Podstawy Metody Elementów Brzegowych

Podstawy Metody Elementów
Brzegowych
Zagadnienia Potencjalne Pola Elektromagnetycznego
Jan Sikora
Warszawa 2009
Spis treści
1 Zagadnienia potencjalne
1.1
15
Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1
Krótka historia rozwoju teorii potencjału . . . . . . . . 18
1.1.2
Istnienie i jednoznaczność rozwiązania . . . . . . . . . 22
1.1.3
Formuły Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.1.4
Równania całkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.1.5
Rozszerzone formuły Greena . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.1.6
Czasy poprzedzające rewolucję informatyczną . . . . . 36
1.1.7
Czasy rewolucji informatycznej . . . . . . . . . . . . . 40
1.1.8
Metoda całek brzegowych . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.1.9
Równania bazowe metody elementów brzegowych . . . 42
1.1.10 Pola stacjonarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.1.11 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.2
Porównanie MES i MEB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3
1.3
1.4
1.5
1.6
Równanie Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3.1
Podział brzegu na stałe elementy brzegowe . . . . . . . 51
1.3.2
Numeryczne całkowanie funkcji Greena . . . . . . . . . 54
1.3.3
Dyskretyzacja brzegu na liniowe elementy brzegowe . . 74
1.3.4
Całkowanie numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.3.5
Podział linii brzegowej na elementy kwadratowe . . . . 80
1.3.6
Całkowanie numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.3.7
Numeryczne całkowanie współczynnika c(r) . . . . . . 90
1.3.8
Wyznaczanie zmiennych stanu w wewnętrznych
węzłach obszaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Równanie dyfuzji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.4.1
Liczenie całek osobliwych . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.4.2
Wyznaczanie wartości zmiennych stanu w punktach
wewnętrznych obszaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Równanie dyfuzji w dziedzinie częstotliwości . . . . . . . . . . 102
1.5.1
Całki osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1.5.2
Wyznaczanie zmiennych stanu w wewnętrznych punktach obszaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.6.1
Układ współrzędnych kartezjańskich . . . . . . . . . . 106
1.6.2
Współrzędne biegunowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4
1.7
1.8
1.6.3
Źródła rozłożone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.6.4
Punkt źródłowy na brzegu obszaru dla zagadnienia
transportu światła aproksymowanego równaniem dyfuzji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1.6.5
Źródło punktowe umieszczone wewnątrz obszaru dla
zagadnienia transportu światła aproksymowanego równaniem dyfuzji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1.6.6
Porównanie wyników obliczeń dla MES i MEB . . . . . 124
1.6.7
Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Środowiska anizotropowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
1.7.1
Model anizoptropii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
1.7.2
Całki osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
1.7.3
Porównanie wyników MES i MEB . . . . . . . . . . . . 130
Sformułowanie Galerkina brzegowych równań całkowych . . . 133
1.8.1
Analityczne wyznaczanie całek osobliwych . . . . . . . 136
1.8.2
Numeryczne wyznaczanie podwójnych całek osobliwych 137
2 Zagadnienia potencjalne w przestrzeni trójwymiarowej
141
2.1
Model dyskretny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.2
Całki osobliwe i prawie osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.3
Równania bazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.4
Funkcje interpolacyjne zerowego rzędu . . . . . . . . . . . . . 148
5
2.4.1
Jakobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.4.2
Wyznaczanie całek nieosobliwych w obszarze trójkąta . 151
2.4.3
Wyznaczanie całek osobliwych . . . . . . . . . . . . . . 152
2.5
Funkcje interpolujące stopnia pierwszego . . . . . . . . . . . . 154
2.6
Funkcje interpolujące stopnia drugiego . . . . . . . . . . . . . 159
2.7
2.6.1
Trójkątny sześciowęzłowy element brzegowy . . . . . . 159
2.6.2
Numeryczne wyznaczanie całek osobliwych . . . . . . . 160
2.6.3
Czworokątny element brzegowy . . . . . . . . . . . . . 164
2.6.4
Wyznaczanie całek nieosobliwych w obszarze
czworokąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.6.5
Wyznaczanie całek osobliwych w obszarze
czworokąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.7.1
Warunki brzegowe Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . 174
2.7.2
Warunki brzegowe Neumanna . . . . . . . . . . . . . . 174
2.7.3
Warunki brzegowe Robina . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2.7.4
Mieszane warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . 175
2.8
Niejednorodności materiałowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
2.9
Wybrane przykłady numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.9.1
Sześcian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6
2.9.2
Dwie koncentryczne sfery zawarte jedna w drugiej . . . 184
2.9.3
Efekt zbliżenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
2.9.4
Wyniki obliczeń dla niejednorodnych podobszarów w
przestrzeni 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3 Zagadnienie transportu światła aproksymowane równaniem
dyfuzji
215
3.1
3.2
3.3
3.4
Równania bazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
3.1.1
Przestrzeń dwuwymiarowa . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.1.2
Przestrzeń trójwymiarowa . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.1.3
Metoda Elementów Brzegowych . . . . . . . . . . . . . 217
Model dyskretny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3.2.1
Jakobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
3.2.2
Formowanie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Numeryczne wyznaczanie całek osobliwych w 3D
3.3.1
Algorytm transformacji dla trójkąta stałego . . . . . . 222
3.3.2
Izoparametryczny element trójkątny
sześciowęzłowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Wyniki dla przestrzeni 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
3.4.1
3.5
. . . . . . . 222
Kontrola poprawności uzyskanych wyników i miara dokładności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Wielowarstwowy model główki niemowlęcia . . . . . . . . . . . 234
7