Zadanie 1. Zmienna losowa X ma dystrybuantę FX daną wzorem: FX

Zadanie 1. Zmienna losowa X ma dystrybuantę F X daną wzorem:

0,




 61 ,
1
FX (x) =
2,

5

,


 6
1,
x ∈ (−∞, a],
x ∈ (a, 0],
x ∈ (0, 1],
x ∈ (1, b],
x ∈ (b, ∞].
Wiedząc, że E(X) = 0 i D 2 (X) = 6, oblicz P (X < a+b
2 ).
Zadanie 2. Zmienna losowa X ma dystrybuantę F X daną wzorem:
FX (x) =

 0,

1+2x−x2
,
2
1,
x ∈ (−∞, 0],
x ∈ (0, 1],
x ∈ (1, ∞].
Jakie informacje o rozkładzie zmiennej losowej X wynikają z tej postaci dystrybuanty.
Zadanie 3. Zbadać dla jakich wartości parametru c funkcje
a) FX (x) = c · cosx dla 0 ≤ x ≤ 21 π,
b) FX (x) = c · sinx dla 0 ≤ x ≤ 21 π,
są dystrybuantami pewnej zmiennej losowej X.
Zadanie 4. Czy podane funkcje są gęstościami prawdopodobieństwa pewnych zmiennych losowych:
a) f (x) =
b) f (x) =
c) f (x) =


1
6 (x + 2),
− 61 (x − 4),
0,
x≤0
xe−x , x > 0.
1 − e(− 3 x) , x > 0,
0,
dla pozostałych x.

0,
x ∈ (−2, 2],
x ∈ (2, 4],
dla pozostałych x.
1
Zadanie 5. Niech X oznacza liczbę wylosowaną za pomocą ruletki z nawiniętym na jej okręgu przedziałem
liczbowym (a, b). Znajdź rozkład zmiennej losowej X oraz jej wartość oczekiwaną.
Zadanie 6. Dobrać tak stałe a i b by funkcja F X (x) = a + b · arctgx dla x ∈ R była dystrybuantą
pewnej zmiennnej losowej X. Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej X i obliczyć jej wartość oczekiwaną.
Zadanie 7. Wiedząc, że X : N (1, 2) obliczyć P (|X| > 1) i P (|X − 1| < 2.