Rachunek zdań
Transkrypt
Rachunek zdań
Rachunek zdań ostatnia aktualizacja: 10 listopada 2010 r. Adam Gregosiewicz Zadanie 1. Przedstawić tabele wartościowania dla podstawowych funktorów zdaniotwórczych: koniunkcji ∧, alternatywy ∨, implikacji ⇒, równoważności ⇔. Zadanie 2. Pokazać, że poniższe wyrażenia są tautologiami rachunku zdań: a) p ⇔ p, b) ∼ (p∧ ∼ p), c) p∨ ∼ p, d ) p ⇒ (q ⇒ p), e) (p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q), f ) (∼ p ⇒ p) ⇒ p, g) (1 ∧ p) ⇔ p, h) (0 ∨ p) ⇔ p, i) (1 ⇒ p) ⇔ p, j ) (p ⇒ 0) ⇔∼ p, k ) ∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p∨ ∼ q), l ) ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q), m) [(p ⇒ q) ⇒ p] ⇒ p, n) (p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q), o) (∼ p ⇒ p) ⇒ p, p) ∼ p ⇒ (p ⇒ q), q) p ⇒ (p ∨ q), r ) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r), s) [p ⇒ (q ⇒ r)] ⇒ [(p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)], t) [p ∨ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∨ r], u) [p ∧ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∧ r], v ) [p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)], w ) [p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)], x ) [(p ⇒ q)∧ ∼ q] ⇒∼ p. Zadanie 3. Sprawdzić, czy poniższe wyrażenia są tautologiami rachunku zdań: a) [(p ∨ q)∧ ∼ p] ⇒ q, b) (p ⇒ q) ⇒ [(p ∧ r) ⇒ q], c) (p ⇒ q) ⇒ [p ⇒ (q ∨ r)], d ) p ⇒ [(∼ q ∧ q) ⇒ r], e) {[(p ∧ q) ⇒ r] ∧ (p ∨ q ⇒∼ r)} ⇒ (p ∧ q ∧ r), f ) [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ⇒ [(p ∧ s) ⇒ (q ∨ r)], g) [(p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r) ∨ (p ⇒ s)] ⇒ [p ⇒ (q ∨ r ∨ s)], h) [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ q) ∧ (s ⇒ q)] ⇒ [(p ∧ r∧ ∼ s) ⇒ q], i) {[(p ∧ q) ⇒ r] ∧ [(p ∧ q) ⇒∼ r]} ⇒ (∼ p∧ ∼ q∧ ∼ r), j ) [(p ∨ q) ∧ (r ∨ s)] ⇒ {[(p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)] ∧ [(q ⇒ s) ∨ (q ⇒ p)]}, k ) [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ∧ (t ⇒ u)] ⇒ [(p ∧ r ∧ t) ⇒ (q ∧ s ∧ u)]. Zadanie 4. Posługując się znanymi prawami rachunku zdań, wyprowadzić następujące tautologie: a) [(p ∧ q) ⇒ r] ⇔ [p ⇒ (q ⇒ r)], b) (p ⇒ q) ⇒ [(p ∧ r) ⇒ (q ∧ r)], c) [p ⇒ (q ⇒ r)] ⇒ [q ⇒ (p ⇒ r)], d ) [(p ∨ q)∧ ∼ p] ⇒ q. 1 2 Zadanie 5. Znaleźć możliwie najkrótszą formułę zdaniową równoważną formule a) (p ∧ q ∧ s) ∨ (p∧ ∼ q∧ ∼ r) ∨ (o ∧ q∧ ∼ s)∨ ∼ (p ∧ r ⇒ q), b) (p ∧ q)∨ ∼ (∼ p ⇒ q), c) (q ∧ r ∧ s∧ ∼ q) ∨ (p∧ ∼ q∧ ∼ p) ∨ (r ∧ s). (ag)