Grupy homotopii i twierdzenie Whitehead`a
Transkrypt
Grupy homotopii i twierdzenie Whitehead`a
Grupy homotopii i twierdzenie Whitehead’a Krzysztof Krzywdziński Streszczenie W niniejszym referacie wprowadzone zostaną podstawowe pojęcia takie jak homotopijna równowazność, grupa podstawowa, wyższe grupy homotopii oraz pojęcie CW-kompleksu. Na koniec podany zostanie jeden z fundamentalnych wyników; twierdzienie Whiteheada. 1 Wstęp Topologia jest dziedziną matematyki zajmującą się badaniem kształtów. Nie liczy się w niej wielkość długośća ale te cechy któe nie zmieniają się po ”‘plastycznych deformacjach”’ takie jak np. ilość dziur. Topologia algeabraiczna stara się powiązać obiekty topologiczne z obiektami algebraicznymi (przeważnie prostszymi) i badając te drugie chce wywniskować coś o tych pierwszych. Teoria homotopii to jeden z przykładów takich powiązań. Badając różne sposoby ”włożenia” n-wymiarowych swer w daną przestrzeń topologiczą otrzymujemy grupę (obiekt algebraiczny) którą nazywamy n-tą grupą homotopii. Twierdzienie Whiteheada mówi nam że jeśli dwie specjalne przestrzenie (tzw. CW- kompleksy) mają identyczne grupy homotopii to są one bardzo podobne kształtem (homotpijnie równoważne). Czyli badając grupy homotopii danych przestrzeni dowiadujemy się w zasadzie wszytskiego o tych przestrzeniach. 1 2 Homotopia Definicja 1 (odwzorowania homotopijne) Dwa ciągłe odwzorowania przestrzeni topologicznych f, g : X → Y nazywamy homotopijnymi, pisząc f ' g, jeśli istnieje homotopia między nimi, tzn. ciągłe odwzorowanie h : X × [0, 1] → Y takie, że h(x, 0) = f (x) i h(x, 1) = g(x) dla każdego x ∈ X. Definicja 2 (homotopijna równowazność) Odwzorowanie ciągłe nazywamy homotopijną równoważnością pomiędzy X a Y jeśli istnieje ciągłe odwzorowanie g : Y → X takie że g ◦ f ' IdX oraz f ◦ g ' IdY . Mówimy wtedy że X i Y są homotopijnie równoważne. Wniosek 1 Homotopijna równoważność jest relacją równoważności. Definicja 3 Dwa zbiory są homotpijnie równoważne jeśli istnieje między nimi homotpijna równoważność/ Definicja 4 (kalsy homotopii) Zbiór klas homotp ciągłych odwzorowań X → Y oznaczamy jako [X, Y ] 3 Grupy homotopii Oznaczenia 1 (i) I n n-wymiarow kostka jednostkowa (ii) ∂I n brzeg n-wymiarowej kostaki Definicja 5 (n-ta grupa homotpii) Grupa πn (X, x0 ) to zbiór klas homotopii odwzorowań f : (I n , ∂I n ) → (X, x0 ) które spełniają warunek ft (∂I n ) = x 0 . Działanie w tej grupie zadane jest wzorem: (f + g)(s1 , s2 , . . . , sn ) = f (2s , s , . . . , s ), s1 ∈ [0, 1/2] 1 2 n g(2s1 − 1, s2 , . . . , sn ), s1 ∈ [1/2, 1] Wniosek 2 Grupa homotopii jest niezmiennikiem homotopijnym Jeśli X ' Y to dla każdego n πn (X) = πn (Y ) 2 4 Metody obliczania grup homotopii Przykład 1 Metody obliczania grup homotopii (i) jeśli k < n to πk (S n ) = 0 (ii) πn (S n ) = Z (iii) πn (X × Y, (x0 , y0 )) = πn (X, x0 ) × πn (Y, y0 ); (iiii) πi (S n ) i 1 n 1 Z 2 0 3 0 4 0 4 0 5 2 0 Z 0 0 0 3 0 Z Z 0 0 4 0 Z2 Z2 Z 0 5 0 Z2 Z2 Z2 Z 6 0 Z12 Z12 Z2 Z2 7 0 Z2 Z2 Z × Z12 Z2 8 0 Z2 Z2 Z2 × Z2 Z24 Cw - kompleksy Definicja 6 CW - kompleks (i) X 0 dyskretny zbiór (0-komórki) (ii) Indukcyjnie n-szkielet X n otrzymujemy z X n−1 poprzez przyklejanie nkomórek enα poprzez odwzorowania ψα : S n−1 → X n−1 . Czyli X n jest przestrzenią ilorazową powstałą z sumy rozłącznej X n−1 ze zbiorem dysków nwymiarowych. Jako zbiór jest to X n = X n−1 qα enα . (iii) W przypadku skończenie wymiarowym mamy x = X n dla pewnego n < ∞. Można kontunuować nieskończenie biorąc X = ∪n X n ze słabą topologią : A ⊂ X otwarty iff A ∩ X n jest otwarty dla każdego n. 6 Twierdzienie Whitehada Twierdzenie 1 Twierdzienie Whitehada Jeśli odwzorowanie f : X → Y pomiędzy spójnymi CW-kompleksami indukuje izomorfizm f∗ : πn (X) → πn (Y ) dla wszystkich n to f jest homotopijną równoważnością. 3 Krzysztof Krzywdziński Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Literatura [1] A. Hatcher, Algebraic Topology, http://www.math.cornell.edu/ hatcher. [2] C. Kosniowki, Wprowadzenie do topologii algebraicznej, Wydawnictwo naukowe UAM 1999. [3] K. Janich, Topologia, PWN 1998. [4] E. H. Spanier Topologia Algebraiczna, PWN 1966. 4