Stożkowe

Sto»kowe
Okr¡g
1. Napisa¢ równanie okr¦gu wiedz¡c, »e jest on styczny do osi
promie«
2. Napisa¢ równanie okregu stycznego do osi
Oy
Oy
w punkcie
A = (0, 5)
i ma
r = 3.
cieciw¦ o dªugo±ci
8
Ox
w punkcie
i odcinaj¡cego na osi
jednostek.
3. Znale¹¢ równanie elipsy o wierzchoªkach
A = (−1, 3) , B = (5, 3) , C = (2, 1) , D = (2, 5) .
4. Napisa¢ równanie okr¦gu maj¡cego ±rodek w punkcie
równaniu
M = (4, 0)
A = (−1, 2)
i stycznego do prostej o
2x + y − 6 = 0.
(x − 2)2 + (y − 1)2 = 25.
5. Dany jest okr¡g o równaniu
okr¦gu w punkcie
Znale¹¢ równanie stycznej do tego
(5, 5).
6. Napisa¢ równania stycznych do okr¦gu o równaniu:
(a)
x2 + y 2 − 10x − 4y + 25 = 0,
(b)
x2 + y 2 = 25,
(c)
x2 + y 2 = 4,
poprowadzonych z pocz¡tku wspóªrz¦dnych,
poprowadzonych z punktu
B = (7, 1),
równolegªych do prostej o równaniu
7. Wiadomo, »e prosta
x + y + 3 = 0.
4x−3y −38 = 0 jest styczna do okr¦gu (x − 1)2 +(y + 3)2 = 25.
Znale¹¢
punkt styczno±ci.
8. Uªo»y¢ równania wspólnych stycznych do dwóch okr¦gów o równaniach
(x − 2)2 + (y − 1)2 = 1
i
(x + 2)2 + (y + 1)2 = 9.
9. Znale¹¢ dªugo±¢ odcinka stycznej do okr¦gu o równaniu
dzonego z punktu
M = (2, 6)
(x + 3)2 + (y − 2)2 = 25,
poprowa-
do punktu styczno±ci.
10. Pod jakim k¡tem przecinaj¡ si¦ okr¦gi
x2 + y 2 = 16-
i
O : x2 + y 2 − 4x − 5 = 0
±rodek w punkcie B i zewn¦trznie
11. Dany jest okr¡g
maj¡cego
(x − 5)2 + y 2 = 9?
i punkt
B = (5, 4).
stycznego do okr¦gu
Napisa¢ równanie okr¦gu
O.
Elipsa
1. Dane jest równanie elipsy
25x2 + 169y 2 = 4225. Obliczy¢ dªugo±¢i osi tej elipsy,
ognisk i mimi±ród.
1
wspóªrz¦dne
2. Odlegªo±ci jednego z ognisk elipsy od ko«ców osi wielkiej równaj¡ si¦ odpowiednio
7
i
1.
Napisa¢ równanie tej elipsy.
3. Napisa¢ równania kierownic elipsy
4. Na elipsie o rownaniu
x2 y 2
+
= 1.
9
4
x2 y 2
+
= 1 znale¹¢ taki punkt, którego odleglo±¢ od prawego ogniska
100 36
jest cztery razy wi¦ksza ni» odlegªo±¢ od lewego ogniska.
5. Napisa¢ równanie stycznej do elipsy
dodatnich.
x2
+ y2 = 1
16
6. Znale¹¢ równania stycznych do elipsy,
(a) równolegªe do prostej
jej ±rodkiem.
8. W elips¦
które s¡
y = −2x + 1.
x2 y 2
+
= 1.
9
4
y2
x2
+
=1
49 24
4x2 + 5y 2 = 120,
y = 4x,
(b) prostopadªe do prostej
7. Dana jest elipsa
w punkcie o jednakowych wspólrz¦dnych
Przez punkt
A = (1, 1)
poprowadzi¢ cieciw¦ tak, aby byª on
wpisano prostok¡t, którego dwa przeciwlegªe boki przechodz¡ przez
ogniska elipsy. Obliczy¢ pole tego prostok¡ta.
9. Znale¹¢ równanie toru jaki zakre±laj¡ ±rodki ci¦ciw poprowadzone z ko«ca osi maªej elipsy o
równaniu
x2 y 2
+
= 1.
25
9
Hiperbola
1. Napisa¢ równanie hiperboli, której osie pokrywaj¡ si¦ z osiami wspóªrz¦dnych, wiedz¡c, »e;
(a) odlegªo±¢ mi¦dzy wierzchoªkami hiperboli równa jest
jest równa
6,
a odlegªo±¢ mi¦dzy ogniskami
8,
(b) póªo± rzeczywista jest równa 4, a wierzchoªki dziel¡ odcinki mi¦dzy ±rodkiem, a wierzchoªkami na poªowy,
(c) o± rzeczywista równa si¦
8
i hiperbola przechodzi przez punkt
P = (7, −3).
2. Znale¹¢ wspóªrz¦dne wierzchoªka oraz póªosie hiperboli
9x2 − 16y 2 + 36x + 96y − 252 = 0.
3. Na hiperboli o równaniu
asymptoty ni» drugiej.
x2
y2
−
= 1
49
16
4. Napisa¢ równanie stycznej do hiperboli
znale¹¢ punkt, który le»y trzy razy bli»ej jednej
xy = 14
2
w punkcie
(2, 7).
5. Znale¹¢ równania stycznych do hiperboli
x2 y 2
−
=1
8
9
6. Na hiperboli danej równaniem
do osi
Ox
pod k¡tem
9x2 −y 2 = 9 przechodz¡cych przez punkt P = (1, 9).
π
.
3
7. Znale¹¢ równania stycznych do hiperboli,
(a) równolegªe do prostej
znale¹¢ punkty, w których styczne nachylone s¡
x2 y 2
−
= 1,
16
9
które s¡
y = x − 1,
(b) prostopadªe do prostej
y = −3x − 4.
8. Hiperbola jest styczna do prostej
x−y−2=0
w punkcie
P = (4, 2).
Napisa¢ równanie tej
hiperboli.
Parabola
1. Napisa¢ równanie paraboli wiedz¡c, »e
(a) Odlegªo±¢ ogniska od wierzchoªka jest rowna
(b) Ognisko ma wspóªrz¦dne
(5, 0),
2,
a o± rz¦dnych jest kierownic¡.
2. Poda¢ wspóªrz¦dne wierzchoªka oraz równanie osi symetrii paraboli
y 2 − 10y − 4x + 21 = 0.
3. Na paraboli
y 2 = 16x
znale¹¢ punkt, którego odlegªo±¢ od ogniska jest równa
4. Napisa¢ równanie stycznej do paraboli
5. Znale¹¢ wspólne styczne elipsy
6. Obliczy¢ parametr
p
paraboli
y 2 = −8x
x2 y 2
+
=1
45 20
y 2 = 2px
prostopadªej do prostej
i paraboli
y2 =
30.
x + 4y − 1 = 0.
20
x.
3
wiedz¡c, »e jest ona styczna do prostej o równaniu
x − y + 2 = 0.
7. Znale¹¢ równanie krzywej utworzonej przez ±rodki rz¦dnych paraboli
8. Znale¹¢ równanie ci¦ciwy paraboli
y 2 = 4x,
3
y 2 = 8x.
której ±rodkiem jest punkt
M = (4, 1).