Wykład 6

go względem ustalonego
Moment pędu Określamy
punktu O
r
v
r
r
r
r
r L = r × p = r × mV
r
L
p = mV - pęd punktu materialnego
r
r
-wektor określający jego
położenie względem punktu O
α
Długość wektora momentu pędu
x
r
p
r
L
r
r
.
O
r⊥
.
α
A
α
r
L = mVr sin α = mVr⊥
r
r
r = r ;V = V
r
r r
r || p → L = 0
r⊥ = r sin α
r
r r
r ⊥ p → L = rp
Moment pędu bryły sztywnej określony względem
początku układu współrzędnych
r
r r
L = ∑ ri × pi
i
suma po punktach
materialnych
tworzących bryłę
pęd i-tego punktu
wektor wodzący i-tego punktu
r r
τ = r ×F
v
Moment siły
r
F
F⊥
Określamy go względem
ustalonego punktu O
α
r
F - siła przyłożona
r
r -wektor określający
.
A
r
. τ
O
r
r α
r⊥
miejsce przyłożenia siły
względem punktu O
r
r
r = r ;F = F
r
τ = τ = rF sin(α ) = r⊥ F = rF⊥ r⊥ = r sin α
r
r
r
r
r
r
r || F → τ = 0 r ⊥ F → τ = rF
F⊥ = F sin α
Wypadkowy moment siły dla punktu materialnego
Gdy na punkt działa kilka sił to wówczas wypadkowy moment siły
jest równy momentowi siły wypadkowej
r r r
r
r
r r
r r
r
τ w = ∑τ i = ∑ ri × Fi = ∑ r × Fi = r ×∑ Fi = r × Fw
i
i
i
i
r
r - miejsce przyłożenia i-tej siły
ri
Fi
r -miejsce położenia punktu materialnego
r
r r
przy czym ri = r
dla dowolnego i
(
)
(
)
Wypadkowy moment siły dla bryły
Wypadkowy moment siły nie jest równy momentowi siły wypadkowej
gdyż różne
materialnych
r siły mogą być przyłożone do różnych punktów
r
r r
Gdy siła F j jest przyłożona do innego punktu niż siła Fi to
ri ≠ rj
Wypadkowy moment siły jest równy sumie momentów wszystkich sił.
r
r
r r
τ w = ∑τ i = ∑ ri × Fi
(
i
)
i
Wkład do niego nie wnoszą siły działające miedzy punktami
materialnymi wchodzącymi w skład bryły, tylko siły zewnętrzne
Związek momentu siły z momentem pędu
r
r
dL
τw =
dt
Szybkość zmiany w czasie momentu pędu
jest równa wypadkowemu momentowi siły
Moment ten w przypadku pojedynczego punktu materialnego
jest równy momentowi siły wypadkowej
Momenty pędu i siły są określone względem tego samego punktu
nieruchomego w układzie inercjalnym. Równanie powyższe
pozostaje prawdziwe także gdy moment pędu i siły określimy
względem środka masy układu (środka masy bryły)
Zasada zachowania momentu pędu
Jeżeli wypadkowy moment siły jest równy zeru to moment pędu
jest zachowany
r
r
τ w = 0 → L = const
Zasada zachowania momentu pędu w ruchu punktu materialnego pod
wpływem siły centralnej na przykładzie siły grawitacyjnej
Siła centralna –skierowana w kierunku
stałego punktu w przestrzeni
Siła grawitacyjna
r
V
m
r
r
r
FG
M .
r
L
r
GmM
FG = − 2
r
r
r
= A(r ) ⋅
r
r
r
⋅ =
r
Moment siły grawitacyjnej
r r r
GmM r r
określony względem położenia τ = r × FG = − r 3 r × r = 0
ciała o masie M (centrum siły)
Moment pędu ciała o masie
r
r
m określony względem
τ = 0 → L = const
centrum siły nie zmienia się
trakcie ruchu
Zasada zachowania momentu pędu w ruchu planety o masie m wokół
nieruchomej gwiazdy
(Słońca) o masie M po elipsie
r
V m
Moment pędu
r
r
aphelium
r
VA
r
rA
rA
r
r
r
L peryhelium = rP m VP = rP mVP
Z zasady
zachowana
momentu pędu
r
FG
M .
r
L
r
VP
r
rP
peryhelium
W peryhelium i
aphelium
r r
r ⊥V
rP
r
r
r
Laphelium = rA m VA = rA mVA
r
r
L peryhelium = Laphelium
VP rA
=
VA rP
r r
r
L = r × mV
mVP rP = mVA rA
Szybkość w peryhelium
jest większa niż w
aphelium
Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
Bryła się składa z wielu punktów materialnych przy czym odległości
między dowolnymi punktami bryły nie ulęgają zmianie w czasie
ruchu bryły, punkty te nie mogą się względem siebie przemieszczać
Bryła może podlegać
a) ruchowi postępowemu w którym wszystkie punkty bryły
poruszają się z jednakowa prędkością
b) ruchowi obrotowemu w którym wszystkie punkty bryły poruszają
się po okręgach, których środki leżą na osi obrotu
c) złożeniu obu ruchów przy czym kierunek osi obrotu może ulegać
w ogólności zmianie
Bryła pozostająca w spoczynku może zacząć się obracać
nawet wówczas gdy siła wypadkowa jest równa zeru
r
r r
Fw = F1 + F2 = 0
r
F2
r
r2
r
r1
r
τw
Środek masy w spoczynku lub
porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym
r
F1
r
r
F2 = − F1
Równanie ruchu
r r
v r r r
τ w = r1 × F1 + r2 × F2 = 2r1 × F1 ≠ 0
r
r
r
r2 = −r1
r
r
dL
τw =
dt
Jak wyznaczyć
moment pędu L?
Ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony ( któremu podlega każdy
z punktów bryły nie leżący na osi obrotu) jest wywołany przez
wypadkowy moment siły różny od zera określony względem
pozostającego w spoczynku środka masy bryły.
Rzut momentu pędu bryły sztywnej na oś obrotu
( określony względem dowolnego punktu na osi obrotu)
r
r
r r
r
L|| = ∑ ri ⊥ × pi = ∑ ri ⊥ × miVi
i
r
ω
i
r
L ||
rzut momentu pędu punktu o masie mi
poruszającego się z szybkością Vi po
okręgu o promieniu ri⊥ na oś obrotu
Suma po
punktach
tworzących
bryłę
Kierunek i zwrot rzutu
momentu pędu jednakowy
dla wszystkich punktów
bryły
r
ri ⊥
r
Vi
r
r r
Vi = ri ⊥ ω
r
r
r⊥i ⊥ Vi
r
v
r
r
r r
v r
2
L|| = ∑ ri ⊥ × miVi = ∑ mi ri ⊥ Vi = ω ∑ mi ri ⊥ L = ω ∑ m r 2
||
i i⊥
i
i
r
Prędkość kątowa ω
i
i
jednakowa dla wszystkich punktów bryły
odległość od osi
i-tego punktu
Moment bezwładności
masa i-tego punktu
r
r
m1=m
r1⊥= r2⊥ =r
m2=m
I = 2mr
I = ∑m r
2
i i⊥
i
Suma po punktach układu
2
ri⊥=r
mi
ri ⊥ = const = r
I = ∑m r
2
i i⊥
=
i
= r 2 ∑ mi = r 2 m
Dla brył
suma → całka
I = ∫ r⊥2 dm = ∫ ρr⊥2 dV
m
ρ
V
-gęstość bryły
i
ρ = const
= ρ ∫ r⊥2 dV
V
całka po objętości bryły
r⊥
dV
Moment bezwładności
Dysk (walec)
1
2
I = mr
Kula o promieniu r
(względem osi
przechodzącej przez
środek kuli)
Pręt o długości l
(względem osi
prostopadłej do pręta
przechodzącej przez jego
środek )
2
5
2
I = mr
I=
1
12
r
2
ml
2
l/2
m-masa bryły
l/2
Twierdzenie Steinera
I = I 0 + md
I0
2
I0 -moment bezwładności
względem osi przechodzącej
przez środek masy bryły
I -moment bezwładności
względem osi równoległej do
osi przechodzącej przez środek
masy bryły
m-masa bryły,
d-odległość między osiami
I0
d
I
Przykład zastosowania Twierdzenia Steinera –moment bezwładności
pręta względem osi przechodzącej przez koniec pręta
I0
Ik
l/2
d=l/2
I0 =
2
1
12
ml
I k = I 0 + md =
1
12
2
2
1
4
2
1
3
ml + ml = ml
2
Rzut momentu pędu bryły sztywnej na oś obrotu
r r
2
L|| = ω ∑ mi ri ⊥
i
I = ∑m r
2
i i⊥
r
ω
r
r
ω = ω z k = ωk
r
i
r
r
L|| = Iω
r
r
L|| = Lz k
Lz = Iω
r
k
r
L ||
r
ri ⊥
r
k =1
r
Vi
Związek rzutu momentu pędu na oś obrotu z rzutem
wypadkowego momentu siły na oś obrotu
r
r
dL
τw =
dt
r
τ =
w||
r
dL||
dt
τ
wz
dLz
=
dt
Oś obrotu OZ nieruchoma w dowolnie wybranym układzie
inercjalnym lub mająca ustalony kierunek i przechodząca przez
środek masy bryły
Zasada zachowania momentu pędu w przypadku
ruchu obrotowego
r
τ w||
r
= 0 → L|| = const
τ wz = 0 → Lz = const
Jeżeli rzut wypadkowego momentu siły na oś
obrotu jest równy zeru to rzut momentu pędu
bryły na tą oś jest zachowany
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
r
ω
r
L ||
r
ri ⊥
r
Vi
r
r r
Vi = ri ⊥ ω
Ekin,obr =
1
2
∑mV
i i
i
2
=∑
i
1
2

2  2
m r ω =  ∑ mi ri ⊥ ω = 12 Iω 2
 i

2
i i⊥
2
1
2
Bryła w polu siły ciężkości
Jeśli na bryłę działa siła ciężkości to można przyjąć iż jest ona
przyłożona do środka ciężkości bryły oraz ma wartość równą
Fc = mg
gdzie m-masa bryły , g- wartość przyspieszenia ziemskiego
Energia potencjalna bryły w polu siły ciężkości jest równa E pot = mgh
gdzie h to wysokość środka ciężkości nad poziomem odniesienia
Gdy g=const w obszarze bryły oraz gęstość bryły jest stała to środek
ciężkości pokrywa się ze środkiem masy.
Początkowy moment bezwładności Ip, a prędkość kątowa ωp
końcowy moment bezwładności Ik.
Jaka jest prędkość kątowa ωk?.
Czy energia kinetyczna układu ulegała zmianie?
ωk
ωp
Ip
Ik
Rzut wypadkowego momentu siły na oś obrotu równy zeru
– Rzut moment pędu na oś obrotu jest zachowany
– Lkz=Lpz
Ip
– początkowy: Lpz = Ipωp
ωk = ω p
Ik
– końcowy: Lkz = Ik ωk
z
z
ωp
ωk
Ik < I p
Ik
Ip
Lp
Lk
ωk > ω p
Wzrostowi prędkości kątowej towarzyszy w omawianym
przypadku wzrost energii kinetycznej układu
Ekin, p =
I pω
2
p
Ekin,k
2
I kω
=
2
2
k
z
ωk = ω p
z
ωp
Ip
Ik
Ekin,k =
ωk
I pω p2 I p
2
Ik
Ik < I p
Ik
Ip
Lp
Lk
Ekin,k > Ekin, p
II zasada dynamiki ruchu obrotowego
wokół osi obrotu nieruchomej ( w pewnym układzie
inercjalnym ) lub osi o ustalonej orientacji w
przestrzeni przechodzącej przez środek masy
r
r
r
ω = ω z k = ωk
dLz d ( Iω ) I =const dω
τz =
=
= I
= Iε εr = ε kr = εkr
z
dt
dt
dt
Lz = Iω z = Iω
dω
ε=
dt
τ z = Iε
I-stały moment bezwładności względem osi
obrotu
ε-przyspieszenie kątowe,
τz –składowa z-towa momentu siły
(oś Oz –oś obrotu) τ z > 0 → ε > 0
τz < 0 →ε < 0
r
ε = εk
r
r
τ ||
r
k
r
= τ zk
v
ri ⊥
r
Vi
Złożenie ruchu postępowego i obrotowego bryły
Bryła sztywna może podlegać oprócz ruchowi obrotowemu również
ruchowi postępowemu. W takim ruchu wszystkie punkty bryły poruszają się
z jednakową co do wartości, kierunku i zwrotu prędkością.
W ogólnym przypadku ruch bryły może być złożeniem ruchu obrotowego i
postępowego. Przykładem takiego ruchu może być np. toczenie bez
poślizgu bryły w kształcie np. koła, walca czy obręczy będące
złożeniem
ruchu postępowego z prędkością równą prędkości środka masy
r
bryły Vsm i obrotowego wokół osi przechodzącej przez ruchomy środek
masy z prędkością kątową równą ω taką iż
Vsm
ω =
R
Rys. a
(ruch postępowy)
R
r +
Vsm
r
Vsm
(ruch obrotowy)
+
R
r
Vsm
R
R
R
R
r
Vsm
Złożenie ruchów-toczenie
r
Vsm
oś obrotu
r
V =0
r
2Vsm
r
Vsm
Związek prędkości kątowej z
szybkością środka masy w
przypadku toczenia
R ∆ϕ
dS
Vsm =
= lim
=
dt ∆t →0 ∆t
∆ϕ
= R lim
= Rω
∆t →0 ∆t
∆ϕ
Zależność obowiązuje
tylko w przypadku ruchu
bez poślizgu
S = R ∆θ
M S Karlapper
Związek przyspieszenia kątowego z
przyspieszeniem środka masy
Jeśli bryła toczy się bez poślizgu to środek
masy bryły porusza się z szybkością
r
a sm
.. Vsm = R ω
Gdy do bryły przyłożymy zewnętrzną siłę to
środek masy bryły może poruszać się z
przyspieszeniem. W przypadku toczenia się
bez poślizgu przyspieszenie to można
powiązać z przyspieszeniem kątowym w
ruchu obrotowym. Gdy asm>0 i ε>o to
asm
dVsm d ( Rω )
dω
=
=
=R
= Rε
dt
dt
dt
Przyspieszenie
kątowe
Toczenie można też opisać jako ruch ściśle obrotowy
wokół osi obrotu leżącej na styku bryły z podłożem.
Widać iż szybkość poszczególnych punktów bryły
jest inna i zależy od położenia punktu
ω 2 R = 2 ω R = 2Vsm
Vsm
Prędkość kątowa wszystkich
punktów koła jest taka sama
i równa ω.
Szybkość punktu P jest równa zeru, P’ jest równa 2Vsm
M S Karlapper
2Vsm
R
Z Tw. Steinera
Vsm
2
I = I0 + mR
I0
R
I
1 2 1
2
2
Ekin = Iω = I 0 + mR ⋅ ω =
2
2
2
2
2
I 0ω
I 0ω
mVsm
m
2
=
+ (Rω ) =
+
2
2
2
2
(
)
Energia kinetyczna bryły podlegającej ruchowi postępowemu i
obrotowemu względem osi przechodzącej przez środek masy jest
sumą energii w ruchu postępowym i obrotowym
Ekin
1
1
2
2
= mVsm + I o ⋅ ω
2
2
energia kinetyczna
w ruchu postępowym
energia kinetyczna
w ruchu obrotowym
I0 -moment
bezwładności
względem osi
przechodzącej
przez środek
masy
Staczanie się kuli z równi pochyłej bez poślizgu
r
FR
r
Ft
r
Fc ⊥
r
asm
r
r
Fc = mg
r
Fs
r
Fc
Ruch postępowy
r
r
Fw = masm
r
τ || = I 0ε
α
bez poślizgu. Znaleźć
Fs − Ft = masm
Ruch obrotowy
r
r r
r
Fc = Fc ⊥ + Fs
α
Kula stacza się z równi o kącie nachylenia do poziomu
przyspieszenie liniowe środka masy kuli.
RFt = I 0ε
Rozkład siły
ciężkości na silę
prostopadłą do
równi i siłę
zsuwającą
asm
ε=
R
I 0 asm
Ft = 2
R
Wkład do momentu siły względem środka masy wnosi tylko siła tarcia
r
FR
r
asm
r
r
Fs
Ft
r α r
Fc ⊥ Fc
Fs − Ft = masm
Nie obowiązuje
wzór
Ft = FR µ = Fc ⊥ µ
obowiązujący tylko
przy zsuwaniu się
ciał
α
Ft = mg sin(α ) − masm
Fs = mg sin(α )
I 0 asm
Ft = 2
R
2
Ft = mg sin(α )
7
I o = 52 mR2
mg sin(α )
asm =
I0
m + 2 asm nie
R
zależy od
asm = 75 g sin α
masy i
promienia
kuli
Aby staczanie kuli bez
poślizgu było możliwe musi
zachodzić
Ft ≤ Fts ,max
r
FR
r
asm
r
r
Fs
Ft
r α r
Fc ⊥ Fc
α
Siła tarcia nie może być większa od maksymalnej wartości siły tarcia statycznego.
2
Ft = mg sin(α )
7
Fts ,max = FR µ s = Fc ⊥ µ s = mg cos(α )µ s
2
µ s ≥ tg (α )
7
µs- statyczny współczynnik tarcia
Staczaniersię kuli z równi pochyłej bez poślizgu
V =0
r
asm
rozważania
energetyczne
h
α
r
Vk
Całkowita energia kuli jest zachowana. Energia potencjalna na
szczycie równi zamienia się na energię kinetyczną u podstawy równi
2
2
2 Vk
mR 2
mVk2 Iωk2 mVk2 5
R = 7 mV 2
mgh =
+
=
+
k
2
2
2
2
10
Vk =
10
gh
7
Ponieważ siły działające na kule nie zależą od czasu to ruch jej
środka masy jest ruchem jednostajnie przyspieszonym i
Vk = asmt k
S=
tk =
2
sm k
a t
h
=
sin α
2
Vk
asm
h
Vk2
=
sin α 2asm
asm
Vk2 sin α 5
=
= g sin (α )
2h
7