Energiato wielkość skonstruowana tak, że dla zamkniętego układu

Energia to wielkość skonstruowana tak, że dla zamkniętego układu zawsze jest stała – jak wyróżnimy różne
podukłady/ciała, mogą sobie przekazywać energię (czyli wykonywać pracę). Im większa energia, tym więcej
można jej przekazać, a więc większą pracę wykonać: W =
E. Praca jest zawsze między czymś, co daje, a
czymś, co dostaje (we wzorze W =
E trzeba pamiętać, że jeśli W to praca jakiegoś ciała/układu A nad
ciałem/układem B, to
E jest zmianą energii B, a – E zmianą energii A). Jak praca A nad B jest ujemna, to
tak naprawdę ciało B przekazuje energię ciału A – minus wskazuje kierunek przepływu energii (ważne żeby
trzymać się jednej definicji pracy A nad B). Dlatego zawsze, jak nie wiesz, + czy –, pomyśl, w którą stronę
płynie energia. Na przykład praca dziecka ciągnącego pod kątem alfa sanki, trące o podłoże, idzie na energię
cieplną sanek i podłoża (praca dziecka NAD podłożem jest dodatnia, podłoże zyskuje energię, dziecko traci).
Energia cieplna też może być przekazywana między ciałami, wtedy oznaczamy ją Q. Ostatecznie
E=W+Q,
czyli I zasada termodynamiki to po prostu zasada zachowania energii. Pytanie jakiej:
1. kinetyczna: „zmagazynowana” jest w ruchu ciała zgodnie ze wzorem E=
(gdy
)
2. cieplna: „nieuporządkowana” energia pojedynczych cząsteczek, którą trudno zamienić w „makroskopową”
energię dużych ciał. Przekaz energii cieplnej (ciepło) często nie jest odwracalny, dlatego oznacza się go jako Q,
a nie W. O tym, kiedy taki przekaz można odwrócić albo zmienić w pracę mówi 2. zasada termodynamiki.
3. potencjalna: gdy siła jest zachowawcza, ruch ciała po zamkniętym torze pod wpływem tej siły nie powoduje
straty energii tego ciała1. Skoro po powrocie do tego samego punktu energia ciała się nie zmienia, praca, jaką
wykonają siły zachowawcze nad tym ciałem przy ruchu od punktu do punktu nie zależy od drogi. 2
Przy przesunięciu o , gdy na ciało działa siła , zyskuje ono energię kinetyczną
. Gdy siła jest
zachowawcza, odbywa się to kosztem energii potencjalnej, (całkowita energia musi być zachowana):
Wiem, że
skalarem, więc nie można podzielić
jest wektorem, a
wszystko się zgodzi jeśli napiszę:
– ale
(granica przy
Na ciało wpływają tylko zmiany
czyli praca wykonywana przez siły zachowawcze. Znaczy to, że jeśli
dodamy do
stałą (niezależną od położenia), niczego to nie zmieni. Dlatego określam sobie pewien punkt
(np. nieskończoność), dla którego
jest 0. Wtedy
dla danego ciała to praca3 potrzebna do przeniesienia go
z tego szczególnego punktu do punktu w którym ciało się znajduje:
Przykłady: energie sprężystości (
), grawitacji dla ciała blisko ziemi (
), dwóch
elektrycznych ładunków punktowych (
) itd. Dla sił zachowawczych suma
pozostaje
stała. Np. dla energii sprężystości
to energia zgromadzona w sprężynie, a
to energia kinetyczna ciała
doczepionego do sprężyny. W innych przypadkach „zaksięgowanie” energii między ciałami może być
trudniejsze, ale nie warto się tym przejmować – ważne, aby każdy człon sumy policzyć dokładnie raz.
Bryła sztywna to takie ciało, w którym 2 dowolne punkty nie zmieniają wzajemnego położenia. Ten zbiór
punktów ma „bezwładność” (analogia masy), i można go obracać wokół osi obrotu, którą wybieramy
dowolnie. Dla takiej osi
, gdzie
to masa danego punktu, a to odległość tego punktu od osi.
Uwaga: nie ma jednego I, zależy od osi obrotu!
ruchu obrotowego bryły obracającej się z prędkością to
(jeśli przyjmiemy, że ruch jest tylko obrotowy
oraz
, widać, czemu dla masy punktów musimy mnożyć przez : wtedy suma energii kinetycznych
wszystkich punktów
. I jest sumą, zatem jest addytywne - możemy je dodawać/odejmować od innego I (wzgl. tej samej osi), kiedy (roz)łączymy 2 ciała.
Środek Masy bryły z punktów o masach
i położeniach
Gdy na każdy i-ty punkt bryły działa przyspieszenie
to wektor równy:
(np. grawitacyjne), to siła
działa tak jakby bryła była punktem
1
Wracając do tego samego punktu tracimy tyle energii, ile zyskaliśmy, odchodząc od niego: (sumaryczna praca nad ciałem)=0.
Praca po drodze 1 to , po drodze 2
. Gdy wrócę po drodze 1 do punktu wyjścia, zmienię energię ciała o –
(bo sumaryczna
praca musi być 0). Więc jeśli pójdę drogą 2, a wrócę drogą 1, łączna zmiana energii to 0=
Stąd = .
3
Chodzi o pracę przeciwko siłom zachowawczym, a nie o pracę sił zachowawczych nad ciałem (która będzie miała przeciwny znak)
22
położonym w jej środku masy, o masie
. Tak samo w drugą stronę: siła
działa tak, jakby na każdy punkt ciała działało przyspieszenie
zaczepiona w środku masy
, więc ciało nie zacznie się obracać. 4
Dlatego siłę grawitacji czy siły pozorne w układach nieinercjalnych zaczepia się w środku masy.
Uwaga: tzw „środek ciężkości” jest równy środkowi masy tylko, gdy g=const. Gdyby ciało było na tyle duże,
że różne jego punkty byłyby przyciągane z różnym przyspieszeniem, łączną siłę grawitacji działającą na ciało
trzebaby zaczepić gdzie indziej niż w środku masy – w środku ciężkości, który leżałby w innym miejscu.
Powyżej uzasadniłem, że siły zaczepione w środku masy, nie wpływają na ruch obrotowy, a wyłącznie
postępowy. W innym wypadku wpływają na oba ruchy, na postępowy tak jakby były doczepione do środka
masy, a na postępowy przez moment siły
, gdzie R to wektor od środka masy do punktu
zaczepienia siły, a
to przyspieszenie kątowe). Tak jak moment siły przypomina siłę, tak
moment pędu przypomina pęd: można go policzyć dla ciała punktowego w odległości R od obserwatora
(moment pędu można policzyć dla dowolnej osi), i wtedy
oraz
co daje zasadę zachowania momentu pędu: dopóki
,
Dla większej liczby punktów moment pędu to (analogicznie jak dla pędu równego
):
Prawie wszystko jest analogiczne, w tym praca:
(gdzie - droga kątowa, równoległa do osi obrotu)
Ma to znane konsekwencje: kiedy człowiek stanie na obrotowym krześle trzymając wirujący w pionie dysk i
obróci go do poziomu (o 90st), sam zacznie się obracać – działa zasada zachowania momentu pędu w pionie!
http://www.youtube.com/watch?v=T3E-iZZV0gE
Podsumowując to wszystko:
- łączna energia kinetyczna
(v to prędkość środka masy, I mierzymy względem tej osi co )
- wszystkie siły działające na ciało składają się na ruch postępowy (środka masy)
- wszystkie momenty sił działające na ciało składają się na ruch obrotowy
Równowaga w bryle sztywnej jest wtedy, gdy p=const i L=const. Jest statyczna, gdy p=0 i L=0. Może być:
- trwała gdy energia potencjalna jest minimalna (nie może zamienić się na
i wytrącić ciała z równowagi)
- chwiejna gdy
jest maksymalna (minimalna zmiana położenia wpłynie na
i spowoduje dalszą zmianę)
- obojętna gdy
jest stała
Co warto zapisać w zeszycie?
Ogólne wzory przydatne w różnych sytuacjach, np. zmiana pędu 2 zderzających się w jednym wymiarze
punktowych kulek o dowolnych prędkościach v:
Dla bryły sztywnej przydadzą się momenty bezwładności różnych brył i sposoby ich liczenia, takie jak tw.
Steinera (
), to że środek masy 2 brył można policzyć tak jakby były punktami, każda w swoim
środku masy, twierdzenie Pappusa (bryła powstała przez obrót jakiejś figury w przestrzeni ma objętość równą
powierzchni tej figury mnożonej przez drogę, jaką przebył środek masy tej figury) itd.
Przykładowe zadania (bardzo proste, na rozgrzewkę)
1. Oblicz I0 rury o promieniu zewnętrznym R, wydrążonej w środku na szerokość 2r. Znamy R,r i m rury
(trzeba odjąć od I „dużego” walca I „małego” walca, wtedy I 0=I1-I2=mR^2-mr^2=m(R^2-r^2)
2. Tarcza o masie m i I0=mr^2/2 wiruje z prędkością kątową w. Na brzegu tarczy stoi żuk o masie M,
przechodzi do jej środka (najkrótszą drogą w układzie tarczy) i staje w miejscu. Jaką pracę wykonał, przeciw
czemu i co ona zmieniła? (zmienił się całkowity I, na żuka działała siła odśrodkowa)
Prawdziwe zadania
(zbiór zadań można pobrać np. z http://www.4shared.com/zip/7yLcwS04ce/zadania.html)
Wstecznie polecam omówienie zadania z klinem z 1. spotkania: II.18 (strona 733, 50. strona pliku PDF)
Na równowagę chwiejną: III.6 (str. 778, PDF. 73) albo III.3 (str. 769, PDF. 68)
Metoda przesunięć wirtualnych, o której nie zdążyłem powiedzieć, jest zastosowana w III.7 (str. 779)
Niestety zadań na bryłę sztywną tam nie znalazłem, ale ogólnie wszystkie zadania ze zbioru bardzo polecam.
4
O ile nie ma jakiejś innej siły (np. siły reakcji, która wymusza inną oś obrotu).