Algorytmika Problemów Trudnych

Algorytmika Problemów Trudnych
Wykład 5
Tomasz Krawczyk
[email protected]
Kraków, semestr letni 2015/16
plan wykładu
I
Redukcje Parametryzowane.
I
W-hierarchia.
Problem Kliki
Problem Kliki:
Wejście: Graf G oraz parametr k.
Wyjście: Tak wtedy i tylko wtedy, gdy w G znajduje się klika rozmiaru k.
Pomimo wielu wysiłków nie udowodniono dotychczas przynależności Problemu
Kliki do klasy FPT.
Hipoteza: Problem Kliki nie jest w klasie FPT, tzn. nie istnieje algorytm dla
Problemu Kliki działający w czasie f (k)nO(1) .
Powyższa hipoteza jest mocniejsza od hipotezy P 6= NP.
Zakładając prawdziwość powyższej hipotezy możemy udowodnić, że wiele
innych naturalnych problemów parametryzowanych nie jest w klasie FPT.
Redukcje Parametryzowane
Definicja
Dane są dwa problemy parametryzowane L1 , L2 ⊆ Σ∗ × N. Algorytm T
nazywamy redukcją parametryzowaną problemu L1 do problemu L2 jeżeli dla
instancji wejściowej (x, k) problemu L1 algorytm T zwraca instancję (x 0 , k 0 )
problemu L2 zachowując jednocześnie nastepujące warunki:
I (x, k) jest TAK instancją L1 wtedy i tylko wtedy, gdy (x 0 , k 0 ) jest TAK
instancją problemu L2 ,
I k 0 6 g (k) dla pewnej funkcji obliczalnej g ,
I czas działania algorytmu T na instancji wejściowej (x, k) jest ograniczony
przez f (k)|x|O(1) , gdzie f pewną funkcją obliczalną.
Redukcje parametryzowane
Lemat
Jeżeli istnieje redukcja parametryzowana T problemu L1 do problemu L2 oraz
język L2 jest w klasie FPT, to język L1 jest również w klasie FPT.
Dowód:
I Załóżmy, że B jest algorytmem testującym przynależność instancji (x 0 , k 0 )
do L2 w czasie h(k 0 )|x 0 |O(1) (L2 jest FPT).
I Algorytm A testujący przynależność (x, k) do języka L1 :
I
I
przekształć algorytmem redukcji T instancję (x, k) problemu
L1 do równoważnej instancji (x 0 , k 0 ) problemu L2 ,
zaakceptuj (x, k) wtedy i tylko wtedy, gdy algorytm B
akceptuje (x 0 , k 0 ).
Redukcje Parametryzowane
Lemat
Jeżeli istnieje redukcja parametryzowana T problemu L1 do problemu L2 oraz
język L2 jest w klasie FPT, to język L1 jest również w klasie FPT.
Dowód (c.d.):
I Poprawność algorytmu A wynika z faktu, iż redukcja T przekształca
TAK/NIE instancje L1 w TAK/NIE instancje problemu L2.
I Czas działania algorytmu A na instancji wejściowej (x, k) jest ograniczony
przez sumę
I
I
czasu działania algorytmu T, czyli f (k)|x|O(1) , oraz
czasu działania algorytmu B, czyli h(k 0 )|x 0 |O(1) .
I Zakładając, że k 0 6 g (k) oraz |x 0 | 6 f (k)|x|O(1) , łączny czas działania
algorytmu A jest ograniczony przez F (k)|x|O(1) ,
I Problem L1 jest zatem w klasie FPT.
Redukcje parametryzowane
Lemat (Przechodniość Redukcji Parametryzowanych)
Jeżeli istnieje redukcja parametryzowana z języka L1 do języka L2 oraz z języka
L2 do języka L3 , to istnieje również redukcja parametryzowana z języka L1 do
języka L3 .
Dowód: Podobny jak w lemacie poprzednim.
Różnobarwna Klika
Problem Różnobarwnej Kliki:
Wejście: : Graf G oraz podział zbioru wierzchołków V (G ) na k-zbiorów:
V1 , . . . , Vk , parametr: k.
Wyjście: : TAK wtedy i tylko, gdy istnieje k-wierzchołkowa klika {v1 , . . . , vk }
taka, że vi ∈ Vi .
Interpretacja:
I Vi – wierzchołki koloru i.
I {v1 , . . . , vk } – różnobarwna klika.
Przykłady Redukcji Parametryzowanych
Lemat
Istnieje parametryzowana redukcja z Problemu Kliki do Problemu
Różnobarwnej Kliki.
Dowód:
I niech (G , k) będzie instancją wejściową Problemu Kliki,
I konstruujemy graf G 0 z grafu G nastepująco:
I
I
tworzymy k kopii grafu G : G 1 , . . . , G k ,
dla każdej krawędzi {u, v } w G oraz dla każdego i 6= j, dodaj
krawędź pomiędzy wierzchołkiem u z i-tej kopii oraz
wierzchołkiem v z j-tej kopii.
I zauważmy, że graf (G , k) ma klikę liczności k wtedy i tylko wtedy, gdy
(G 0 , V (G 1 ), . . . , V (G k ), k) jest TAK instancją Problemu Różnobarwnej
Kliki.
I Redukcja spełnia wszystkie wymagania redukcji parametryzowanej.
(Różnobarwny) Zbiór Niezależny
Problem Zbioru Niezależnego:
Wejście: : Graf G oraz parametr k.
Wyjście: : TAK wtedy i tylko, gdy istnieje zbiór niezależny liczności k w G .
Problem Różnobarwnego Zbioru Niezależnego:
Wejście: : Graf G oraz podział zbioru wierzchołków V (G ) na k-zbiorów:
V1 , . . . , Vk , parametr: k.
Wyjście: : TAK wtedy i tylko, gdy istnieje k-wierzchołkowy zbiór niezależny
{v1 , . . . , vk } taki, że vi ∈ Vi .
(Różnobarwny) Zbiór Niezależny
Lemat
I Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Kliki do Problemu Zbioru
Niezależnego.
I Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Różnobarwnej Kliki do
Problemu Różnobarwnego Zbioru Niezależnego.
Redukcja: Przekształć (różnobarwny) graf wejściowy w graf G , gdzie G jest
dopełnieniem grafu G .
Redukcje Parametryzowane
Nietrudno również jest zauważyć, że prawdziwy jest nastepujący lemat.
Lemat
I Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Różnobarwnej Kliki do
Problemu Kliki.
I Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Różnobarwnego Zbioru
Niezależnego do Problemu Zbioru Niezależnego.
Wniosek: Problemy: Kliki, Różnobarwnej Kliki, Zbioru Niezależnego,
Różnobarwnego Zbioru Niezależnego wzajemnie się do siebie redukują (w
sposób parametryzowany).
Uwaga: Powyższe redukcje są również redukcjami wielomianowymi.
Pokrycie Wierzchołkowe
Problem Pokrycia Wierzchołkowego:
Wejście: : Graf G oraz parametr k.
Wyjście: : TAK wtedy i tylko, gdy w zbiorze V istnieje zbiór {v1 , . . . , vk }
przecinający wszystkie krawędzie, zwany pokryciem wierzchołkowym V .
Graf G ma pokrycie wierzchołkowe rozmiaru k wtedy i tylko wtedy, gdy G ma zbiór
niezależny licznosci n − k.
Oznacza to, że:
I istnieje redukcja wielomianowa z Problemu Zbioru Niezależnego do Problemu
Pokrycia Wierzchołkowego.
I Redukcja ta nie jest redukcją parametryzowaną: redukcja przekształca instancję
(G , k) Problemu Zbioru Niezależnego w równoważną instancję (G , k 0 = n − k)
Problemu Pokrycia Wierzchołkowego, a zatem nie zachowuje warunku
k 0 6 g (k) dla żadnej funkcji obliczalnej g .
Zauważmy jednak, że
I istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Pokrycia Wierzchołkowego do
Problemu Zbioru Niezależnego: rozstrzygamy instancję wejściową (G , k)
Problemu Pokrycia Wierzchołkowego w czasie f (k)nO(1) (wiemy, że probloem
jest w klasie FPT) i zwracamy równoważną trywuialną instancję Problemu
Zbioru Niezależnego.
Zbiór dominujący
Problem Zbioru Dominujacego:
Wejście: : Graf G oraz parametr k.
Wyjście: : TAK wtedy i tylko, gdy w zbiorze V istnieje zbiór {v1 , . . . , vk }
dominujący V , to jest taki, że N[{v1 , . . . , vk }] = V .
Lemat
Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Różnobarwnego Zbioru
Niezależnego do Problemu Zbioru Dominujacego.
Zbiór Dominujący
Lemat
Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Różnobarwnego Zbioru
Niezależnego do Problemu Zbioru Dominującego.
Dowód:
I Niech (G , V1 , . . . , Vk , k) będzie instancją wejściową Problemu Różnobarwnego
Zbioru Niezależnego.
I Graf G 0 tworzymy z grafu G następująco:
I dla każdego i, zbiór Vi w grafie G 0 staje się kliką,
I dokładamy dwa niezależne (niepołączone krawędzią) wierzchołki xi oraz
yi , wierzchołki te łączymy krawędziami z wierzchołkami ze zbioru Vi ,
I dla każdej krawędzi {u, v } grafu G , gdzie u ∈ Vi , v ∈ Vj , oraz i 6= j,
dodajemy wierzchołek e{u,v } : wierzchołek ten połączony jest krawędzią
tylko z wierzchołkami ze zbioru Vi \ {u} oraz ze zbioru Vj \ {v }.
I Uzasadnimy, że (G , V1 , . . . , Vk , k) jest TAK instacją Problemu
Różnobarwnego Zbioru Niezależnego wtw gdy (G 0 , k) jest TAK instancją
Problemu Zbioru Dominujacego.
Zbiór Dominujący
Lemat
Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Różnobarwnego Zbioru
Niezależnego do Problemu Zbioru Dominujacego.
Dowód. Pozostaje wykazać, że (G , V1 , . . . , Vk , k) jest TAK instacją Problemu
Różnobarwnego Zbioru Niezależnego wtw gdy (G 0 , k) jest TAK instancją Problemu
Zbioru Dominujacego.
I Załóżmy, że (G , V1 , . . . , Vk , k) jest TAK instacją Problemu Różnobarwnego
Zbioru Niezależnego, tzn. istnieje zbiór niezależny {v1 , . . . , vk } taki, że
vi ∈ Vi ,
I Łatwo sprawdzić, że {v1 , . . . , vk } dominuje V (G 0 ):
I vi dominuje Vi ∪ {xi , yi },
I {v1 , . . . , v } dominuje wierzchołki typu w
k
{u,v } : jeżeli wu,v nie jest
zdominowany, to z konstrukcji G 0 wynika, że {u, v } ⊂ {v1 , . . . , vk }, co
być nie może, gdyż {u, v } jest krawędzią w G .
I Załóżmy teraz, że istnieje zbiór dominujący D w G 0 taki, że |D| 6 k,
I Aby zdominować wszystkie Vi ∪ {xi , yi }, D musi mieć dokładnie jeden element
w każdym Vi .
I Ponieważ D dominuje wszystkie wierzchołki typu wu,v grafu G 0 , z konstrukcji
G 0 wynika, że D jest zbiorem niezależnym w G .
Zbiór Dominujący
Lemat
Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Różnobarwnego Zbioru
Niezależnego do Problemu Zbioru Dominujacego.
Jak dotychczas nie znaleziono parametryzowanej redukcji z Problemu Zbioru
Dominującego do Problemu Różnobarwnego Zbioru Niezależnego. Przypuszcza
się, że problemy te mają inny poziom trudności.
Dla kontrastu, wszystkie problemy NP-zupełne wzajemnie się do siebie redukują (w
sposób wielomianowy).
Inne Problemy Parametryzowane
Problem Pokrycia Zbiorami:
Wejście: Zbiór uniwersalny U, zbiory U1 , . . . , Un ⊆ U, oraz parametr k.
Wyjście: TAK wtedy i tylko, gdy w zbiorze {U1 , . . . , Uk } istnieje k zbiorów
S
{Ui1 , . . . , Uik } takich, że kj=1 Uij = U (mówimy wówczas, że zbiory Ui1 , . . . , Uik
pokrywają U).
Problem Zbioru Przecinającego:
Wejście: Zbiór uniwersalny U, zbiory U1 , . . . , Un ⊆ U, oraz parametr k.
Wyjście: TAK wtedy i tylko, gdy istnieje zbiór H taki, że |H| 6 k oraz H ∩ Ui 6= ∅ dla
każdego i.
Lemat
Problemy: Zbioru Dominującego, Pokrycia Zbiorami, Zbioru Przecinającego
wzajemnie się do siebie redukują (w sposób parametryzowany).
Dominacja w Turniejach
Problem Zbioru Dominującego w Turnieju:
Wejście: Turniej T oraz parametr k.
Wyjście: TAK wtedy i tylko, gdy istnieje zbiór {v1 , . . . , vk } ⊂ V (T ) w turnieju T
dominujący wszystkie wierzchołki z V (T ), tzn. taki, że dla każdego u ∈ V (T ) istnieje
vi ∈ {v1 , . . . , vk } taki, że u → vi bądź u = vi (vi dominuje u).
Lemat
Każdy n wierzchołkowy turniej ma zbiór dominujacy rozmiaru O(log n).
Dowód. Zauważ, że w każdym turnieju istnieje wierzchołek, który dominuje co
najmniej połowę wierzchołków grafu.
Uwaga:
I Problem Zbioru Dominującego w Turnieju można rozwiązać w czasie
O(nlog n ).
I Przypuszcza się, że problemy zupełne w klasie NP nie maja algorytmów o
złożoności nlog n .
I Problem Zbioru Dominującego w Turnieju nie jest raczej NP-trudny.
I Można pokazać jednak, że istnieje redukcja parametryzowana z Problemu
Zbioru Dominującego (a zatem z Problemu Kliki do Problemu Zbioru
Dominującego w Turniejach
I W ciągu redukcji z Problemu Kliki do Problemu Zbioru Dominujacego w
Turniejach przynajmniej jedna redukcja nie jest wielomianowa (inaczej
pokazalibyśmy, że Problem Zbioru Dominującego w Turniejach jest
NP-trudny).
Dominacja w Turniejach
Lemat
Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Zbioru Dominujacego do Problemu
Zbioru Dominującego w Turniejach
Dowód:
Sieci boolowskie
Definicja
Siecią boolowską nazywamy acykliczny graf skierowany, którego wierzchołki (zwane
bramkani) są etykietowane zgodnie z zasadą
I każda bramka o stopniu wejściowym 0 jest bramką wejściową ,
I każda bramka o stopniu wejściowym 1 jest bramką NOT ,
I każda bramka o stopniu wejściowym ≥ 2 jest bramką AND albo bramką OR.