Odwzorowania Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Odwzorowania
Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od
rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie
każdemu) elementowi
elementu
. Zapisujemy to:
, Dalej
będzie
podzbiorem
, zaś podzbiorem
.
RYS.
Załóżmy, że mamy jakieś układy współrzędnych w
i
, tak że dowolny punkt
ma postać:
i analogicznie w
Na odwzorowanie możemy patrzeć po prostu jak na układ
funkcji
zmiennych.
Przykł.
1.
2.
— krzywa w
.
: Zamiana układu współrzędnych; pole wektorowe.
Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowanie ciągłe
Niech
,
, oraz niech będzie dane odwzorowanie
Mówimy, że odwzorowanie jest ciągłe, jeśli dla dowolnego ciągu
zbieżnego do punktu
mamy
.
elementów zbioru
Uwaga
Przypominając sobie definicję zbieżności ciągu widzimy, że odwzorowanie
wtedy, gdy wszystkie funkcje
(
) są ciągłe.
jest ciągłe wtedy i tylko
Przykłady
odwzorowań ciągłych. Tu:
,
,
.
Odwzorowanie stałe
Dla każdego
:
.
RYS.
Odwzorowanie identycznościowe
Tu niech
. Określamy odwzorowanie identycznościowe wzorem:
oznaczamy symbolem
.
;
często też
Superpozycja odwzorowań
Niech Tu:
,
,
oraz
, czyli
,
. Oznaczamy:
.
RYS.
Odwzorowanie
nazywamy superpozycją lub złożeniem odwzorowań
oraz
.
Twierdzenie=
Jeśli
i
są odwzorowaniami ciągłymi, to
Dow. (podobny jak w
Ponieważ
): Niech
też jest odwzorowaniem ciągłym.
będzie ciągiem elementów z
— ciągłe, więc
.
Oraz:
Ponieważ
Zatem
CBDO
— ciągłe, więc
.
.
:
oraz
.
Dodawanie liczb rzeczywistych
(dodawanie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ciągłym.
Dowód
Jest to po prostu twierdzenie, że granica sumy dwóch ciągów zbieżnych jest sumą granic.
CBDO
Mnożenie liczb rzeczywistych
(mnożenie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ciągłym.
Dowód
Granica iloczynu dwóch ciągów zbieżnych jest iloczynem granic.
CBDO
Dzielenie liczb rzeczywistych
(dzielenie liczb rzeczywistych) jest odwzorowaniem ciągłym.
Dowód
Granica ilorazu dwóch ciągów zbieżnych jest ilorazem granic.
CBDO
Nieciągła funkcja dwóch zmiennych
Funkcja dwóch zmiennych, która nie jest ciągła:
Przewciwobraz zbioru
Jeśli
, to zbiór:
nazywamy przeciwobrazem zbioru
przy odwzorowaniu
.
Przykł.
,
;
,
,
,
,
.
Uwaga
Pojawiający się wyżej symbol
odczytywać łącznie.
nie oznacza, że
jest odwracalne! Powyższy zapis należy
Zbiór otwarty
(*) Niech
Mówimy, że
,
.
jest otwarty w
, jeżeli istnieje zbiór otwarty
w
taki, że
RYS.
Inna charakteryzacja odwzorowań ciągłych
Twierdzenie
Niech
,
,
. Wówczas jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy
przeciwobrazy wszystkich zbiorów otwartych w są otwarte w .
Dowód
Zakładamy, że
Niech
— ciągłe i że
,
— otwarty.
będzie jakimś punktem z przeciwobrazu
:
. Pokażemy, że
Gdy już będziemy mieli dowód (%i 3), to wtedy:
Zdefiniujmy
jako:
jest otwarty, jako suma mnogościowa kul otwartych.
Ponieważ
, więc też
.
.
Z drugiej strony, ponieważ zachodzi (%i 3), to mamy dla każdego
dla pewnego
:
, z czego wynika, że
Ostatecznie: Ponieważ:
.
, to znaczy, że
czyli — w myśl definicji (*) wyżej —
jest otwarty w
.
Teraz dowód (%i 3). Dowód będzie niewprost: Przypuśćmy, że prawdziwe jest zaprzeczenie zdania
(%i 3), tzn. że zachodzi
Bierzemy wobec tego
i mamy, że dla każdego
(tzn. przecięcie wystaje poza zbiór
Czyli dla każdego
istnieje taki punkt
).
, że
,
,
,
Ponieważ
, zatem
ponieważ
z założenia jest ciągłe. Zbiór
jest otwarty w
, więc
, to
Zachodzi:
, czyli
i, ponieważ
. Ponieważ
zawarte w kuli
jest otwarty, to istnieje takie , że
, to prawie wszystkie wyrazy ciągu
:
zaś
(co było wyżej), a ponadto
i
Niech
są
to
i
( bo
oraz
). Skoro
— więc otrzymaliśmy sprzeczność.
. Trzeba pokazać, że również
Równoważnie będziemy pokazywać, że dla dowolnego
.
, prawie wszystkie wyrazy
.
Ponieważ
ponieważ dla
jest zbiorem otwartym, to
. Oraz mamy:
A to znaczy, że dla każdego ciągu
dążący do
muszą należeć do : Dla
zachodzi
CBDO
. Dalej,
— ciągłego przeciwobraz zb. otwartego jest zb. otwartym, to
jest zbiorem otwartym w
pewne jego otoczenie.
tzn.
jest zbiorem otwartym w
, czyli razem z
, wszystkie wyrazy
musi należeć do
od pewnego miejsca
Jeszcze inna charakteryzacja odwzorowań ciągłych
Twierdzenie
Dowód
Załóżmy, że teza tw. powyżej jest nieprawdziwa, tzn.
Wybierzmy
. Istnieje więc taki ciąg
, że
Z (*) wynika, że
, natomiast z (**) wynika, że
założeniem, że jest ciągłe.
Niech
Ponieważ
, oraz
. Weźmy
, to dla prawie wszystkich
a ta ostatnia nierówność mówi, że
, co jest sprzeczne z
. Z założenia,
zachodzi:
, a to znaczy, że
jest ciągłe.
CBDO
Twierdzenie
(nazwane w notatkach 'sakramentalnym'; na pewno jest FUNDAmentalne).
Niech
— zwarty, oraz niech
1.
2.
jest ograniczona.
osiąga swoje kresy, tzn.:
3.
jest jednostajnie ciągła.
— funkcja ciągła. Wtedy:
Dowód
1. Przypuśćmy, że
nie jest ograniczona. Wtedy istnieje
Ponieważ
jest zwarty, więc ciąg
jest ciągła, więc
co stanowi sprzeczność z
,
posiada podciąg zbieżny
:
. Ale
. CBDO
2. Niech
będzie zbiorem wartości funkcji na :
będzie kresem górnym zbioru wartości funkcji na :
domknięcia zbioru:
taki, że
.
jest domknięty, więc istnieje ciąg
. Niech
. Kres górny należy do
o wyrazach z
że
.
jest zwarty, więc domknięty, więc istnieje podciąg
który to podciąg jest zbieżny do granicy należącej do :
CBDO
ciągu
taki,
,
Jednostajna ciągłość
Przypomnijmy sobie, co to znaczy, że funkcja od argumentu rzeczywistego jest jednostajnie ciągła.
Dla odwzorowania definicja jest analogiczna:
Teraz
Dowód
Przypuśćmy, że
Weźmy
nie jest jednostajnie ciągła, tzn.
i ciągi
,
o wyrazach z
jest zwarty, więc można założyć, że
Mamy:
Mamy więc:
; oraz z ciągłości :
takie, że
.
Ale ostatnia nierówność jest sprzeczna z
CBDO
.