E:\Publikacje\Zeszyt cwiczen maturalnych\Listopad 2010\Strony

Dorota Nowak, Maria Romanowska
Powtórka przed matur¹
Æwiczenia z matematyki
Matematyka to proste
OPOLE
Wydawnictwo NOWIK Sp.j.
2011
SPIS TREŒCI
Do Ucznia! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Liczby rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Wyra¿enia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Równania, nierónoœci, uk³ady równñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Ci¹gi liczbowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Ci¹g arytmetyczny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Ci¹g geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Ci¹g arytmetyczny i geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Trygonometria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Planimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Geometria na p³aszczyŸnie kartezjañskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Stereometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Elementy statystyki opisowej, teoria rachunku prawdopodobieñstwa i kombinatoryka . . . . . . . . . . . . . . 125
Elementy statystyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Elementy kombinatoryki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Rachunek prawdopodobieñstwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Zadania tekstowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . strona internetowa: www.nowik.com.pl
3
DO UCZNIA!
Przed Tob¹: MATURA – egzamin wa¿ny, bo nie tylko koñcz¹cy szko³ê, ale przede wszystkim, otwieraj¹cy
drogê na studia. Jednym z egzaminów jest matematyka na poziomie podstawowym.
Przygotowanie siê do matury z matematyki to wyzwanie. Takie jakich wiele w ¿yciu.
Naukê matematyki mo¿na porównaæ do wyprawy w góry i to nie byle jakie, ale te najwy¿sze. Wêdruj¹c, bêdziesz poruszaæ siê zarówno po terenie znanym i lubianym, jak i obcym, pe³nym pu³apek. Po drodze czekaj¹
Ciê piêkne widoki (to ju¿ umiem!). Bêdziesz prze¿ywaæ chwile radoœci (potrafiê, rozumiem) i dumy z siebie
(nauczy³em siê). Czy nie uwa¿asz, ¿e gdyby by³o ci¹gle mi³o i przyjemnie, to by³aby to nieco nudna wêdrówka?
Pamiêtaj wiêc, ¿e wyprawa w wysokie góry nie mo¿e byæ zbyt ³atwa. W drodze czyhaæ na Ciebie bêd¹ œnie¿yce
i lawiny (gdzie pope³ni³em b³¹d?). Czasami Twoja wêdrówka bêdzie pe³na strachu (zdam?), z³oœci (nigdy siê
tego nie nauczê!). Warto wiêc na drogê zaopatrzyæ siê w super sprzêt. Sprzêt, który pomo¿e Ci w wêdrówce –
ten zeszyt æwiczeñ.
Pamiêtaj o systematycznej pracy, bo tylko wytrwa³oœci ka¿dy mistrz zawdziêcza swój sukces. Decyzja, czy
uczyæ siê i jak uczyæ siê matematyki, nale¿y tylko do Ciebie. Zeszyt æwiczeñ jest przewodnikiem w wêdrówce.
To czy dotrzesz na szczyt, zale¿y tylko od Ciebie.
Gotowy do wêdrówki?
Razem ruszamy zdobywaæ szczyty!
4
LICZBY RZECZYWISTE
1. W podanym zbiorze otocz pêtl¹ ¿ó³t¹ liczby podzielne przez 3, pêtl¹ czerwon¹ liczby podzielne przez 6,
zielon¹ liczby podzielne przez 9, a niebiesk¹ liczby pierwsze.
{ 7, 12, 70, 95, 111, 11, 6, 126, 235,
258, 317, 330, 369, 891, 907}
Dzielnik
Cecha podzielnoœci
2
Ostatni¹ cyfr¹ jest 0, 2, 4, 6, 8
3
Suma cyfr dzieli siê przez 3
4
Liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry dzieli siê przez 4
5
Ostatni¹ cyfr¹ jest 0 lub 5
6
Liczba jest podzielna przez 2 i przez 3
9
Suma cyfr dzieli siê przez 9
2. ZnajdŸ NWW i NWD liczb:
a) 60 i 42;
b) 210 i 900;
c) 126 i 58.
Rozwi¹zanie
a) 42 2
21 3
7 7
1
NWD( 60, 42) = 2 × 3 = 6
NWW ( 60, 42) = 2 × 2 × 3 × 5 ×
1
424
3
z rozk³adu
liczby 60
60 2
30 2
15 3
5 5
1
7
123
= 420
nie wyst¹pi³a
wœród czynników
liczby 60
3. Oblicz iloraz NWW (63, 20) przez NWD( 42, 30) .
Rozwi¹zanie
4. Zapisz symbolicznie liczbê naturaln¹, która jest:
a) liczb¹ podzieln¹ przez 3;
b) liczb¹, która podzielona przez 3 daje resztê 2.
Rozwi¹zanie
5. Zapisz symbolicznie liczbê dwucyfrow¹, w której:
a) jest a dziesi¹tek i b jednoœci;
b) jest a dziesi¹tek, i która jest parzysta;
c) w której jest dwa razy wiêcej dziesi¹tek ni¿ jednoœci.
Rozwi¹zanie
5
6. Wykonaj dzia³ania:
Rozwi¹zanie
a) [-17 + ( - 3 )] × [ - 4 × ( -5) + 4 × ( -5) ] =
b) [-7 × 4 - 6 × ( - 3 )] × [ 11 × ( - 4) - ( - 11) × 7 + ( -13 ) × ( -2) ] =
c) ( -2)4 + ( -3)3 × ( -1)28 + ( -16) =
7. W miejce
wpisz liczbê przeciwn¹ do danej.
a) -7 × [ - ( - 3) ] 2
b) ( - 3 -27 ) -1
c) ( -3 - 7 ) × ( -3 + ( -7) ) × ( -3 - ( -7) )
d) 4- 2 × ( -2 )4
8. Jaki znak ma potêga?
a) 128 ;
b) ( -12)8 ;
c) -128 ;
d) ( -12 ) 11 ;
e) -12 11
9. Oblicz
ìï
a) 25 : í[ 5 : ( 0, 3 - 0, 2) ] :
ïî
ü
é
æ 2 ×10ö ù ï ;
0
,
25
×
ç
÷
ý
ê
è5
ø úû ïþ
ë
æ
ö æ 0 ,4 ö÷
b) 2 : 1 - çç1 + 7 × 1 ÷÷ × ç
.
5 è
40 0 , 2 ø ç 3 : 2 ÷
2
è
ø
Przypominam :-)
Rozwi¹zanie
10. Przedstaw
Rozwi¹zanie
6
Zaczynamy od nawiasów
najbardziej w œrodku.
2 + 9 -1 + 3 × ( 1 ) - 2 - 2
9
2
3
5 - ( 3 )-3 - 27 -1
4
w postaci nieskracalnego u³amka zwyk³ego.
FUNKCJE
1. Wska¿, które z przyporzadkowañ przedstawia funkcjê:
Y
a) X
b) X
1
2
3
e)
h)
1
0
y
1
0
2
f)
Y
Y
X
i)
Y
X
0
6
X
Y
x
2
3
X
j)
1
2
3
Y
g)
Y
c) X
4
1
6
d)
Y
5
4
X
k) ka¿demu cz³owiekowi
przyporz¹dkowano
jego rok urodzenia.
x
0
1
2
y
1
0
0
l) ka¿dej liczbie naturalnej przyporzadkowano jej kwadrat.
2. Dana jest funkcja y = f ( x ), której wykres przedstawiony jest na rysunku. Wykreœl zdania fa³szywe.
Y
Dziedzin¹ funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Najmniejsz¹ wartoœci¹ funkcji jest 5.
Funkcja ma dok³adnie jedno miejsce zerowe.
1
X
1
Funkcja jest malej¹ca.
Funkcja jest nierosn¹ca.
Najwiêksz¹ wartoœci¹ funkcji jest 4.
3. Po³¹cz zdanie opisuj¹ce w³asnoœæ funkcji z jej wykresem.
Y
Y
l Dziedzin¹ funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
1
X
l Funkcja ma dok³adnie jedno miejsce zerowe.
X
1
l Funkcja jest nierosn¹ca.
Y
X
l Zbiorem wartoœci funkcji jest R \ { 0 } .
l Funkcja nie osi¹ga wartoœci najwiêkszej.
35
4. Odczytaj z wykresu funkcji y = f ( x ) dziedzinê, zbiór wartoœci, miejsca zerowe oraz maksymalne przedzia³y, w których funkcja roœnie, maleje, ma sta³y znak.
Rozwi¹zanie
Y
a)
Y
b)
y = f (x )
y = f (x )
X
1
X
1
1
1
Y
Y
y = f (x )
c)
d)
X
1
X
1
1
1
y = f (x )
5. Uzupe³nij tabelkê, tak aby okreœlona funkcja by³a rosn¹ca.
x
–4
– 3,5
– 2,7
f (x)
1
0,2
2
1,2
3,7
1,5
– 4,1
1,69
6. Dany jest wykres funkcji y = f ( x ). Naszkicuj wykres funkcji: y = f ( x + 3) , y = f ( x ) - 2,
y = f ( x - 1) + 4.
Rozwi¹zanie
Y
a)
Y
b)
y = f (x )
X
1
1
36
y = f (x )
X
1
1