Numeryczne metody rozwiązywania zagadnień brzegowych

Numeryczne metody rozwiązywania zagadnień brzegowych : podstawy
metody elementów skończonych i metody elementów brzegowych / Jan
Sikora. – Lublin, 2012
Spis treści
1 Wybrane zagadnienia numerycznej analizy pól potencjalnych
1.1 Formuły Greena
1.2 Metoda residuów waŜonych
1.3 Równania bazowe w metodzie elementów skończonych
17
17
19
20
2 Metoda Elementów Skończonych
2.1 Metoda elementów skończonych
2.1.1 Warunki brzegowe
2.1.2 Transformacje układu współrzędnych
2.2 Całkowanie w obszarze trójkąta
2.2.1 Całkowanie analityczne
2.2.2 Całkowanie numeryczne
2.3 Izoparametryczny element czworokątny
2.4 Element prostokątny czterowęzłowy
2.4.1 Numeryczne i symboliczne całkowanie macierzy stanu
2.5 Uogólnienie elementu czworokątnego
2.6 Element izoparametryczny ośmiowęzłowy
2.7 Element czworościenny
2.8 Sześciowęzłowy element pryzmoidalny
2.8.1 Bazowe funkcje interpolacji w lokalnym układzie współrzędnych
2.8.2 Bazowe funkcje interpolacji we współrzędnych kartezjańskich
23
26
35
37
42
44
44
45
48
52
53
58
64
66
68
69
3 Pole magnetyczne analizowane MES
3.1 Wstęp
3.2 Pole magnetyczne w układzie współrzędnych kartezjańskich
3.3 Pole magnetyczne w układzie współrzędnych walcowych
3.4 Element szczelinowy
75
75
79
82
85
4 Mieszane sformułowanie MES
4.1 Wstęp
4.2 Sformułowanie mieszane w przypadku równania Laplace'a
4.2.1 Dyskretyzacja sformułowania mieszanego
4.2.2 Trójwęzłowy element trójkątny z trzema stopniami swobody w węźle
4.2.3 Sześciowęzłowy element trójkątny z trzema stopniami swobody
w węźle
4.2.4 Warunki brzegowe typu Robina
4.3 Sformułowanie mieszane dla równania dyfuzji
89
89
90
91
92
94
105
108
4.3.1 Trójwęzłowy element trójkątny z trzema stopniami swobody
w węźle -trójkąt typu P1
4.3.2 Trójwęzłowy element trójkątny z węzłami na środku boków
4.3.3 Trójwęzłowy element trójkątny z funkcją dodatkową w środku
geometrycznym – trójkąt typu P1+
110
112
115
5 Elementy niestandardowe
5.1 Metody analizy obszarów nieograniczonych
5.1.1 Obcięcie siatki elementów skończonych
5.1.2 Metoda rozszerzania obszaru
5.2 Elementy nieskończone
5.2.1 Elementy nieskończone w kartezjańskim układzie współrzędnych
5.2.2 Analiza porównawcza elementów nieskończonych
119
119
121
121
123
124
135
6 Metoda Elementów Brzegowych
6.1 Krótka historia rozwoju teorii potencjału
6.1.1 Istnienie i jednoznaczność rozwiązania
6.1.2 Formuły Greena
6.1.3 Równania całkowe
6.1.4 Rozszerzone formuły Greena
6.1.5 Czasy poprzedzające rewolucję informatyczną
6.1.6 Czasy rewolucji informatycznej
6.1.7 Metoda całek brzegowych
6.1.8 Równania bazowe metody elementów brzegowych
6.1.9 Pola stacjonarne
6.1.10 Podsumowanie
6.2 Porównanie MES i MEB
6.3 Równanie Laplace'a
6.3.1 Podział brzegu na stałe elementy brzegowe
6.3.2 Numeryczne całkowanie funkcji Greena
6.3.3 Dyskretyzacja brzegu na liniowe elementy brzegowe
6.3.4 Całkowanie numeryczne
6.3.5 Podział linii brzegowej na elementy kwadratowe
6.3.6 Całkowanie numeryczne
6.3.7 Numeryczne całkowanie współczynnika c(r)
6.3.8 Wyznaczanie zmiennych stanu w wewnętrznych węzłach obszaru
6.4 Równanie dyfuzji
6.4.1 Liczenie całek osobliwych
6.4.2 Wyznaczanie wartości zmiennych stanu w punktach wewnętrznych
obszaru
6.5 Równanie dyfuzji w dziedzinie częstotliwości
6.5.1 Całki osobliwe
6.5.2 Wyznaczanie zmiennych stanu w wewnętrznych punktach obszaru
6.6 Przykłady
6.6.1 Układ współrzędnych kartezjańskich
139
141
145
149
152
156
156
160
162
164
166
167
169
171
172
174
195
196
201
205
211
214
216
219
221
223
226
226
226
227
6.6.2 Współrzędne biegunowe
6.6.3 Źródła rozłoŜone
6.6.4 Punkt źródłowy na brzegu obszaru dla zagadnienia transportu
światła aproksymowanego równaniem dyfuzji
6.6.5 Źródło punktowe umieszczone wewnątrz obszaru dla zagadnienia
transportu światła aproksymowanego równaniem dyfuzji
6.6.6 Porównanie wyników obliczeń dla MES i MEB
6.6.7 Wnioski
6.7 Środowiska anizotropowe
6.7.1 Model anizotropii
6.7.2 Całki osobliwe
6.7.3 Porównanie wyników MES i MEB
6.8 Sformułowanie Galerkina brzegowych równań całkowych
6.8.1 Analityczne wyznaczanie całek osobliwych
6.8.2 Numeryczne wyznaczanie podwójnych całek osobliwych
229
230
240
245
246
247
247
249
251
254
256
263
7 Zagadnienia potencjalne w przestrzeni trójwymiarowej
7.1 Model dyskretny
7.2 Całki osobliwe i prawie osobliwe
7.3 Równania bazowe
7.4 Funkcje interpolacyjne zerowego rzędu
7.4.1 Jakobian
7.4.2 Wyznaczanie całek nieosobliwych w obszarze trójkąta
7.4.3 Wyznaczanie całek osobliwych
7.5 Funkcje interpolujące stopnia pierwszego
7.6 Funkcje interpolujące stopnia drugiego
7.6.1 Trójkątny sześciowęzłowy element brzegowy
7.6.2 Numeryczne wyznaczanie całek osobliwych
7.6.3 Czworokątny element brzegowy
7.6.4 Wyznaczanie całek nieosobliwych w obszarze czworokąta
7.6.5 Wyznaczanie całek osobliwych w obszarze czworokąta
7.7 Warunki brzegowe
7.7.1 Warunki brzegowe Dirichleta
7.7.2 Warunki brzegowe Neumanna
7.7.3 Warunki brzegowe Robina
7.7.4 Mieszane warunki brzegowe
7.8 Niejednorodności materiałowe
7.9 Wybrane przykłady numeryczne
7.9.1 Sześcian
7.9.2 Dwie koncentryczne sfery zawarte jedna w drugiej
7.9.3 Efekt zbliŜenia
7.9.4 Wyniki obliczeń dla niejednorodnych podobszarów w przestrzeni 2D
269
271
271
274
276
277
279
280
282
287
287
289
293
295
295
302
302
303
303
303
304
309
310
312
324
325
8 Zagadnienie transportu światła aproksymowane równaniem
dyfuzji
343
234
8.1 Równania bazowe
8.1.1 Przestrzeń dwuwymiarowa
8.1.2 Przestrzeń trójwymiarowa
8.1.3 Metoda Elementów Brzegowych
8.2 Model dyskretny
8.2.1 Jakobian
8.2.2 Formowanie macierzy
8.3 Numeryczne wyznaczanie całek osobliwych w 3D
8.3.1 Algorytm transformacji dla trójkąta stałego
8.3.2 Izoparametryczny element trójkątny sześciowęzłowy
8.4 Wyniki dla przestrzeni 3D
8.4.1 Kontrola poprawności uzyskanych wyników i miara dokładności
8.5 Wielowarstwowy model główki niemowlęcia
344
345
345
345
347
348
348
350
350
353
356
361
362
oprac. BPK