, o których wcześniej pisał, że:
„...nie interesują nas tu wcale języki i nauki «formalne» w pewnym specyficznym znaczeniu tego wyrazu, a mianowicie tego rodzaju nauki, iż występującym w nich znakom i wyrażeniom nie przypisuje się żadnego intuicyjnego sensu; w odniesieniu do
takich nauk postawione tu zagadnienie [definicji pojęcia zdania prawdziwego – A. N.]
traci wszelką rację bytu i przestaje być po prostu zrozumiałe.”
Natomiast już w następnym zdaniu oświadczał:
„Znakom, występującym w tych językach, których dotyczą niniejsze rozważania,
przypisujemy całkiem konkretne i zrozumiałe dla nas znaczenie.”15
Jednakże tak scharakteryzowane pojęcie języka nie może być prostsze od
pojęcia znaczenia, skoro to drugie jest przezeń implikowane. Jakie zatem pojęcie języka mógł mieć Tarski na uwadze proponując relatywizację pojęcia prawdy do języka? Wszak trzeba się z nim zgodzić, iż rozprawianie o prawdziwości
zdań zbudowanych z wyrażeń pozbawionych sensu samo jest pozbawione sensu.
Zarzucano zatem Tarskiemu, że proponując definiować pojęcie zdania
prawdziwego w językach, których wyrażenia mają „konkretne i zrozumiałe dla
nas znaczenie” nie wyjaśnia czym jest znaczenie i kiedy takowe wyrażeniom
przysługuje. Zrozumiałe zdziwienie budziło osobliwe stwierdzenie Tarskiego,
że odnosi to do języków sformalizowanych, w których rzekomo „sens każdego
wyrażenia jest jednoznacznie wyznaczony przez jego kształt”16. Pojawiło się
zagadnienie „priorytetu”: czy należy najpierw zdefiniować pojęcie znaczenia,
aby można było się do niego odwołać w definicji prawdy, czy może odwrotnie.17
Z drugiej zaś strony, Tarski deklarował, iż zamierza zdefiniować pojęcie
zdania prawdziwego na gruncie składni (którą nazywał „morfologią języka” i
charakteryzował jako „naukę o kształcie wyrażeń”), nie korzystając z żadnych
pojęć semantycznych, które nie zostały uprzednio zdefiniowane. Tymczasem
pojęcie znaczenia ewidentnie do „morfologicznych” nie należy. Nawiązując do
jego propozycji relatywizacji pojęcia prawdy do języka należy zatem postawić
14
Tamże, s. 203.
Tamże, s. 33.
16
Tamże, s.31
17
Taką odwrotną kolejność zaproponował D.Davidson.
15
4
pytanie, jakim pojęciem języka sformalizowanego Tarski się faktycznie posłużył
i jak dalece można to pojęcie uogólnić abstrahując od szczegółów, które można
potraktować jako cechy indywidualne. Wzorcem powinien tu być opisany przezeń szczegółowo język algebry klas.
Jest to — jak wiadomo — język elementarny z jednym dwuargumentowym predykatem pozalogicznym. Opisany on zastał w sposób ściśle strukturalny (czyli „morfologiczny”) w kategoriach kształtu wyrażeń, bowiem Tarski
pojmował wyrażenia jako napisy, a ściślej ich kształty (utożsamiając wyrażenia
równokształtne). Podał zatem ścisłe definicje funkcji zdaniowej, zmiennej wolnej i zmiennej związanej, zdania i operacji konsekwencji. Są to wszystko pojęcia, z którymi powszechnie wiążemy pewien ogólny sens intuicyjny18, natomiast
definicje Tarskiego odnoszą się wyłącznie do konkretnego języka i mają istotnie
charakter ściśle „morfologiczny”. W definicjach tych korzysta on z pojęć logiczno-matematycznych (które nazywa „ogólnologicznymi”), co sprawia, że
jego składnia języka algebry klas jest składnią nieelementarną. Po wyjaśnienia
wspomnianych pojęć odsyła czytelnika do systemu przedstawionego w dziele
Russella i Whiteheada Principia Mathematica.
Czy Tarski faktycznie nie dysponował żadnym ogólnym pojęciem języka,
do którego pojęcie prawdy mogłoby być relatywizowane? Wydaje się, że odwoływanie się przezeń do dzieła Russella i Whiteheada, czyli do teorii typów,
sprawiało tu pewne trudności ze względu na brak ogólnych pojęć zbioru, relacji
i funkcji. Natomiast różne ogólne pojęcia języka dają się ściśle zdefiniować na
gruncie aksjomatycznej teorii mnogości, która obecnie przejęła funkcję ogólnej
metateorii w dociekaniach logicznych i metamatematycznych. Wśród tego rodzaju pojęć można wskazać również bliskie intuicjom Tarskiego, którym hołdował on w latach trzydziestych.
Teoriomnogościowe pojęcia języka to pojęcia formalne w tym znaczeniu,
przy którym formalne są wszystkie pojęcia teorii mnogości. W porównaniu z
„morfologicznymi” opisami języka występują tu pewne subtelne różnice, od
których jednakże można abstrahować. Wyrażenia nie są tu napisami ani kształtami napisów, lecz skończonymi ciągami pewnych ustalonych elementów. Najdogodniej jest przyjąć, że są nimi Zermelowskie „praelementy”, czyli indywidua
(obiekty nie będące zbiorami) i mając na względzie bogactwo i rozmaitość języków, założyć, że takich indywiduów jest nieskończenie (ale przeliczalnie) wiele
i tworzą one zbiór będący „fundamentem” wszystkich pozostałych zbiorów.
Konstruując konkretne języki zakładamy, że to właśnie jakieś indywidua są odpowiednikami tego, co w podejściu „morfologicznym” było znakami prostymi
określonego kształtu składającymi się na alfabet danego języka. Natomiast
wszelkie pozostałe wyrażenia, a w szczególności zdania, są skończonymi cią18
Próbę sprecyzowania tego intuicyjnego sensu ogólnego podjął nieco później Carnap w swojej koncepcji składni ogólnej.
5
gami indywiduów w matematycznym znaczeniu słowa „ciąg”. Utożsamiając
wyrażenia z ciągami wybranych indywiduów możemy bez zastrzeżeń utrzymywać, że zbiór zdań danego języka jest nieskończony. Tarski, który utożsamiał
wyrażenia z kształtami napisów napotykał tu pewną trudność. Radził z nią sobie, odwołując się do mocnych założeń egzystencjalnych geometrii, które zapewniają istnienie aż nieprzeliczalnie wiele różnych kształtów. Warto tu zauważyć, że oba rozwiązania mają charakter teoretycznej fikcji, bowiem ilekroć przechodzimy na grunt pragmatyki języka musimy się zgodzić, iż zdania są obiektami fizycznymi, które my ludzie produkujemy i postrzegamy. Zbiór tak pojmowanych wyrażeń jest oczywiście skończony.
Przenosząc dociekania nad językiem na teren teorii mnogości utożsamiamy języki z pewnymi obiektami określanymi na ogół mianem „układów”
względnie „struktur”. Ma to tę zaletę, że pozwala precyzyjnie wyjaśnić nie tylko, co nazywamy językiem, lecz również pojęciem języka, a także istotnym dla
nas pojęciem zrelatywizowanym do języka. Wyjaśnienia te nie są bez znaczenia z uwagi na trwające spory o to, czy Tarski zdefiniował „pojęcie prawdy”,
czy tylko jego zakres. Nie zawsze też wiadomo, co różni autorzy mają na myśli
mówiąc o relatywizacji do języka.19
Posłużymy się tutaj procedurą, powszechnie stosowaną przez matematyków, kiedy rozwijają na gruncie teorii mnogości jakąś teorię z gatunku „abstrakcyjnych” (na przykład teorię grup lub teorię przestrzeni topologicznych). Robią
to — jak wiadomo — w taki sposób, iż wprowadzają ogólną definicję pewnego
typu struktur teoriomnogościowych, a następnie definiują szereg pojęć zrelatywizowanych do owych struktur i dowodzą pożądanych twierdzeń posługując się
owymi pojęciami. Ustalają oni — na przykład — że grupą jest dowolna para
uporządkowana G = 〈X, •〉, gdzie X jest niepustym zbiorem zaś • określonym w
tym zbiorze dwuelementowym działaniem spełniającym określone warunki.
Działanie to opatruje się mianem „pojęcia pierwotnego teorii grup” i przy jego
pomocy wprowadza się szereg „pojęć wtórnych teorii grup”, na przykład pojęcie
elementu neutralnego grupy. Pojęcia, zarówno pierwotne jak i wtórne są zrelatywizowane do poszczególnych grup, zatem, ściśle rzecz biorąc, pojęcia teorii
grup są funkcjami, które każdej grupie G przyporządkowują pewien obiekt
teoriomnogościowy (na przykład element neutralny tej grupy), natomiast pojęciem grupy należałoby wówczas nazwać klasę wszystkich grup będącą dziedziną owych funkcji.20
Odwołując się do wspomnianej praktyki matematycznej, językiem będziemy tu nazywali konkretną strukturę teoriomnogościową (n-kę uporządkowaną). Uogólniając pojęcie języka, którym posłużył się Tarski opisując szczegó19
Często ma się wrażenie, że chodzi im o pojęcia, których zakresy są po prostu ograniczone do wyrażeń określonego języka.
20
Czytelnika, który miałby wątpliwość, czy klasa wszystkich grup może być dziedziną funkcji, odsyłam do wyjaśnień zawartych w mojej książce Wprowadzenie do logiki nauk ścisłych, PWN, Warszawa
1990, s. 93 – 97, gdzie proponuję pewne proste rozwiązanie tej kwestii.
6
łowo skonstruowany przezeń język algebry klas można przyjąć, że językiem
jest dowolna trójka uporządkowana:
J = 〈A, Z, Cn〉〉 ,
w której A jest skończonym zbiorem indywiduów (alfabetem języka J), Z —
nieskończonym podzbiorem właściwym21 zbioru wszystkich ciągów skończonych utworzonych z elementów zbioru A (zbiorem zdań języka J), natomiast Cn
— operacją określoną na podzbiorach zbioru Z o własnościach wskazanych
przez Tarskiego w Fundamentale Begriffe (operacją konsekwencji w języku J).
Własności te, to — jak wiadomo — zwrotność, monotoniczność, przechodniość
i zwartość.22
Zgodnie z przyjętymi ustaleniami pojęciem języka będziemy nazywać
klasę wszystkich trójek postaci J = 〈A, Z, Cn〉〉 spełniających wyszczególnione tu
warunki, natomiast pojęciami zrelatywizowanymi do języka funkcje, które każdej takiej trójce przyporządkowują pewien obiekt teoriomnogościowy. Takimi
pojęciami są w szczególności pojęcie alfabetu, pojęcie zdania i pojęcie konsekwencji. Te trzy pojęcia można określić mianem pierwotnych; jak widać,
każdej trójce będącej językiem przyporządkowują one jeden z jej elementów.23
Przykładem zrelatywizowanego do języka pojęcia wtórnego jest pojęcie systemu dedukcyjnego, które definiuje się następująco:
Zbiór zdań X języka J = 〈A, Z, Cn〉〉 jest systemem dedukcyjnym wtedy i
tylko wtedy gdy Cn(X) = X.
Pojęcie to jest funkcją przyporządkowującą dowolnemu językowi rodzinę zbiorów zdań zamkniętych ze względu na właściwą temu językowi konsekwencję.
Innym pojęciem wtórnym jest pojęcie sprzecznego zbioru zdań zdefiniowane
jak następuje:
Zbiór zdań X języka J = 〈A, Z, Cn〉〉 jest sprzecznym zbiorem zdań wtedy
i tylko wtedy gdy Cn(X) = Z,
a także pojęcie zupełnego zbioru zdań:
Zbiór zdań X języka J = 〈A, Z, Cn〉〉 jest zupełnym zbiorem zdań wtedy i
tylko wtedy gdy dla dowolnego α∈Z, jeżeli α∉ X, to Cn(X∪{α}) = Z,
Zdefiniowane powyżej pojęcie języka jest niewątpliwie zgodne z ogólną
charakterystyką języków sformalizowanych, jaką przedstawia Tarski „nie ku21
Zazwyczaj nie nazywa się językiem czegoś, w czym zdaniem mógłby być dowolny ciąg elementów
alfabetu; taki „język” byłby pozbawiony gramatyki, jako systemu restrykcji nałożonych na strukturę
zdań.
22
Jeśli tak scharakteryzowane języki miałyby być ścisłym odpowiednikiem tego, co nazywa się językami sformalizowanymi, to należałoby tu dołączyć pewne warunki traktujące o rozstrzygalności ich
elementów składowych. Zazwyczaj zakłada się, że rozstrzygalny ma być zbiór Z, a każdy zbiór zdań
Cn(X) — „połowicznie rozstrzygalny”, ilekroć rozstrzygalny jest zbiór X. Pojęcia te mają — jak wiadomo — ścisłe odpowiedniki w teorii mnogości, jako obliczalność i rekurencyjna przeliczalność.
Tu warunki te pomijamy, ponieważ dla teorii prawdy nie mają one istotnego znaczenia (ważne są dla
teorii dowodu).
23
Określenie „pierwotne” ma tu uzasadnienie następujące: gdybyśmy owe trzy pojęcia charakteryzowali aksjomatycznie, to odpowiadające im terminy byłyby terminami pierwotnymi.
7
sząc się o zupełnie wyczerpujący i precyzyjny opis”.24 Jako konstytutywne elementy języków sformalizowanych istotnie wskazuje on alfabet, zbiór zdań i
operację konsekwencji. Lecz pojawia się tu jeszcze (co ze współczesnego punktu widzenia może uchodzić za osobliwość) pewien zbiór zdań nazywany zbiorem aksjomatów. Tarski uważa bowiem, że w przypadku nauk dedukcyjnych
„...język zrasta się z nauką w jedną całość tak, że zamiast mówić o tym lub innym
sformalizowanym języku, mówi się o języku tej lub innej nauki dedukcyjnej.”25
Ma on — jak widać — na uwadze pewne „językoteorie”, które można
utożsamić z układami typu
JT = 〈A, Z, Cn, Ax〉〉 ,
w których 〈A, Z, Cn〉〉 jest językiem w przyjętym uprzednio znaczeniu, natomiast
Ax podzbiorem Z z założenia niesprzecznym, a więc takim, że Cn(Ax) ≠ Z. Pojęcie aksjomatu zostało tu potraktowane jako zrelatywizowane do języka pojęcie
pierwotne. Natomiast jako pojęcie wtórne pojawia się wówczas pojęcie tezy,
zdefiniowane następująco:
α jest tezą języka JT = 〈A, Z, Cn, Ax〉〉 wtedy i tylko wtedy, gdy
α∈Cn(Ax).
Zakładając, iż Tarski miał na uwadze taką, jak przedstawiona powyżej,
koncepcję języków sformalizowanych, postawmy pytanie: Jaki mógłby być status zrelatywizowanego do języka pojęcia prawdy, a ściślej — pojęcia zdania
prawdziwego w danym języku?
Aby na pytanie to odpowiedzieć, należy wpierw ustalić jakie to własności
powinien — zdaniem Tarskiego — mieć w dowolnym języku zbiór zdań
prawdziwych. Otóż jego wypowiedzi w tej kwestii nie pozostawiają miejsca dla
żadnych wątpliwości. Kiedy już sformułował definicję zdania prawdziwego w
konkretnym języku algebry klas, wskazał na jej konsekwencje, które uważa za
istotne, a więc zapewne takie, które powinny obowiązywać w przypadku dowolnego języka. Zauważa więc, że „wszystkie konsekwencje zdań prawdziwych
są prawdziwe”, a ponadto:
„Do najważniejszych bodaj wniosków natury ogólnej płynącej z definicji prawdy, zaliczyć należy zasadę sprzeczności i zasadę wyłączonego środka. Obie te zasady w zestawieniu z wspomnianym już twierdzeniem o konsekwencjach zdań prawdziwych
wykazują, że klasa wszystkich zdań prawdziwych tworzy system dedukcyjny niesprzeczny i zupełny.26
Zasady sprzeczności i wyłączonego środka w zwykłym sformułowaniu
odnoszą się do języków, w których dysponujemy znakiem negacji. Jednakże negację można scharakteryzować za pomocą pojęcia konsekwencji27, stąd pojęcia
niesprzeczności i zupełności mają sens ogólniejszy i stosują się również do języków, których negacja nie występuje.
24
Prawda, s. 32.
Prawda, s. 32.
26
Tamże, s. 119 i nast.
27
Taką charakterystyką jest równoważność:
α∈ Cn(X) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego β, β∈Cn(X∪{¬A}) =.Z.
25
8
Wśród konsekwencji wspomnianej definicji pojawia się również stwierdzenie, że „wszystkie aksjomaty nauki stanowiącej przedmiot badań należą do
zdań prawdziwych”28. Dotyczy to oczywiście aksjomatów „nauk dedukcyjnych”.29
Co z dokonanych tu spostrzeżeń wynika, odnośnie do pojęcia prawdy?
Zauważyliśmy na wstępie, że Tarski zainteresował się pojęciem prawdy w kontekście metamatematyki zwanej przezeń „metodologią nauk dedukcyjnych”.
Doszedł do wniosku, że na konstytutywną charakterystykę konkretnej „nauki
dedukcyjnej” powinien składać się nie tylko zbiór tez, lecz również zbiór zdań
prawdziwych, który na ogół nie pokrywa się ze zbiorem tez. Mógł oczywiście
kontynuując przedstawioną w Fundamentale Begriffe ogólną metodologię nauk
dedukcyjnych umiejscowić pojęcie prawdy w „szeregu ważnych pojęć metamatematycznych” po to, aby — podobnie jak to uczynił z pojęciem konsekwencji
— „ugruntować jego podstawowe własności”, któreśmy powyżej odnotowali.
Jest oczywiste, że nie mógł zdefiniować pojęcia prawdy za pomocą pojęć pierwotnych, za które przyjął pojęcie zdania i pojęcie konsekwencji. Byłby zatem
zmuszony potraktować pojęcie prawdy jako pierwotne, charakteryzując je odpowiednimi aksjomatami.
Podobny efekt możemy osiągnąć modyfikując znane nam formalne pojęcie języka, przez potraktowanie zbioru zdań prawdziwych jako elementu konstytutywnego struktury zwanej językiem. To, co nazwiemy tu językiem nauki dedukcyjnej jest oczywiście również samą „zrośniętą z językiem” nauką dedukcyjną, skoro jej aksjomaty zostały wprowadzone do charakterystyki języka.
Pojęcie to należałoby zatem zdefiniować jak następuje:
Językiem nauki dedukcyjnej jest dowolna struktura postaci
JT = 〈 A, Z, Cn, Ax, Ver〉〉 ,
w której:
(1) A jest skończonym zbiorem indywiduów,
(2) Z jest nieskończonym podzbiorem właściwym zbioru wszystkich ciągów
skończonych utworzonych z elementów zbioru A,
(3) Cn jest operacją określoną na podzbiorach zbioru Z, zwrotną, monotoniczną,
przechodnią i zwartą,
(4) Ax jest podzbiorem zbioru Z takim, że Cn(Ax) ≠ Z,
(5) Ver jest podzbiorem zbioru Z takim, że:
(a) Jeżeli X ⊂ Ver, to Cn(X) ⊂ Ver
(b) Ver ≠ Z
(c) Dla dowolnego α ∈ Z, jeżeli α∉Ver, to Cn(Ver ∪{α}) = Z
(d) Ax ⊂ Ver.
28
Prawda, s.119.
Tarski wyklucza zatem możliwość, by aksjomaty jakiejś nauki dedukcyjnej mogły być fałszywe,
aczkolwiek to się zdarza, kiedy okazują się sprzeczne. Jak widać, nauka o sprzecznych aksjomatach
jest dlań tylko w zamierzeniu, (a więc nieudaną) nauką dedukcyjną.
29
9
Ver oznacza tu zbiór zdań prawdziwych języka JT, natomiast warunki (a) –
(d) stwierdzają kolejno, że konsekwencje zdań prawdziwych są prawdziwe, że
zbiór zdań prawdziwych jest niesprzeczny i zupełny oraz, że prawdziwe są aksjomaty.
Pojęcie prawdy jest tu zrelatywizowanym do języka pojęciem pierwotnym,
ewidentnie nieredukowalnym do pozostałych. Można wprawdzie założyć, że
zbiór zdań prawdziwych danego języka pokrywa się ze zbiorem jego tez, czyli z
Cn(Ax), ale tylko wtedy, gdy zbiór tez jest zupełny, co w naukach dedukcyjnych
jest rzadkością.
Ktoś mógłby zauważyć, że kolekcjonując warunki, które powinien spełniać
zbiór zdań prawdziwych w danym, ale dowolnym języku pominęliśmy rzecz z
punktu widzenia Tarskiego najistotniejszą: warunek zawarty w jego słynnej
„Umowie P”. Otóż pominęliśmy go dlatego, że umowa ta nie nakłada żadnych
dodatkowych warunków na zbiór zdań prawdziwych. Mówi jedynie o tym, jak
taki zbiór należy zdefiniować w przypadku konkretnego języka, a ściślej, o tym,
co z takiej definicji powinno wynikać. Jak wiadomo, powinny z niej wynikać
słynne T-równoważności.
Spełnianie tego postulatu uważa Tarski za warunek „merytorycznej trafności” definicji w sensie jej zgodności z „klasyczną” koncepcją prawdy, samą zaś
spełniającą go definicję nazywa „semantyczną” (w odróżnieniu od „strukturalnej” definicji zbioru tez). Nasuwa się tu pytanie, czy definiując zbiór zdań
prawdziwych sposobem „strukturalnym” (co jest możliwe, gdy zbiór tez jest zupełny) stworzylibyśmy definicję „nietrafną”? Tak mógłby stwierdzić filozof
utrzymując, że jeśli nawet zdania prawdziwe pewnego języka różnią się od pozostałych pewną cechą strukturalną, to przecież „nie dlatego” są prawdziwe. Natomiast z punktu widzenia „metodologii nauk dedukcyjnych” Tarskiego wyższość metody „semantycznej” polegała po prostu na jej większej uniwersalności.
Odnosi się wrażenie, że Tarski gotów byłby zaakceptować każdy sposób definiowania zbioru Ver, — a więc również „strukturalny” — który pozwoliłby
przypisać mu wyszczególnione tu własności. Natomiast znamienny jest fakt, że
nie potrafił wskazać żadnego innego równie uniwersalnego sposobu, poza tym,
który podpowiedziały mu „klasyczne” intuicje filozoficzne.
Zauważmy, że utożsamiając pojęcie nauki dedukcyjnej z klasą struktur typu
JT = 〈 A, Z, Cn, Ax, Ver〉〉
spełniających przedstawione powyżej warunki stworzylibyśmy pojecie teoretycznie jałowe, gdyby poważne przykłady tego rodzaju struktur nie dały się
skonstruować. A jak wiadomo, problem, z którym zmagał się Tarski, polegał na
tym, jak do znanych i dających się „strukturalnie” opisać elementów A, Z, Cn,
Ax dołączyć równie ściśle zdefiniowany obiekt Ver. Zaproponowanym przezeń
rozwiązaniem tego problemu było właśnie zastosowanie metody „semantycznej”. Tarski wykorzystał tu fakt, że zbiór zdań (a ściślej: formuł zdaniowych)
danego języka definiuje się rekurencyjnie według stopnia złożoności i tę samą
procedurę zastosował do zbioru zdań prawdziwych. Metodę tę wprawdzie tylko
10
naszkicował i zilustrował konkretnym przykładem, ale przy tak ogólnym pojęciu
języka, jakim implicite dysponował, niczego ponadto nie można było oczekiwać.
Tarski przyznawał, że różnica między strukturalną a semantyczną definicją zbioru zdań prawdziwych była dlań trudno uchwytna, zaś sposób, w jaki ów
zbiór zdefiniował jest nadal przedmiotem kontrowersji, do których on sam się w
pewnej mierze przyczynił wypowiedziami, które można uznać za niefortunne.
Jedna z tych kontrowersji dotyczy tego, czy przedstawiona przezeń definicja
istotnie jest semantyczna.30
W konstrukcji Tarskiego punktem wyjścia jest „Umowa P”. Jest to w
istocie wskazówka heurystyczna postulująca, aby w przypadku konkretnego języka JT z definicji zbioru Ver wynikały wszystkie T-równoważności postaci:
α∈Ver wtedy i tylko wtedy, gdy p,
gdzie p ma być zdaniem metajęzyka (w naszym ujęciu — języka teorii mnogości). Zdaniami metajęzyka są również wszystkie T-równoważności, natomiast
sama „Umowa P” nie może być sformułowana w metajęzyku, ponieważ mówi
się w niej o zdaniach metajęzyka (jest zatem zdaniem meta-metajęzyka). Tym
samym — jak już zauważyliśmy — nie nakłada żadnych dodatkowych warunków na zbiór Ver, który jako pewien obiekt teoriomnogościowy powinien być
zdefiniowany w języku teorii mnogości.
Z perspektywy meta-metajęzykowej T-równoważności odwzorowują
zbiór zdań języka JT w zbiór zdań języka metateorii. Odwzorowanie to nazywał
Tarski przekładem zakładając, że odpowiadające sobie zdania mają być równoznaczne. Było to niefortunne nie tylko dlatego, że sprowokowało zarzut odwoływania się do niejasnego pojęcia znaczenia. Przede wszystkim dlatego, wyrażeniom języka JT żadne znaczenia nie zostały wcześniej przypisane 31, czymkolwiek by one być miały. Można by co najwyżej oczekiwać, że z chwilą sformułowania definicji zbioru Ver zostaną im jakieś znaczenia przypisane za pośrednictwem owej definicji.
Natomiast jeśli na T-równoważności spojrzymy z pragmatycznego punktu widzenia, to zauważymy coś istotnego, czego nie da się wyrazić ani w metajęzyku (tj. języku teorii mnogości), ani w meta-metajęzyku, który ma być wyłącznie „morfologią” metajęzyka. Chodzi o to, że w T-równoważnościach zdania języka JT zostały nazwane, a zdania metajęzyka użyte. Oznacza to, że metajęzyk jest dla nas tym językiem, którym się aktualnie posługujemy, temu zaś
towarzyszy nasze nieodparte przekonanie, że jego wyrażenia faktycznie mają —
używając słów Tarskiego — „konkretne i zrozumiałe dla nas znaczenie”. Co
więcej, jesteśmy przekonani, że używając tych wyrażeń „mówimy o czymś”
czyli, że odnoszą się one, w przypadku stałych — w sposób jednoznaczny, do
30
Kwestionowali to m. in. J. Etchemedy i H. Putnam.
Odnosi się to również do języków sformalizowanych, które ma na uwadze Tarski, skoro jego zdaniem mają to być języki „sztucznie skonstruowane”, a ich wyrażeniom żadne znaczenia nie zostały
explicite przypisane.
31
11
pewnych przedmiotów (tu, do konkretnych zbiorów, na przykład zbioru pustego,
zbioru wszystkich indywiduów, zbioru wszystkich jego podzbiorów itp.). Ponadto niektóre zdania metajęzyka są przez nas uznawane, ponieważ — używając słów Tarskiego — „wydają się intuicyjnie prawdziwe”, a często wydają się
takie dlatego, że „intuicyjnie wynikają” z innych zdań uznanych. Jeśli te zdroworozsądkowe przekonania, będące wyrazem realizmu teoriopoznawczego
odrzucimy, to istotnie zagadnienie podjęte przez Tarskiego „traci wszelką rację
bytu i przestaje być po prostu zrozumiałe”. Jednakże owe zdroworozsądkowe
przekonania odnoszą się metajęzyka, a nie do języka sformalizowanego, który
konstruujemy celem formalizacji pewnej „nauki dedukcyjnej”. Język sformalizowany jest tu obiektem teoriomnogościowym, o którym mówimy, a możemy
o nim powiedzieć tylko tyle, ile da się wyrazić w języku teorii mnogości.
Czego zatem mógł Tarski wymagać od przekładu konstytuowanego przez
T-równoważności? Przekład we właściwym tego słowa znaczeniu to relacja
między wyrażeniami zazwyczaj dwu różnych języków, zatem w rozważanym
przypadku — konkretnego języka JT i jego metajęzyka. Może on być opisany
wyłącznie w meta-metajęzyku, zaopatrzonym w nazwy wyrażeń metajęzyka.
Lecz jeśli nie można lub nie należy tu mówić o równoznaczności, to jakie warunki powinna spełniać owa relacja przekładu?
Jeśli naszym celem jest formalizacja jakiejś szczegółowej „nauki dedukcyjnej”, a jako metateorię przyjęliśmy teorię mnogości, to zapewne dlatego, że
uważamy ją za siedzibę wielu „nauk dedukcyjnych”, które preegzystują w niej
w postaci niesformalizowanej. Postulujemy zatem, aby aksjomaty Ax języka JT
odpowiadały tezom metateorii aksjomatyzującym zadowalająco upatrzoną przez
nas „naukę dedukcyjną”. Postulujemy ponadto, aby operacja Cn była odwzorowaniem intuicyjnego pojęcia wynikania między zdaniami metateorii. Nic nie
wskazuje na to, by pod hasłem „równoznaczności” kryły się jakieś inne postulaty, które „Umowa P” nakłada na T-równoważności, a postulaty tutaj wyszczególnione są właśnie takie a nie inne, ponieważ jesteśmy przekonani, iż tezy metateorii są „intuicyjnie prawdziwe” jak również wszelkie zdania, które „intuicyjnie wynikają” ze zdań „intuicyjnie prawdziwych”. To te przekonania sprawiły,
że w naszej definicji pojęcia języka, odpowiadającej — jak zakładamy — poglądom Tarskiego, na zbiór zdań Ver zostały nałożone warunki:
(a) Cn(Ver) ⊂ Ver
(b) Ver ≠ Z
(c) Dla dowolnego α ∈ Z, jeżeli α∉Ver, to Cn(Ver ∪{α}) = Z
(d) Cn(Ax) ⊂ Ver.
Są to — jak widać — warunki charakteryzujące czysto formalne związki
zbioru Ver z innymi elementami konstytutywnymi konkretnego języka JT. O
tym, jaka jest zawartość zbioru Ver w tym języku, miała nas poinformować dopiero semantyczna definicja tego zbioru czyniąca zadość „Umowie P”. Z definicji tej istotnie możemy — korzystając z aksjomatów metateorii — dowiedzieć
się, że prawdziwe są wszystkie tezy języka JT. Czy tylko one? Niekoniecznie,
12
bowiem wśród zdań języka JT mogą znaleźć się również takie, które są odpowiednikami tez metateorii, a nie są tezami języka JT. Ponadto, zgodnie z wynikającą z definicji zbioru Ver zasadą wyłączonego środka, prawdziwe są również
pewne zdania języka JT, których odpowiednikami w metajęzyku są zdania nie
będące tezami metateorii, jednakże na pytanie, które to są zdania, metateoria —
jako teoria niezupełna — nie odpowiada. Tak niewątpliwie postrzegał to Tarski
pisząc:
„Aczkolwiek definicja ta nie daje sama przez się żadnego ogólnego kryterium prawdy,
to jednak w wielu przypadkach wspomniane tezy [chodzi o T-równoważności — A.
N.] pozwalają definitywnie rozstrzygnąć kwestię prawdziwości lub fałszywości badanego zdania.”32
Wynika stąd, że definicja zbioru zdań prawdziwych konkretnego języka
sformalizowanego dostarcza przynajmniej cząstkowego kryterium prawdziwości pewnych jego zdań. Można tak utrzymywać przy założeniu, że prawdziwe
są tezy metateorii, a kryterium ich prawdziwości jest ich wywodliwość z prawdziwych aksjomatów. Sugeruje to, że jakieś pojęcie prawdy odnoszące się do
zdań metateorii zostało tu założone.
Natomiast odwoływanie się w opisie procedury mającej prowadzić do wyróżnienia zbioru zdań prawdziwych do pojęcia równoznaczności było — naszym zdaniem — zbędne, a tym samym zarzut, iż Tarski się owym niejasnym
pojęciem posłużył bez próby jego eksplikacji należy uchylić. Natomiast rozważyć należy pytanie, czy sposób definiowania zbioru zdań prawdziwych spełniający postulaty „Umowy P” jest rzeczywiście metodą semantyczną, a ponadto,
czy stanowi eksplikację korespondencyjnego pojęcia prawdy? Jest to — jak
wiadomo — przedmiotem sporu. W traktacie Tarskiego znajdujemy charakterystykę pojęć semantycznych uchodzącą dziś za„klasyczną”.
„Cechę charakterystyczną pojęć semantycznych stanowi ta okoliczność, że wyrażają
one pewne zależności między wyrażeniami języka a przedmiotami «o których w tych
wyrażeniach mowa», względnie że przy pomocy podobnych zależności wyodrębniają
pewne kategorie wyrażeń lub innych przedmiotów.”33
Autorzy utrzymujący, że mamy tu do czynienia z definicją semantyczną,
powołują się na to, że Tarski skorzystał w niej z pomocniczego pojęcia spełniania, które oznacza właśnie jedną z zależności między wyrażeniami a przedmiotami. Jednakże sam Tarski utrzymywał, że udało mu się sprowadzić pojęcia semantyczne do „strukturalnoopisowych”, czyli do pojęć z zakresu „morfologii
języka”.34 Narzuca się zatem pytanie: czy rzeczywiście się udało, a jeśli tak, to
czy nie podważa to swoistości pojęć semantycznych?
32
Prawda, s. 119.
Tamże, s. 139.
34
Zmierzając do tego Tarski powoływał się na precedens: „...oto do pojęć strukturalnoopisowych udało się sprowadzić pewne pojęcia odmiennej natury, różniące się od poprzednich zarówno genezą, jak i
potocznym sensem, mianowicie pojęcie konsekwencji wraz z szeregiem pojęć pokrewnych, jako dział
morfologii udało się ugruntować to, co można by nazwać logiką danej nauki.” (Prawda, s. 138 –
139.)W przypisie Tarski wyraża wątpliwość, czy „sprowadzenie to zostało dokonane bez reszty”. Faktycznie dokonane zostało wyłącznie dla języków elementarnych. Stwarza to oczywiście problem, jak
33
13
Zauważmy, jak Tarski wprowadza pojęcie spełniania w zastosowaniu do
wzorcowego języka algebry klas. W języku tym niema stałych indywiduowych,
zatem zdania otrzymuje się z funkcji zdaniowych przez wiązanie występujących
w nich zmiennych wolnych kwantyfikatorami. Elementarna funkcja zdaniowa
ma tu postać Ivkvl. Mówi się, że jest ona spełniona przez nieskończony ciąg klas
f =〈f1, ...,fn,...〉
wtedy i tylko wtedy, gdy fk ⊆ fl. Znak ⊆ jest tu predykatem metajęzyka oznaczającym relację zawierania między klasami potraktowanym jako „równoznaczny”
odpowiednik predykatu I. Jest oczywiste, że w definicji pojęcia spełniania znak
⊆ pełni rolę istotną, skoro zastąpienie go, na przykład znakiem ⊂ (symbolizującym „ostre” zawieranie) zmieniłoby zakres terminu „funkcja zdaniowa spełniona przez ciąg f”, a w rezultacie terminu „zdanie prawdziwe”. Wszystkie pozostałe wyrażenia metajęzyka pełnią tu raczej rolę pomocniczą. Tarski był przekonany, że zdefiniował pojęcie spełniania na gruncie „morfologii”, ponieważ pojęcie
zawierania się klas było w niej jednym z pomocniczych pojęć „ogólnologicznych”. Ale pojęcie to pełniło tu również inną rolę: skoro znak ⊆ miał zarazem
być owym „równoznacznym” przekładem predykatu I.
Jeśli określenie „równoznaczny” zignorujemy, to pojawi się pytanie o naturę zależności między predykatem I a relacją zawierania ⊆. Otóż definicja
spełniania, która jest tu definicją projektującą, zakłada implicite, iż I denotuje
⊆. Podobnie, ustalając (za pomocą indeksów liczbowych) korelację między
zmiennymi a elementami ciągu f , definicja ta postuluje związek zwany wartościowaniem zmiennych. Nasuwa to podejrzenie, że definiując pojęcie spełniania
Tarski odwołuje się implicite do dwóch pojęć natury semantycznej, których
uprzednio nie zdefiniował.35 Byłoby to niezgodne z deklaracją, iż zmierzając do
definicji zdania prawdziwego nie posłuży żadnym pojęciem semantycznym, którego by uprzednio nie zdefiniował za pomocą innych pojęć. Gdyby to podejrzenie było zasadne, to omawiana definicja spełniania (i odwołująca się do niej definicja zbioru zdań prawdziwych) byłaby istotnie definicją semantyczną, ale
oznaczałoby to zarazem, że nie powiódł się program „sprowadzenia tych pojęć
do pojęć strukturalnoopisowych — o jasnej i wyraźnej treści i oczywistych własnościach”.36
Jednakże podejrzenie, że Tarski posługuje się niezdefiniowanymi pojęciami semantycznymi, nie wydaje się trafne. Nawet jeśli uznamy, że w definicji
spełniania powinny wystąpić explicite pojęcia denotowania i wartościowania
zmiennych, to pojęcia te można zdefiniować bez odwoływania się do innych
pojęć semantycznych. Kiedy w języku występują ( jak w języku algebry Boole’a) funktory nazwotwórcze, pojęcie denotowania jest niezbędne jako poprzedzające pojęcie spełniania, zaś jeśli w języku (np. w języku dwuelementowej
w przypadku naszego pojęcie języka interpretować operację Cn: strukturalnie, czy semantycznie. Jeżeli semantycznie, to należałoby odwołać się do teoriomodelowego pojęcia prawdy.
35
Janowi Zygmuntowi zawdzięczam informację, że do podobnego wniosku doszedł Hao Wang.
36
Prawda, s. 139.
14
algebry Boole’a) nie ma zmiennych, to zbędne okaże się pojęcie spełniania i
zbiór zdań prawdziwych można zdefiniować korzystając wyłącznie z pojęcia
denotowania. W skrajnie uproszczonym języku, w którym występują wyłącznie
zdania elementarne i zdania molekularne (tworzone przez łączenie zdań elementarnych spójnikami) zbiór zdań prawdziwych można zdefiniować bez pośrednictwa pojęć oznaczających relacje między wyrażeniami a przedmiotami.37
Otóż we wszystkich wymienionych tu przypadkach zbiór zdań prawdziwych definiuje się za pomocą „przedmiotowych” wyrażeń metajęzyka, czyli
wyrażeń, o których z góry zakładamy, że odnoszą się do jakichś przedmiotów
pozajęzykowych. Zatem nie są to wyrażenia „strukturalnoopisowe”, a ich obecność na terenie „morfologii języka” jest uwarunkowana wyborem „nauki dedukcyjnej”, którą zamierzamy formalizować. W teorii prawdy Tarskiego mamy zatem do czynienia z redukcją pojęć semantycznych nie do pojęć strukturalnoopisowych, lecz do „przedmiotowych” pojęć metajęzyka. Trzeba jednakże zauważyć, że nie definiuje się tu żadnych pojęć ogólnych, lecz tylko podaje się jednoznaczną charakterystykę relacji między wyrażeniami konkretnego języka, a
przyporządkowanymi im przedmiotami. To, co nazywamy tu pojęciami semantycznymi, to nie są żadne pojęcia zrelatywizowane do języka w przyjętym tu
znaczeniu. Wprawdzie faktem jest, że z terminami takimi jak „denotuje”, „spełnia” itp. wiążemy intuicyjnie pewien sens ogólny, ale nie został on tutaj sprecyzowany. U filozofów, którzy chcieliby wiedzieć na czym polega „odnoszenie się
słów do przedmiotów”, wywołuje to pewien niedosyt, podobnie jak — wprawdzie ogólne i zrelatywizowane do języka — pojęcie prawdy traktowane jako
pierwotne.
Wywody powyższe można podsumować jak następuje. Jeżeli potraktujemy poważnie deklarację Tarskiego, iż pojęcie zdania prawdziwego powinno być
zrelatywizowane do języka jako obiektu logicznie prostszego od pojęcia znaczenia (a zatem nie odwołującego się w swojej charakterystyce do pojęcia znaczenia), to pojęcie zdania prawdziwego spełniające klasyczne zasady metalogiczne (niesprzeczności, zupełności, zasadę wyłączonego środka) trzeba potraktować jako pierwotne. Nie można zatem utrzymywać, że Tarski zdefiniował tak
rozumiane pojęcie za pomocą innych pojęć zrelatywizowanych do języka. Pojęcie to musiało być potraktowane jako pierwotne.
Czego zatem dokonał Tarski? Otóż wskazał on metodę, która pozwala
zdefiniować zbiór zdań prawdziwych konkretnego języka w odpowiedniej metateorii. Z dzisiejszego punktu widzenia, dla wszelkich „nauk dedukcyjnych”, jakie Tarski zapewne miał na myśli, taką metateorią jest teoria mnogości.
Czy tak opisane dokonanie Tarskiego ma jakieś istotne implikacje filozoficzne? Naszym zdaniem ma. Jeśli zbioru zdań prawdziwych danego języka nie
można (poza nielicznymi przypadkami, kiedy zbiór tez jest zupełny) zdefinio37
Co prawda w angielskim przekładzie artykułu „O ugruntowaniu naukowej semantyki” Tarski mówi
o pojęciach semantycznych, że wyrażają związki między wyrażeniami a przedmiotami „ i stanami
rzeczy”, co sugeruje, że członami relacji semantycznych mogą być również zdania.
15
wać w żaden inny sposób, to wynika stąd poważny argument na rzecz korespondencyjnej teorii prawdy. Jaki to argument? Otóż polega on na tym, że z teorii prawdy Tarskiego wynika, iż prawdziwość zdań jest uwarunkowana tym, co
się dzieje w „rzeczywistości pozajęzykowej” i to tej, „o której mowa”. Argument ten oczywiście zachowuje swój walor tylko dla tych, którzy utrzymują, że
używając wyrażeń rzeczywiście „o czymś mówimy”. Jednakże filozofowie, którzy poddają to w wątpliwość, nie mają powodów ani podstaw, aby wiązać ze
zbiorem zdań prawdziwych te własności, które z założenia przypisał mu Tarski.
Toteż często odrzucają zasadę wyłączonego środka i zastępują pojęcie prawdy
pojęciem „racjonalnej akceptowalności”.
W naszym ujęciu, ograniczonym co prawda — podobnie jak u Tarskiego
— do „języków nauk dedukcyjnych”, granicę między językiem a „rzeczywistością pozajęzykową” da się przeprowadzić w sposób ścisły. Jako uniwersalną
metateorię przyjęliśmy tu system teorii mnogości z przeliczalnym zbiorem indywiduów. W takiej teorii wszystkie terminy stałe, które można w niej explicite
zdefiniować, odnoszą się do obiektów formalnych rozumianych jako niezmienniki wszelkich permutacji zbioru indywiduów. Zakładamy, że „nauki dedukcyjne”, o których mówi Tarski, to nauki formalne, czyli takie, w których mówi się
wyłącznie o obiektach formalnych (mówiąc bardziej precyzyjnie: tylko obiekty
formalne mogą tu być denotacjami wyrażeń).38 Takim obiektem formalnym jest
między innymi zbiór wszystkich indywiduów, ale nie jego podzbiory (z wyjątkiem pustego) ani poszczególne indywidua. Tymczasem konstruując konkretny
język musimy pewne indywidua wyróżnić i odróżnić od siebie jako elementy
alfabetu wprowadzając do języka teorii mnogości ich nazwy. Korzystając z tych
nazw, możemy konstruować nazwy wyrażeń złożonych rozumianych jako ciągi
wyróżnionych indywiduów. Można zatem przyjąć, że każdy konkretny język to
twór skonstruowany z „obiektów językowych”, którymi są niepuste zbiory (dowolnego rzędu) ufundowane nad jego alfabetem. Takimi obiektami są miedzy
innymi zdania, klasy zdań i wszelkie operacje na zdaniach. Otóż żaden z takich
obiektów językowych nie jest obiektem formalnym. W świecie teoriomnogościowym obejmującym to, „o czym mowa” w naukach dedukcyjnych są one
„ciałami obcymi”, które znalazły się tam na skutek wyróżnienia pewnych indywiduów. Zdań tak rozumianych języków jednakże nie sposób podzielić na
prawdziwe i fałszywe inaczej, jak ustalając korelacje między obiektami językowymi a różnymi od nich obiektami formalnymi składającymi się na „rzeczywistość pozajęzykową”. I na tym polega semantyczny charakter metody definiowania zbioru zdań prawdziwych zaproponowany przez Tarskiego. A ponieważ
prawdziwość zdania zależy tu od tego, „jak się rzeczy mają” w świecie teoriom38
Sądzę, że Tarski mógłby się zgodzić z taką charakterystyką nauk dedukcyjnych. Zapewne miał na
myśli logikę i matematykę, czyli dyscypliny zaliczane powszechnie do „nauk formalnych” (przeciwstawianych „naukom realnym”, czyli empirycznym. Jestem przekonany, że nie zaliczyłby do nauk
dedukcyjnych dowolnych teorii aksjomatycznych bez względu na przypisywane im interpretacje (na
przykład zaksjomatyzowaną przez siebie, wspólnie z J. Woodgerem, genetykę, która jest nauką „realną”, czyli empiryczną).
16
nogościowym, można utrzymywać, że mamy tu do czynienia z eksplikacją korespondencyjnej koncepcji prawdy na użytek nauk dedukcyjnych, czyli formalnych.
Ktoś mógłby zauważyć, że nie tylko formalnych, skoro w późniejszej publikacji sam Tarski rozważa możliwość zdefiniowania zbioru zdań prawdziwych
w również w językach nauk empirycznych. Czym różnią się takie języki od języków nauk dedukcyjnych? Tarski wyjaśnia to następująco:
„W takich językach uznawanie zdań może np. nie zawsze zależeć od ich formy, ale
czasem od innych , pozajęzykowych czynników. Skonstruowanie języka tego typu —
a zwłaszcza języka, który by się okazał wystarczający dla szerokiej dziedziny nauk
empirycznych — byłoby naprawdę rzeczą ciekawą i ważną."39
Autor ma tu niewątpliwie na myśli jakieś reguły uznawania zdań na podstawie danych empirycznych, reguły, które byłyby konstytutywne dla języka
podobnie jak aksjomaty i reguły wyznaczające operację konsekwencji. Lecz jeśli obecność takich reguł miałaby coś wnosić do charakterystyki zbioru zdań
prawdziwych, to powinny to być reguły „prawdotwórcze” podobnie jak aksjomaty. Ponieważ istnienie takich reguł jest wielce wątpliwe (wszelkie procedury
uznawania zdań ma podstawie obserwacji uważa się za zawodne), uwagę Tarskiego dotyczącą możliwości rozszerzenia zakresu języków i nauk, dla których
można określić zbiór zdań prawdziwych, należy uznać za marginesową. Przy
sparafrazowanej tu koncepcji języka, jego teoria prawdy odnosi się wyłącznie
do języków nauk dedukcyjnych, jak to zostało zaanonsowane w tytule rozprawy.40
Zauważmy, że w przedstawionej tu parafrazie język, o którym mowa i język metateorii, w którym o nim mówimy, to nie są obiekty homogeniczne. Ten
pierwszy, to pewien osobliwy (bo nie formalny) obiekt teoriomnogościowy zbudowany z indywiduów, które zostały w języku metateorii nazwane. Możemy
domniemywać lub zakładać (chociaż nie potrafimy tego wyrazić w teoriomnogościowym metajęzyku!), że są to jakieś znaki graficzne, które wyróżniamy
przez wskazanie (czyli ostensywnie). Może się wówczas zdarzyć, że są to zarazem pewne znaki, którymi posługujemy się w metateorii, ale nie oznacza to, że
język, o którym mowa, jest fragmentem metajęzyka. Zdania tego pierwszego
są obiektami abstrakcyjnymi (ciągami indywiduów), tymczasem zdania metajęzyka, jako języka, którym się posługujemy, są napisami zbudowanymi ze znaków układanych w porządku liniowym. Wyrażenia te wytwarzamy, postrzegamy, uznajemy i możemy je „morfologicznie” opisywać.
W ujęciu Tarskiego język, o którym mowa, czyli — jego terminologii —
język przedmiotowy jest podobnej natury, co metajęzyk, a zatem może być jego fragmentem. Jest to przypadek szczególny, ale bywa on często traktowany
39
Prawda, s. 240.
Dla uniknięcia pewnych nieporozumień korzystne byłoby połączenie tego tytułu z tytułem przekładu niemieckiego. Otrzymalibyśmy wówczas: „Pojęcie prawdy w sformalizowanych językach nauk
dedukcyjnych”, co zwróciłoby uwagę na to, że mamy tu do czynienia z procesem formalizacji „nauki
dedukcyjnej” egzystującej uprzednio w postaci niesformalizowanej w metajęzyku.
40
17
jako „ten właściwy”. Przyczynia się do tego fakt, że hasłem wywoławczym teorii prawdy Tarskiego, stała się przekładana na wiele języków równoważność:
Zdanie „śnieg jest biały” jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg
jest biały.
Zdanie, o którym tu mowa, jest zarazem zdaniem metajęzyka, w którym o
nim mowa. A ponieważ z wszelkimi zdaniami metajęzyka wiążemy „konkretne
i zrozumiałe dla nas znaczenie”, możemy (chociaż nie musimy!) założyć, że to
samo znaczenie przysługuje zdaniom języka przedmiotowego. Przytoczona tu
słynna równoważność jest zdaniem języka polskiego i mówi pewnym zdaniu
tegoż języka, że jest prawdziwe. Domyślamy się, że jest prawdziwe w języku
polskim, bo przecież mogłoby ono wystąpić również w innym języku, w którym
byłoby fałszywe. Konieczność relatywizacji do języka wręcz się tu narzuca, zatem omawiana równoważność w pełnym brzmieniu powinna mieć postać:
Zdanie języka polskiego „śnieg jest biały” jest prawdziwe w tym języku
wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg jest biały.
Takie sformułowanie skłania do postawienia pytania ogólnego: Kiedy to
jakieś zdanie pewnego języka jest w tym języku prawdziwe? Zapewne wielu
filozofów chciałoby znać odpowiedź na takie właśnie pytanie.41 Odpowiedź na
nie wymagałaby oczywiście wypracowania takiej koncepcji języka, do którego
pojęcie prawdy mogło być zrelatywizowane. Jeśli koncepcja taka miałaby obejmować języki naturalne nie obciążone z góry pewnymi parametrami semantycznymi, to należałoby sprowadzić pojęcie prawdy do składniowych i pragmatycznych aspektów języka, co jest zapewne niewykonalne. Dlatego pewni filozofowie i logicy wolą zajmować się innym zagadnieniem, od którego zaczynał swoje
dociekania Tarski: Jak do pewnego języka wprowadzić predykat „jest prawdziwe” odnoszący się do zdań tegoż języka, a przy tym uchylić groźbę antynomii?
Zakłada się wówczas, że „jest prawdziwe” ma się odnosić do zdań w sposób bezwzględny, czyli bez jakichkolwiek relatywizacji, a wszystkie równoważności w rodzaju:
Zdanie „śnieg jest biały” jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy śnieg
jest biały.
wzięte dosłownie mają być bezwzględnie uznawane, czyli stanowić swego rodzaju aksjomaty języka. Ponadto utrzymuje się, że wszystkie takie równoważności wyczerpują treść predykatu „jest prawdziwe”, a przynajmniej charakteryzują jednoznacznie jego zakres. Można je zatem uważać za cząstkowe definicje
tego predykatu, a ich zbiór za pełną definicję, chociaż nie w ścisłym tego słowa
znaczeniu. Trzeba tu zauważyć, że sam Tarski określał wspomniane równoważności mianem „cząstkowych definicji prawdy”, a o definicji ogólnej powiedział,
41
Nie odnosi się to do tych filozofów, dla których nośnikami prawdy są sądy, ale oni mają inne kłopotliwe problemy.
18
że „musi być w pewnym określonym sensie logiczną koniunkcją wszystkich takich cząstkowych definicji”.42
Tego rodzaju wypowiedzi Tarskiego będące komentarzem do równoważności, w których predykat „jest prawdziwe” pozbawiony jest relatywizacji, stały
się podstawą przypisywania mu deflacyjnej koncepcji prawdy, czyli koncepcji
pozbawionej implikacji filozoficznych wiązanych zazwyczaj z koncepcją semantyczną. Autorem jednej z nich, zwanej „dyskwotacyjną” jest Willard Van
Quine, chociaż on sam przypisuje jej autorstwo Tarskiemu, mówiąc, że to on
„...podjął niebezpieczne zadanie zdefiniowania prawdy dla danego języka w ramach tegoż języka [podkreślenie moje – A. N.]przy zachowaniu minimum warunków, które ratują tę sytuację”.43
Chcąc zdefiniować w pewnym języku predykat „jest prawdziwe” odnoszący się do zdań tegoż języka musimy dysponować ich nazwami.44 Chociaż
Quine mówi o „przechodzeniu na poziom semantyczny”, to semantyczny charakter swojej koncepcji on sam poddaje w wątpliwość, mówiąc, że posługiwanie
się wewnątrzjęzykowym pojęciem prawdy jest tyko środkiem pozwalającym
formułować uogólnienia w inny sposób nieosiągalne. Na przykład uogólnienie
w rodzaju:
„Każde zdanie podpadające pod schemat «p lub nie p» jest prawdziwe.”
Według Quine’a nie jest to zdanie o języku i jego związkach ze światem
w nim przedstawianym, lecz tylko sposób mówienia o samym świecie. „Prawdziwość jest własnością zdania — mówi Quine — lecz własność ta polega na
tym, że świat jest taki, jak to zdanie głosi”.45 Nasz przykład głosi zatem, że
śnieg jest biały lub nie jest biały, że trawa jest zielona lub nie jest zielona, itd. —
i nic poza tym. Naszym zdaniem można jednak mieć wątpliwość, czy dotyczy to
wszelkich uogólnień, w których mowa o prawdziwości zdań. Na przykład, czy
uogólnienie:
„Wszystkie konsekwencje zdań prawdziwych są prawdziwe”
rzeczywiście mówi coś tylko o świecie, a nic o języku?
Jeśli język, do którego wprowadzamy predykat „jest prawdziwe” jest językiem, którym się posługujemy, to zazwyczaj towarzyszy temu przekonanie, że
jego wyrażenia do czegoś się odnoszą, a w szczególności nazwy wyrażeń do
wyrażeń. Można zatem powiedzieć — korzystając z przykładu Quine’a — że
„królik” denotuje króliki. Należałoby jednak dopowiedzieć, że jest tak w języku
42
Prawda, s. 236.
W. V, Quine, Na tropach prawdy, wydawnictwo SPACJA, Warszawa 1997 (Tłum. B. Stanosz),
s.131. Jednakże we wcześniejszej Filozofii logiki Quine pisał, że Tarski definiował pojęcie prawdy w
metajęzyku różnym od języka przedmiotowego
44
W najprostszej i najłatwiej przyswajalnej postaci są to nazwy cudzysłowowe. Warto zauważyć, że
traktując wyrażenia cudzysłowowe jako nazwy wyrażeń musimy odwołać się do ostensji, bowiem
nawet gdy posłużymy się opisem strukturalnym w rodzaju „wyrażenie utworzone z liter....” musimy
wskazać egzemplarze liter. Odwoływanie się do ich opisu w terminach geometrii pozwoliłoby tego
uniknąć, ale byłoby wielce uciążliwą ekstrawagancją.
45
Quine, Na tropach... s. 121.
43
19
polskim, co nastręcza pytanie: jakie pojęcie języka mamy tu na myśli? 46 Mamy
tu oczywiście do czynienia z interpretacją teorii Tarskiego różną od naszej parafrazy i związaną raczej z językami naturalnymi, a nie z językami nauk dedukcyjnych.
Przejdźmy na koniec do teoriomodelowej koncepcji prawdy. Podobnie jak
w naszej parafrazie, można tu traktować języki jako obiekty teoriomnogościowe. Jednakże pragnąc dysponować ogólnym pojęciem prawdy odnoszącym się
do wielu różnych języków, należy dysponować wspólnym dla nich schematem
budowy przedstawiającym wewnętrzną strukturę zdań i związków między zdaniami, co pozwoli określić dla każdego języka klasę jego modeli semantycznych. To z kolei pozwoli zdefiniować ogólne pojęcie prawdy zrelatywizowane
do modelu. Pragnąc mówić o prawdziwości zdań „po prostu”, musimy to pojęcie zderelatywizować przez wskazanie konkretnego modelu. Pozostaje wówczas
tylko relatywizacja do języka, ale ten musimy utożsamić z trójką uporządkowaną
J = 〈J, M, M〉〉 ,
gdzie J jest językiem scharakteryzowanym wyłącznie „strukturalnie”, M — klasą jego modeli semantycznych, zaś M — wyróżnionym elementem tej klasy odpowiadającym naszej zamierzonej interpretacji języka J jako języka pewnej teorii. Takie podejście pozwala wprowadzić — jako zrelatywizowane do języka
pojęcia wtórne — pojęcie konsekwencji w języku J zdefiniowane jako pojęcie
semantyczne oraz pojęcie zdania prawdziwego jako prawdziwego w modelu M.
Jest jednak wątpliwe, aby taka definicja zadowoliła poszukiwaczy filozoficznego pojęcia prawdy, skoro konstytutywnym elementem języka uczyniono tu
fragment rzeczywistości, o którym mowa. Przywykliśmy bowiem do myśli, że
język jest konstruktem złożonym wyłącznie z wyrażeń, spośród których przynajmniej niektóre odnoszą się do rzeczywistości pozajęzykowej. Zauważmy, że
przedstawiona tu parafraza teorii Tarskiego warunek ten spełnia.
* * *
Postscriptum. Nie było moim zamiarem przedstawić — czerpiąc inspirację z traktatu Tarskiego —jakąś teorię prawdy, którą skłonny byłbym zalecać.
Dzieło Tarskiego dopuszcza wiele interpretacji, mniej lub bardziej uprawnionych, natomiast przedstawiona tu parafraza — moim zdaniem — w dużym
stopniu odpowiada jego intencjom, dopóki chodzi o pojęcie prawdy w naukach
dedukcyjnych (formalnych). Wszak zauważył on, że identyfikując takie nauki
nie można ograniczać się do zbioru zdań i zbioru tez, lecz należy również
uwzględnić zbiór zdań prawdziwych, ten zaś można scharakteryzować odwołując się do interpretacji wyrażeń językowych. Wydaje się, że również współcześnie podejście matematyków do uprawianych przez nich teorii jest podobne.
Stawiają oni pytanie o model standardowy teorii, ale lekceważą różnice między
46
Quine ma na uwadze pragmatyczną koncepcję języka, co oczywiście wyklucza zdefiniowanie pojęcia prawdy jako zrelatywizowanego do języka i zapewne pozwala posługiwać się nim wyłącznie
jako wewnątrzjęzykowym. Takie zresztą jest zdanie Quine’a.
20
modelami izomorficznymi. Chodzi im zatem właśnie o zbiór zdań prawdziwych,
który jest taki sam we wszystkich modelach izomorficznych.
21