Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa
Ćwiczenia 6
Definicja 1. Niech będzie dana przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ). Dystrybuantą zmiennej losowej
X : Ω → R Nazywany funkcję FX : R → R, określoną zależnością
FX (t) = P (X ¬ t).
Twierdzenie 1. Dystrybuanta FX zmiennej losowej X ma następujące własności:
a) FX jest nie malejąca
b) lim FX (t) = 1
t→∞
c)
lim FX (t) = 0
t→−∞
d) FX jest prawostronnie ciągła
Oznaczenie 1. F (t+ ) = lims→t+ F (s), F (t− ) = lims→t− F (s).
Zadanie 1. Niech będzie dana zmienna losowa o własnościach: P (X = 0) = 32 oraz P (X = 1) = 31 .
Proszę wyznaczyć wzór orz narysować dystrybuantę FX tej zmiennej losowej. Ile wynosi:
a) FX (−1)
b) FX (0)
c) FX (0.5)
d) FX (1)
e) FX (2)
Zadanie 2. Proszę wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ > 0.
Zadanie 3. Znaleźć gęstość zmiennej losowej o dystrybuancie
FX (t) =


 0 gdy t < 0
t
gdy 0 ¬ t < 1

 1 gdy 1 ¬ t
Uwaga 1. Mamy następujące zależności:
a) P (X = t) = FX (t) − FX (t− )
b) P (X ∈ (a, b]) = FX (b) − FX (a)
1
2
c) P (X ∈ (a, b)) = FX (b− ) − FX (a)
d) P (X ∈ [a, b]) = FX (b) − FX (a− )
e) P (X ∈ [a, b)) = FX (b− ) − FX (a− )
Zadanie 4. Niech X będzie zmienną losową opisującą pojedynczy rzut kostką. Wyznaczyć dystrybuantę X oraz P (X ∈ (3, 5)), P (X ∈ [3, 5)), P (X ∈ (3, 5]), P (X ∈ [3, 5]).
Zadanie 5. Wiemy, że zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o parametrze λ > 0 oraz, że
P (X < 2) = 34 . Wyznaczyć parametr λ.
Zadanie 6. Dla jakich parametrów a, b funkcja

ax

 0.5e
gdy x ¬ 1
bx + 0.75 gdy 1 < x ¬ 2
F (x) =

 1
gdy 2 < x
jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X? Przyjmując parametry a = 0.5 oraz b = 0.1 obliczyć:
a) P (1 ¬ X < 2)
b) P (0 ¬ X ¬ 1)
c) P (0.5 ¬ X ¬ 1.5)
d) P (−1 ¬ X < 3)
Zadanie 7. Wyznaczyć stałe tak by funkcja
F (x) =


 0
b(1 −

 1
c
x)
gdy x ¬ −1
gdy −1 < x ¬ a
gdy 1 < a
była dystrybuantą zmiennej losowej X:
a) typu ciągłego
b) typu skokowego
Zadanie 8. Proszę pokazać, że rozkłady: geometryczny oraz wykładniczy mają następującą własność
braku pamięci (zwana także własnością Markowa): jeżeli X jest zmienną losową o danym rozkładzie
to
P (X > t + s|X > t) = P (X > s)
gdzie w przypadku rozkładu ciągłego t, s ∈ R+ a dyskretnego t, s ∈ N ∪ {0}.
Zadanie 9. Obliczyć P (|X − 1| < 2) gdy X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1.
Zadanie 10. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na zbiorze [−1, 0] ∪ [2, 4]. Wyznaczyć
gęstość i policzyć P (|X − 23 | < 2).