Rachunek prawdopodobieństwa 6. Zmienna losowa, dystrybuanta

Rachunek prawdopodobieństwa
6. Zmienna losowa, dystrybuanta
Definicja 6.1
Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową ξ nazywamy
funkcję niemalejącą ξ: Ω → R spełniającą warunek
^
{ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ B} ∈ F
B∈B(R)
gdzie B(R) oznacza rodzine zbiorów borelwskich na prostej.
Inaczej: dla każdego B ∈ B(R) zachodzi ξ −1 (B) ∈ F
Przykład 6.1
Rozpatrzmy wynik pojedynczego rzutu monetą. Niech Ω = {O, R}, F = 2Ω . P (O) =
P (R) = 12 . Określmy funkcje ξ następująco
(
ξ(ω) =
1, ω = O
0, ω = R
Niech B będzie dowolnym zbiorem borelowskim. Wówczas
0, 1 ∈
/B
{R}, 0 ∈ B, 1 ∈
/B
{ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ B} = 
{O}, 0 ∈
/ B, 1 ∈ B



Ω,
0, 1 ∈ B

Ø,




Stwierdzamy, że {ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ B} ∈ F . Zatem funkcja ξ jest zmienną losową.
Przykład 6.2
Niech Ω = h0, 1i, F = B(h0, 1i) oraz P = l|h0,1i , gdzie l|h0,1i oznacza miarę Lebesque’a
na odcinku h0, 1i. Określmy funkcję ξ(ω) = ω. Pokażemy, że ξ jest zmienną losową.
Niech B będzie zbiorem borelowskim odcinka h0, 1i. Wtedy:
{ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ B} = {ω ∈ Ω: ω ∈ B} = B ∩ h0, 1i ∈ F
gdyż przekrój zbioru borelowskiego B ⊂ h0, 1i ze zbiorem borelowskim h0, 1i jest
zbiorem borelowskim odcinka h0, 1i. Zatem pokazaliśmy, że ξ jest zmienną losową.
Definicja 6.2
Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Dystrybuantą zmiennej losowej
ξ nazywamy funkcję Fξ : R → h0, 1i określoną wzorem Fξ (x) = P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) < x})
Uwaga 6.1
Jeśli x ∈ R, to {ω ∈ Ω: ξ(ω) < x} = {ω ∈ Ω: ξ(ω) = (−∞, x)} ∈ F
Przykład 6.3
Rozpatrzmy doświadczenie z przykładu (6.1) i zmienną losową ξ tam określoną. Niech
B = (−∞, x). Wówczas:


 Ø,


x ∈ (−∞, 0i
0, 1 ∈
/B
 Ø,
/ B = {R}, x ∈ (0, 1i
{ω ∈ Ω: ξ(ω) = (−∞, x)} = {R}, 0 ∈ B, 1 ∈




Ω,
0, 1 ∈ B
Ω,
x ∈ (1, ∞)
Zatem


 P (Ø), x ¬ 0


 0,
x¬0
0<x¬1
Fξ (x) = P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) < x}) = P (R), x ∈ (0, 1i =




P (Ω), x ∈ (1, ∞)
1, x > 1
1
,
2
Wykresem dystrybuanty Fξ jest funkcja schodkowa o punktach nieciągłości w 0 i 1.
Przykład 6.4
Rozpatrzmy teraz przestrzeń probabilistyczną z przykładu (6.2) i określoną tam
zmienną losową ξ. Mamy stamtąd: {ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ B} = B ∩ h0, 1i.
Niech B = (−∞, x). Wówczas:


 Ø,
x¬0
{ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ (−∞, x)} = (−∞, x) ∩ h0, 1i = h0, x), 0 < x ¬ 1


h0, 1i, x > 1
A zatem


 0,
x¬0
Fξ (x) = P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ (−∞, x)}) =  x, 0 < x ¬ 1

1, x > 1
Uwaga 6.2
Przyjmijmy następujące oznaczenie: P (ξ = x) = P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ (−∞, x)})
Twierdzenie 6.1
Dystrybuanta Fξ zmiennej losowej ξ jest funkcją niemalejącą, to znaczy jeśli x1 ¬ x2 ,
to Fξ (x1 ) ¬ Fξ (x2 )
Dowód:
Załóżmy, że x1 ¬ x2 . Wówczas mamy (−∞, x1 ) ⊆ (−∞, x2 ), skąd otrzymujemy, że
{ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ (−∞, x1 )} ⊆ {ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ (−∞, x2 )} i ostatecznie
Fξ (x1 ) = P (ξ = x1 ) ¬ P (ξ = x2 ) = Fξ (x2 )
Twierdzenie 6.2
Dystrybuanta Fξ zmiennej losowej ξ jest funkcją lewostronnie ciągłą, to znaczy
lim Fξ (x) = Fξ (a)
x→a−
Dowód:
Weźmy dowolny ciąg xn 6= a zbieżny do a i niech xn rośnie do a. Pokażemy, że
Fξ (xn ) → Fξ (a).
Utwórzmy zbiory An = {ω ∈ Ω: ξ(ω) < xn } oraz niech A = {ω ∈ Ω: ξ(ω) < a}.
Ponieważ xn < xn+1 , to An ⊂ An+1 . Ponadto
^
An ⊂ A ⇒
n
∞
[
An ⊂ A
n=1
Dla pokazania zawierania w drugą stronę weźmy dowolne ω ∈ A. Wtedy
_ ^
p
ξ(ω) < xn < a ⇒ ω ∈ An ⇒ A ⊂
n>p
∞
[
An
n=1
A zatem
A=
∞
[
An
⇒
n=1
Fξ (a) = P (A) = n→∞
lim P (An ) = n→∞
lim Fξ (xn )
Twierdzenie 6.3
Dla dystrybuanty Fξ zmiennej losowej ξ zachodzą następujące równości
lim Fξ (x) = 0
x→−∞
lim Fξ (x) = 1
x→∞
Twierdzenie 6.4
Dla dystrybuanty Fξ zmiennej losowej ξ i dla dowolnych a, b ∈ R takich, że a < b
zachodzi równość
P ({ω ∈ Ω: a ¬ ξ(ω) < b}) = Fξ (b) − Fξ (a)
Dowód:
Zauważmy, że
{ω ∈ Ω: a ¬ ξ(ω) < b} = {ω ∈ Ω: ξ(ω) < b} − {ω ∈ Ω: ξ(ω) < a}
i po obłożeniu prawdopodobieństwej dostajemy tezę twierdzenia.
Twierdzenie 6.5
Dla dystrybuanty Fξ zmiennej losowej ξ zachodzi równość
P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) ¬ x}) = lim+ Fξ (y)
y→x
Twierdzenie 6.6
Dla dystrybuanty Fξ zmiennej losowej ξ zachodzi równość
P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) = x}) = lim+ Fξ (y) − Fξ (x)
y→x
Uwaga 6.3
Na zachodzie Europy często przyjmowana jest odmienna definicja dystrybuanty. Mianowicie ostra nierówność jest zastępowana słabą nierówności. W konsekwencji udowodnione wyżej własności dystrybuanty przyjmują nieco inną postać.
Twierdzenie 6.7
Jeśli funkcja F : R → R spełnia warunki twierdzeń (6.1), (6.2), (6.3), tzn. F jest
funkcją niemalejącą, lewostronnie ciągłą oraz
lim F (x) = 0
lim F (x) = 1
x→∞
x→−∞
to istnieje przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ) oraz zmienna losowa ξ w tej przestrzeni taka, że: F (x) = P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) < x})
7. Typy dystrybuant
I. Dystrybuanta dyskretna (skokowa)
Dystrybuanta dyskretna jest związana ze zmienną losową dyskretną, tzn. przyjmującą skończoną lub przeliczalną ilość wartości (np. rzut kostką).
Jeśli zmienna losowa ξ przyjmuje wartości x1 , x2 , . . ., to
pi = P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) = xi })
[
X
{ω ∈ Ω: ξ(ω) = xi } = Ω
i∈I
i∈I
Wówczas dystrybuanta dyskretna Fξ ma postać
Fξ (x) =
X
pi
gdzie I(x) = {i ∈ I: xi < x}
i∈I(x)
Dystrybuanta Fξ ma skoki w punktach xi , i ∈ I.
Ponadto jeśli x1 < x2 < . . . < xi−1 < xi oraz x < xi , to
Fξ (x) =
i−1
X
k=1
pi
Fξ (xi ) =
i−1
X
k=1
pi
Fξ (xi + ε) =
i
X
k=1
pi
pi = 1
II. Dystrybuanta absolutnie ciągła
Definicja 7.1
Dystrybuantę Fξ nazywamy absolutnie ciągłą, jeśli istnieje funkcja f : R → R, taka,
że f (x) ­ 0 dla x ∈ R oraz
Z x
f (t)dt
Fξ (x) =
−∞
Funkcję f nazywamy gęstością dystrybuanty.
Ponieważ Fξ (x) → 1, gdy x → ∞, to
lim Fξ (x) = lim
x→∞
Z
x→∞
x
f (t)dt =
−∞
Z
∞
f (t)dt = 1
−∞
Ponadto prawie wszędzie (względem miary Lebesque’a)
dFξ (x)
= f (x)
dx
Przykład 7.1
Niech Ω = h0, 1i, F = B(h0, 1i), P = l|h0,1i oraz ξ(ω) = ω. Wówczas dystrybuanta
Fξ ma postać


 0,
x¬0
Fξ (x) = x, 0 < x ¬ 1


1, x > 1
⇒


 0, x ¬ 0
dFξ (x)
= 1, 0 < x ¬ 1

dx

0, x > 1
Gęstość f (x) wyraża się wzorem
(
f (x) =
1, x ∈ (0, 1i
0, x ∈
/ (0, 1i
III. Dystrybuanta osobliwa
Definicja 7.2
Dystrybuantę Fξ nazywamy osobliwą, jeśli jest absolutnie ciągła, ale zbiór jej punktów wzrostu jest miary Lebesque’a zero.
Punkt x nazywamy punktem wzrostu dystrybuanty Fξ , jeśli dla każdego ε > 0 mamy
Fξ (x + ε) − Fξ (x − ε) > 0
IV. Dystrybuanta mieszana
Dystrybuantę Fξ nazywamy mieszaną, jeśli jest ona postaci
Fξ (x) = a1 Fs (x) + a2 Fc (x) + a3 Fo (x)
(∗)
gdzie Fs jest dystrybuantą skokową, Fc – absolutnie ciągłą, Fo – osobliwą, liczby
a1 , a2 , a3 ­ 0 oraz a1 + a2 + a3 = 1.
Twierdzenie Lebesque’a o rozkładzie dystrybuanty mówi, że każdą dystrybuantę da
się przedstawić w postaci (∗).
8. Rozkłady
Definicja 8.1
Rozkładem zmiennej losowej ξ: Ω → R nazywamy miarę µξ określoną na B(R):
µξ (B) = P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ B}),
B ∈ B(R)
Zauważmy przede wszystkim, że µξ ­ 0 oraz µξ (B) = P (ξ −1 (B)). Ponadto
µξ
∞
[
∞
[
!
ξ −1
Bn = P
n=1
=P
∞
[
!!
Bn
=
n=1
∞
X
!
−1
ξ (Bn ) =
n=1
−1
P (ξ (Bn )) =
n=1
∞
X
µξ (Bn )
n=1
Zatem (R, B(R), µξ ) jest przestrzenią probabilistyczną.
Niech B = (−∞, x). Wówczas
µξ ((−∞, x)) = P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ (−∞, x)}) = P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) < x}) = Fξ (x)
Wobec tego: µξ (ha, bi) = Fξ (b) − Fξ (a).
Uwaga 8.1
Dla dalszych rozważań przyjmijmy oznaczenie funkcji charakterystycznej χ zbioru A
(
χA (x) =
1, x ∈ A
0, x ∈
/A
Definicja 8.2
Rozkład µξ nazywamy dyskretnym, jeśli istnieje taki zbiór S ⊂ R skończony lub
przeliczalny, że
µξ (S) = 1
µξ (R − s) = 0
S = {xi : i ∈ I} ⇒ µξ (B) =
pi = µξ ({xi })
X
pi · χB (xi )
i∈I
dla dowolnego B ∈ B(R).
Uwaga 8.2
Miarą skupioną w punkcie x (δx ) nazywamy miarę określoną wzorem
(
δx (A) =
1, x ∈ A
0, x ∈
/A
Zauważmy, że
µξ =
X
pi δx(i)
i∈I
Przykład 8.1
Rozpatrzmy doświadczenie polegające na rzucie monetą. Dla zmiennej losowej ξ danej wzorem
(
1, ω = O
ξ(ω) =
0, ω = R
jej rozkład ma postać: µξ = 21 δ0 + 12 δ1
Definicja 8.3
Rozkład µξ nazywamy absolutnie ciągłym, jeśli miara probabilistyczna µξ jest absolutnie ciągła względem miary Lebesque’a, tzn.
⇒
l(B) = 0
µξ (B) = 0
Wówczas istnieje (z ogólnej teorii miar absolutnie ciągłych) funkcja f : R → R nieujemna taka, że dla dowolnego B ∈ B(R) zachodzi równość
Z
µξ (B) =
f (x)dx
B
Funkcję f nazywamy gęstością.
Zauważmy, że µξ (ha, bi) = Fξ (b) − Fξ (a). Jeśli µξ jest rozkładem absolutnie ciągłym,
to
Z b
µξ (ha, bi) =
f (x)dx
a
Ponadto jeśli a → −∞, to dostajemy, że
Fξ (b) = µξ ((−∞, b)) =
Z
b
f (x)dx
−∞
Zauważmy jeszcze, że
µξ (R) = 1
Z
⇒
f (x)dx = 1
R
Przykład 8.2
Niech Ω = h0, 1i, F = B(h0, 1i), P = l|h0,1i . Określmy zmienną losową wzorem
ξ(ω) = ω i jako gęstość przyjmijmy funkcję
(
f (x) =
1, x ∈ h0, 1i
0, x ∈
/ h0, 1i
Wtedy
µξ (B) =
Z
B
f (x)dx =
Z
dx = l(B ∩ h0, 1i)
B∩h0,1i
Definicja 8.4
Rozkład µξ nazywamy osobliwym jeśli istnieje zbiór borelowski B ∈ B(R) taki, że
l(B) = 0 oraz µξ (B) = 1.
Wówczas µξ jest rozkładem zmiennej losowej ξ takiej, że
P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ B}) = 1
dla pewnego B ∈ B(R) o mierze Lebesque’a zero.
Przykład 8.3
Niech C oznacza zbiór Cantora. Przyjmijmy, że dla każdego ω ∈ Ω zmienna losowa
ξ: Ω → R ma wartości w zbiorze C. Wtedy µξ (C) = 1 oraz oczywiście l(C) = 0.
9. Typy rozkładów
I. Rozkład jednopunktowy
Rozkład dyskretny związany ze zmienną losową ξ taką, że istnieje x0 ∈ R dla którego
P (ξ = x0 ) = 1.
Wtedy µξ = δx(0) . Dystrybuanta Fξ ma postać
(
0, x ¬ x0
1, x > x0
Fξ (x) =
A więc dystrybuanta Fξ ma tylko jeden skok w punkcie x0 .
II. Rozkład dwupunktowy
Rozkład dyskretny związany ze zmienną losową ξ przyjmującą tylko dwie wartości x1 i x2 z prawdopodobieństwami odpowiednio p1 i p2 .
Mamy wówczas P (ξ = xi ) = pi dla i = 1, 2. (p1 + p2 = 1). Załóżmy, że x1 < x2 .
Wtedy µξ = p1 δx(1) + p2 δx(2) . Dystrybuanta Fξ ma postać


 0,
x ¬ x1
Fξ (x) = p1 , x1 < x ¬ x2


1, x > x2
III. Rozkład zerojedynkowy
Jest to szczególny przypadek rozkładu dwupunktowego, gdzie x1 = 0 oraz x2 = 1.
Wartości 0 i 1 są przyjmowane z prawdopodobieństwami:
P (ξ = 0) = 1 − p
P (ξ = 1) = p
Ponadto µξ = (1 − p)δ0 + pδ1
IV. Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
Rozważmy n prób Bernoulliego. Niech p oznacza sukces w pojedyńczej próbie, a
1 − p niech oznacza porażkę. Niech k oznacza ilość sukcesów w n próbach. Zatem
k = 0, 1, . . . , n. Niech zmienna losowa ξ oznacza ilość sukcesów w k próbach. Zatem
!
n k
pk := P (ξ = k) =
p (1 − p)n−k
k
Rozkład jest dany wzorem:
µξ =
n
X
n
X
pk = 1
k=0
pk δk
k=0
Ponadto
n
X
k=0
pk =
n
X
k=0
!
n k
p (1 − p)n−k = (p − (1 − p))n = 1
k
Przyjmijmy oznaczenie: pk := Pn (k).
V. Rozkład geometryczny
Rozważmy ciąg prób Bernoulliego. Niech p oznacza sukces w pojedyńczej próbie,
a 1 − p niech oznacza porażkę. Niech zmienna losowa ξ oznacza ilość doświadczeń do
pierwszego sukcesu. Zatem
pk := P (ξ = k) = (1 − p)k p k = 0, 1, . . . , n, . . .
Oczywiście
µξ =
∞
X
∞
X
pk δk
k=0
pk = p
k=0
∞
X
(1 − p)k = p ·
k=0
1
=1
1 − (1 − p)
VI. Rozkład hipergeometryczny
Rozważmy urnę z N kulami, wśród których jest M kul białych L = N − M kul
czarnych. Wybieramy n kul bez zwracania. Niech k oznacza ilość kul białych wśród
n wylosowanych. Zatem k = 0, 1, . . . , min(n, M ). Niech zmienna losowa ξ oznacza
ilość wylosowanych kul białych. Wówczas
M
k
pk := P (ξ = k) =
L
n−k
N
n
Przyjmijmy oznaczenie: pk = PM,N (k, n).
Lemat 9.1
Jeśli N → ∞ oraz M → ∞ w taki sposób, że
PM,N (k, n) → Pn (k) = nk pk (1 − p)n−k .
Dowód:
PM,N (k, n) =
M
N
→ p, gdzie p ∈ h0, 1i, to
n!
M !L!(N − n)!
·
=
k!(n − k)! (M − k)!(L − (n − k))!N !
!
n M (M − 1) . . . (M − k + 1)L(L − 1) . . . (L − (n − k) + 1)
=
=
k
N (N − 1) . . . (N − n + 1)
Zauważmy, że w ostatnim ułamku zarówno w liczniku jak i w mianowniku mamy po
N czynników, podzielmy więc licznik i mianownik przez N n
=
n
k
! M M
N
N
−
1
N
...
M
N
1
k+1 L
L
− N1 . . .
N
N N
− N1 . . . 1 − n+1
N
−
L
N
−
(n−k)+1
N
=
W liczniku mamy wyrazy postaci: M
− Nj , gdzie j = 0, . . . , k − 1 (wszystkie one
N
zmierzają do p) oraz wyrazy postaci: NL − Ni , gdzie i = 0, . . . , n − k + 1. Zauważmy
jednak, że
L
i
N −M
i
M
i
−
=
−
= 1−
−
→ 1−p
N
N
N
N
N
N
Z kolei w mianowniku mamy wyrazy postaci: 1 − Nr , gdzie r = 0, . . . , n − 1. Zatem
wszystkie one zmierzają do 1.
Wobec powyższego cały mianownik zmierza do nk pk (1 − p)n−k = Pn (k)
VII. Rozkład Poissona
Zmienna losowa ξ ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeżeli przyjmuje wartości
całkowite i nieujemne oraz
λk
P (ξ = k) = e−λ ·
k!
Lemat 9.2
Niech ξn będzie zmienną losową oznaczającą liczbę sukcesów w n próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu pn
!
n k
P (ξn = k) =
p (1 − pn )n−k ,
k n
Jeśli pn jest postaci
λ
n
k = 0, 1, . . . , n n = 1, 2, . . .
dla pewnego λ > 0, to
lim Pn (k) = e−λ ·
n→∞
λk
k!
Dowód:
!
n k
n
Pn (k) =
pn (1 − pn )n−k =
k
k
!
λ
n
!k
λk n(n − 1) . . . (n − k + 1)
λ
·
1−
=
k
k!
n
n
λ
1−
n
!n−k
!n−k
n!
λk
λ
=
1−
k
k!(n − k)! n
n
λk
λ
=
1−
k!
n
!n 1−
1
n
!n−k
... 1 −
1−
λ
n
=
k−1
n
k
Zauważmy, że przy n → ∞ mamy
λ
1−
n
!n
λ
1−
n
→ e−λ
!k
→1
1−
t
→ 1,
n
t = 0, . . . , k − 1
Wobec czego dostajemy tezę lematu.
VIII. Rozkład jednostajny (prostokątny)
Rozkład absolutnie ciągły o gęstości
(
f (x) =
1
,
2h
0,
a−h¬x¬a+h
x∈
/ ha − h, a + hi
a ∈ R, h > 0
Wykres funkcji f (x) składa się z trzech części, przy czym w przedziałach (−∞, a−h)
oraz (a + h, ∞) są to półproste o równaniu x = 0. Zatem całka z funkcji f (x) jest
1
polem prostokąta o bokach 2h oraz 2h
, oczywiście równym 1.
Gdy h =
1
2
oraz a = 12 , to gęstość f (x) ma postać
(
f (x) =
1, 0 ¬ x ¬ 1
0, x ∈
/ h0, 1i
Otrzymujemy w ten sposób rozkład jednostajny na odcinku h0, 1i. Ogólnie dla rozkładu jednostajnego na dowolnym odcinku ha, bi gęstość f (x) wyraża się wzorem
(
f (x) =
1
b−a
0
, x ∈ ha, bi
,x ∈
/ ha, bi
IX. Rozkład normalny
Rozkład ten jest związany ze zmienną losową ξ absolutnie ciągłą o gęstości
f (x) = √
1
· e−κ
2πσ
gdzie κ =
(x − m)2
2σ 2
oraz m ∈ R, σ > 0
Fakt, że zmienna losowa ξ ma rozkład normalny o parametrach m i σ 2 oznaczamy
symbolicznie: ξ ∼ N (m, σ 2 ).
Dystrybuanta Fξ zmiennej losowej ξ wyraża się wzorem
Fξ (x) =
Z
x
√
−∞
1
· e−κ dt,
2πσ
κ=
(t − m)2
2σ 2
Szczególnym przypadkiem rozkładu normalnego jest rozkład normalny o parametrach m = 0 oraz σ = 1. Gęstość f (x) i dystrybuanta F mają wówczas postać
1
2
f (x) = √ · e−x /2
2π
F (x) =
Z
x
−∞
1
2
√ · e−t /2 dt
2π
Powyższy rozkład jest nazywany standardowym rozkładem normalnym. Jego znaczenie jest o tyle istotne, iż został on stablicowany. Istnieje więc możliwość przejścia
z dowolnego rozkładu normalnego do rozkładu standardowego i odczytania wyniku
z tablic.
Niech ξ ∼ N (m, σ 2 ). Wtedy
Fξ (x) = √
1 Z (x−m)/σ −s2 /2
x−m
1 Z x −κ
√
e dt =
e
ds = F
,
σ
2πσ −∞
2π −∞
(t − m)2
κ=
2σ 2
X. Rozkład Cauchy’ego
Rozkład związany ze zmienną losową ξ absolutnie ciągłą o gęstości
f (x) =
1
λ
· 2
π λ + (x − η)2
η ∈ R, λ > 0
Dla λ = 1 i η = 0 otrzymujemy rozkład standardowy Cauchy’ego o gęstości
f (x) =
1
1
·
π 1 + x2
XI. Rozkład wykładniczy
Rozkład związany ze zmienną losową ξ absolutnie ciągłą o gęstości
(
f (x) =
λe−λx , x ­ 0
0
,x < 0
λ>0
Powyższe 11 rozkładów stanowi najczęściej spotykane rozkłady zmiennej losowej.
Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną i niech ξ: Ω → R będzie zmienną
losową. Niech ponadto ϕ: R → R będzie funkcją borelowską, tzn. ϕ−1 (B) ∈ B(R)
dla każdego B ∈ B(R).
Określmy funkcję η: Ω → R wzorem: η(ω) = ϕ(ξ(ω)).
Niech B ∈ B(R). Wówczas ze względu na ϕ−1 (B) ∈ B(R)
{ω ∈ Ω: η(ω) ∈ B} = {ω ∈ Ω: ϕ(ξ(ω)) ∈ B} = {ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ ϕ−1 (B)} ∈ F
Zatem η jest funkcją mierzalną i jest zmienną losową.
Postawmy sobie następujący problem. Niech dana będzie zmienna losowa ξ. Spróbujmy znaleźć rozkład zmiennej losowej η
Najpierw zauważmy, że dystrybuanta Fη wyraża się wzorem
Fη (x) = P ({ω ∈ Ω: η(ω) < x}) = P ({ω ∈ Ω: ϕ(ξ(ω)) ∈ (−∞, x)}) =
= P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ ϕ−1 ((−∞, x))})
Rozpatrzymy najpierw przypadek, że ξ jest zmienną losową dyskretną, tzn. ξ przyjmuje wartości x1 , . . . , xn , . . . z prawdopodobieństwami odpowiednio p1 , . . . , pn , . . ..
Ponadto pi = P (ξ = xi ).
Ponieważ Ω jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, to ξ przyjmuje co najwyżej przeliczalną ilość wartości, co w konsekwencji prowadzi do wniosku, iż zmienna losowa η
jest również zmienną losową dyskretną.
Załóżmy zatem, że η przyjmuje wartości y1 , . . . , yn , . . .. Należy wyznaczyć jeszcze
prawdopodobieństwa z jakimi η przyjmuje te wartości
P ({ω ∈ Ω: η(ω) = yi }) = P ({ω ∈ Ω: ϕ(ξ(ω)) = yi }) =
!
= P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) = xn , ϕ(xn ) = yi )}) = P
[
{ω ∈ Ω: ξ(ω) = xn } =
n∈J
X
P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) = xn } =
n∈J
X
pn =: qi
n∈J
gdzie sumowania rozciągają sie po zbiorze J = {n: ϕ(xn ) = yi }. Ostatecznie
qi = P (η = yi ) =
X
pn
n∈J
Przykład 9.1
Rozważmy zmienną losową przyjmującą dwie wartości 1 i –1 z prawdopodobieństwami P (ξ = 1) = P (ξ = −1) = 21 . Określmy funkcję ϕ(t) = t2 .
Wobec tego η(ω) = ξ 2 (ω) = 1, a więc P (η = 1) = 1.
Rozpatrzmy teraz sytuacje, kiedy zmienna losowa ξ jest absolutnie ciągła. W tym
przypadku zmienna losowa η może być zarówno absolutnie ciągła jak i dyskretna.
Przykład 9.2
Niech zmienna losowa ξ ma rozkład jednostajny na h0, 1i i gęstość
(
f (x) =
1, x ∈ h0, 1i
0, x ∈
/ h0, 1i
Określmy funkcję ϕ wzorem
(
ϕ(x) =
1, x ∈ h 21 , 1i
0, x ∈
/ h 12 , 1i
(
⇒
η(ω) = ϕ(ξ(ω)) =
1, ξ(ω) ∈ h 12 , 1i
0, ξ(ω) ∈
/ h 12 , 1i
Obliczmy prawdopodobieństwa P (η = 1), P (η = 0)
P (η = 1) = P (η ∈
P (η = 0) = P (η ∈
/
h 12 , 1i)
h 21 , 1i)
=
=
1
Z
1
2
Z
f (x)dx =
dx =
1
2
Z
dx =
h0, 1/2i
R−h1/2, 1i
1
2
Zatem zmienna losowa η ma rozkład dyskretny.
Przykład 9.3
Niech zmienna losowa ξ ma rozkład jednostajny na h0, 1i i gęstość jak w poprzednim
przykładzie. Określmy funkcje ϕ(t) = t2 oraz η(ω) = ξ 2 (ω). Wówczas dystrybuanta
zmiennej losowej η wyraża się wzorem
(
Fη (x) = P (η < x) = P (ξ 2 < x) =
,x ¬ 0
√ 0
√
P (− x < ξ < x) , x > 0
√
√
√
√
Ponadto P (− x < ξ < x) = Fξ ( x) − Fξ (− x).
Załóżmy, że x > 0. Wówczas korzystając ze wzoru na dystrybuantę zmiennej losowej
o rozkładzie jednostajnym mamy:
( √
√
x ,0 < x ¬ 1
Fξ ( x) =
1 ,x > 1
√
Oczywiście Fξ (− x) = 0. Wobec tego w ogólnym przypadku


 √0
x
Fη (x) =


1
,x ¬ 0
,0 < x ¬ 1
,x > 1
(
⇒
fη (x) =
1
√
2 x
0
, x ∈ (0, 1i
,x ∈
/ (0, 1i
Twierdzenie 9.1
Niech ξ będzie zmienną losową absolutnie ciągłą o gęstości f (x). Niech ponadto
P ({ω ∈ Ω: ξ(ω) ∈ (a, b)}) = 1 (czyli ξ(Ω) ⊂ (a, b)).
Niech ϕ: (a, b) → R będzie funkcją klasy C 1 oraz ϕ0 (x) 6= 0 dla x ∈ (a, b).
Wtedy zmienna losowa η(ω) = ϕ(ξ(ω)) jest zmienną absolutnie ciągłą i jej gęstość g
wyraża się wzorem
g(y) = f (h(y)) · |h0 (y)| · χϕ((a,b)) (y)
gdzie h(y) jest funkcją odwrotną do funkcji ϕ na przedziale ha, bi.
Przykład 9.4
Niech ξ będzie zmienną losową o gęstości f (x). Niech ϕ(t) = at + b, gdzie a, b ∈ R
oraz a 6= 0. Wówczas η = aξ + b. Niech ponadto ξ(Ω) ⊂ J.
y = at + b
⇒
t=
y−b
a
⇒
h(y) = ϕ−1 (y) =
y−b
1
∧ h0 (y) =
a
a
Wówczas gęstość g zmiennej losowej η dana jest wzorem
! y − b 1 · χϕ(J) (y)
a
a
g(y) = f
Przyjmijmy teraz, że ξ ma rozkład jednostajny na h0, 1i, więc
(
f (x) =
1, x ∈ h0, 1i
0, x ∈
/ h0, 1i
Oczywiście P (ξ ∈ h0, 1i) = 1. Niech a > 0. Wówczas ϕ(h0, 1i) = hb, a + bi oraz
1
g(y) = 1 · · χhb,a+bi (y)
a
dla b ¬ y ¬ a + b
i g(y) = 0 dla pozostałych y. Zatem
(
g(y) =
1
a
, y ∈ hb, a + bi
0 ,y ∈
/ hb, a + bi
Niech teraz a < 0. Funkcje h(y) oraz h0 (y) pozostają bez zmian, jednak funkcja ϕ
jest tym razem malejąca oraz ϕ(h0, 1i) = ha + b, bi. Zatem
g(y) =
( a1 0
, y ∈ ha + b, bi
,y ∈
/ ha + b, bi
Twierdzenie 9.2
Niech ξ będzie zmienną losową absolutnie ciągłą o gęstości f (x) oraz P (ξ ∈ J) = 1,
gdzie
J=
n
[
hak , bk i
(ak , bk ) ∩ (al , bl ) = Ø, k 6= l
k=1
Niech ϕ: J → R będzie klasy C 1 na przedziałach (ak , bk ) i ϕ0 (x) 6= 0 dla x ∈ (ak , bk ).
Wówczas zmienna losowa η(ω) = ϕ(ξ(ω)) jest zmienną losową absolutnie ciągłą i jej
gęstość wyraża się wzorem
g(y) =
n
X
f (hk (y))|h0k (y)| · χϕ(J(k)) (y)
k=1
gdzie hk (y) jest funkcją odwrotną do ϕ(y) na przedziale (ak , bk ) oraz Jk = (ak , bk ).
GRZEGORZ GIERLASIŃSKI