Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych
Transkrypt
Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych
Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych temperaturach f FD (E ) = 1 ⎛ E − EF exp⎜⎜ ⎝ k BT ⎞ ⎟⎟ + 1 ⎠ Styczna do krzywej w punkcie fFD(EF)=0,5 przecina oś energii i prostą fFD(E)=1 w punktach odległych o 2kBT od EF Pojemność cieplna gazu elektronów swobodnych w metalu Oszacowanie: Wzbudzenia termiczne elektronów w przedziale energii od EF-2kBT do EF+2kBT Średnio wzrost energii elektronu o 2kBT Liczba wzbudzonych elektronów nkBT/EF Wzrost energii wewnętrznej ∆U=2nkB2T2/EF Pojemność cieplna Ce=d(∆U)/dT=4nkB2T/EF Wynik obliczeń dokładnych: Pojemność cieplna Ce=4,93nkB2T/EF 1 Wkłady elektronów swobodnych i drgań sieci krystalicznej do ciepła właściwego metalu drgania atomów C(T) = γT + βT3 elektrony swobodne Wykres C/T w funkcji T2 dla miedzi Gęstość stanów elektronów dla pasma przewodnictwa metalu przejściowego Przewodność elektryczna metali o różnej koncentracji elektronów walencyjnych 2 Opór elektryczny metali Rozpraszanie elektronów na nieregularnościach kryształu: a) drganiach atomów - fononach, b) defektach i atomach domieszki. Opór elektryczny w niskiej temperaturze dwu próbek potasu o różnej koncentracji domieszek i defektów sieci 3 Opór elektryczny metali W wysokiej temperaturze dominuje rozpraszanie elektronów na drganiach atomów. W opisie kwantowym mówimy o fononach – falach drgań sieci krystalicznej. Przekrój czynny na rozpraszanie jest proporcjonalny do średniej z kwadratu amplitudy drgań atomów, która zgodnie z zasadą ekwipartycji energii jest proporcjonalna do temperatury k BT Mω 2 1 Średnia droga swobodna jest Λ = vFτ = na S ne 2 Λ Przewodność elektryczna σ = ∝ T −1 mvF S ∝ x2 ≈ Zależność od temperatury oporu elektrycznego metalu ρ =σ Oporność właściwa wzrasta liniowo z temperaturą −1 ∝T W niskiej temperaturze dominuje rozpraszanie elektronów na defektach i domieszkach. Przekrój czynny i średnia droga swobodna nie zależą od temperatury, zatem oporność nie zmienia się z temperaturą – oporność resztkowa. Przewodzenie ciepła przez metale Strumień energii termicznej jest proporcjonalny do gradientu temperatury dT JQ = −Κ dx Współczynnik przewodzenia ciepła elektronów 1 π 2 k B2 nΛ K = Ce v F Λ = T 3 3mvF Przewodność elektryczna σ i współczynnik przewodzenia ciepła K metalu są powiązane prawem Wiedemanna-Franza: 2 Zależność od temperatury współczynnika przewodzenia ciepła metalu K π 2 ⎛ kB ⎞ −8 −2 = ⎜ ⎟ = 2,45 × 10 W Ω K 3 ⎝ e ⎠ σT Prawo to jest potwierdzone doświadczalnie w zakresie wysokich i niskich temperatur. W pośrednim zakresie temperatury prawo to nie obowiązuje, gdyż różne są czasy relaksacji τ=Λ/vF nierównowagowych rozkładów elektronów wywołanych przepływem prądu i gradientem temperatury. 4 Zjawisko Halla W polu magnetycznym o indukcji B na ładunek q poruszający się z prędkością v działa siła Lorenza → → → F = q v× B Stałą Halla RH wyznacza się na podstawie pomiaru napięcia Halla UH, natężenia prądu I w warstwie o grubości d oraz indukcji magnetycznej B: RH=UHd/(IB) Schemat układu doświadczalnego do pomiaru efektu Halla. Linie przerywane oznaczają tory, po których poruszałyby się elektrony n i dziury p w polu magnetycznym o indukcji B, gdyby nie pojawiło się napięcie Halla UH. Jeśli występuje tylko jeden rodzaj nośników ładunku (elektrony albo dziury) to stała Halla jest odwrotnie proporcjonalna do ich koncentracji n RH=1/(ne) e - ładunek elementarny Efekt Halla – wyznaczanie znaku i koncentracji nośników 5 Pasma energetyczne w ciałach stałych Poziomy elektronowe atomów w cząsteczkach ulegają rozszczepieniu. W kryształach zjawisko to prowadzi do wytworzenia się pasm. Klasyfikacja ciał stałych na podstawie struktury pasmowej 6 Metale, półprzewodniki, izolatory Model prawie swobodnych elektronów Energia elektronu swobodnego Energia elektronu w krysztale jednowymiarowym o stałej sieci a Powstawanie fal stojących, gdy spełniony jest warunek Bragga odbicia funkcji falowej elektronu od struktury periodycznej kryształu. Fale stojące: ψ(+) ∝ cos(πx/a) ψ(-) ∝ sin(πx/a) Energia potencjalna elektronu w liniowej sieci rdzeni jonowych ψ(+) – elektrony skupione w pobliżu rdzeni jonów – obniżenie energii potencjalnej ψ(-) – elektrony skupione pomiędzy jonami – zwiększenie energii potencjalnej 7 Energia w funkcji wektora falowego dla elektronów prawie swobodnych w jednowymiarowym krysztale o odległości a między atomami. Funkcja E(k) jest nieciągła przy k=pπ/a, |p|=1,2,3... występują przerwy energetyczne między pasmami dozwolonymi. Różne sposoby przedstawiania zależności E(k) Strefa periodyczna Strefa zredukowana Strefa rozwinięta 8 Struktura pasmowa i stany obsadzone Izolator pasmo walencyjne całkowicie zapełnione Metal (półmetal) przekrywanie się pasm Metal pasmo walencyjne częściowo zapełnione Elektron w potencjale periodycznym – funkcja falowa 9 Kształt zależności energii od wektora falowego a masa efektywna Energia w zależności od wektora falowego E(k) i pochodne tej funkcji – zachowanie w pobliżu granicy strefy Brillouina k=π/a. a) Szerokie pasma, wąska lub szeroka przerwa, mała masa efektywna. b) Wąskie pasma, szeroka przerwa energetyczna, duża masa efektywna. Masa efektywna m* 1 1 d2E = m* h 2 d k 2 Masa efektywna elektronów m*(k) dla jednowymiarowej struktury pasmowej Silne zakrzywienie pasm Mała krzywizna pasm mała masa efektywna duża masa efektywna W punktach przegięcia zależności E(k) masa efektywna jest nieokreślona 10 Półprzewodniki samoistne Krzem Si German Ge Wafel krzemowy z wytworzonymi układami scalonymi Metoda Czochralskiego otrzymywania monokryształów – 1916 r Jan Czochralski od 1928 profesor Politechniki Warszawskiej Monokryształ krzemu o średnicy 10 cm wyhodowany metodą Czochralskiego 11