strefa z tekstem podzielonym k.qxd

epidemia
łamania
głowy
J
strefa
³amania
ak g³osi hinduska legenda, dawno temu, w Indiach, w g³ównej
œwi¹tyni miasta Benares, Brahma postawi³ na br¹zowej tabliczce
trzy diamentowe paliki o wysokoœci
1 ³okcia i gruboœci tu³owia pszczo³y.
Na jeden z diamentowych palików
na³o¿y³ 64 kr¹¿ki z czystego z³ota
z otworami poœrodku, o malej¹cych
œrednicach, u³o¿one tak, ¿e powsta³a wie¿a przypominaj¹ca kszta³tem
œciêty sto¿ek (patrz rys.).
Kap³ani œwi¹tynni otrzymali
zadanie przeniesienia owego sto¿ka, kr¹¿ek po kr¹¿ku, na drugi dia-
b)
c)
Wieża Hanoi składająca się z 4 krążków
g³owy
Wieża Hanoi
ul. Burleska 9, 01-939 Warszawa
z dopiskiem „Konkursy”
prześlij na adres:
AVT-Korporacja Młody Technik
mentowy palik, korzystaj¹c z trzeciego pomocniczego palika i przestrzegaj¹c nastêpuj¹cych trzech regu³:
1. w jednym ruchu mo¿na podnieœæ tylko jeden kr¹¿ek,
2. podniesiony kr¹¿ek nale¿y nadziaæ na jeden z trzech palików,
3. nie wolno, na ¿adnym z palików, k³aœæ wiêkszego kr¹¿ka na
mniejszym.
Nieustannie, dniem i noc¹,
przek³ada kr¹¿ki któryœ z kap³anów,
a gdy tylko opada z si³, zastêpowany jest przez kolejnego. Gdy kap³ani zakoñcz¹ pracê, nast¹pi koniec
œwiata.
Kupon MT 10/2006
a)
Legendê tê rozpropagowa³
w XIX wieku francuski matematyk
Eduard Lucas, a do dziœ problem
przenoszenia kr¹¿ków w ró¿nych
wersjach budzi zainteresowanie
wœród matematyków.
Lucas postawi³ pytanie:
W jaki sposób nale¿y przenosiæ kr¹¿ki miêdzy palikami z zachowaniem wspomnianych regu³,
aby ostatecznie otrzymaæ tak¹ sam¹ wie¿ê na s¹siednim paliku?
Lucas pyta³ o przypadek wie¿y oœmiokr¹¿kowej.
Autor, aby nie wystawiaæ
cierpliwoœci Czytelnika na zbyt du¿¹ próbê (zadanie Lucasa wymaga
Eduard Lucas
Mini-Quiz Czytam, więc wiem
Celem tego quizu jest sprawdzenie jak uważnie przeczytaliście teksty publikowane w tym numerze MT. Na zakończenie niektórych artykułów stawiamy pytania sprawdzające wraz z kilkoma wariantami
odpowiedzi. Wśród Czytelników, którzy nadeślą poprawne odpowiedzi rozlosujemy cenne nagrody książkowe. Lista nagrodzonych
będzie opublikowana w Młodym Techniku.
............................................................................................................................
imię i nazwisko
Podaj prawidłowe odpowiedzi na pytania
postawione na stronach:
str. 18
str. 37
a
b
c
a
b
c
wiek
............................................................................................................................
ulica
nr domu, nr mieszk.
............................................................................................................................
kod
miejscowość
Głosowanie na „Pomysł miesiąca”:
Mój numer prenumeratora: ..................
Oddaję głos na pomysł nr ........
Jolka z hasłem
str. 84
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Tab. 1
Stan wyjściowy
krok 1
krok 2
krok 3
krok 4
palik a
1, 2, 3, 4
palik b
–
palik c
–
Wspaniale! Znamy przecie¿ rozwi¹zanie dla wie¿y z dwoma
kr¹¿kami (tab. 2),
a wiêc dziêki naszemu
Paliki nazwane są: a, b, c, a krążki ponumerowano
odkryciu mo¿emy ³atkolejno od najmniejszego do największego.
wo wskazaæ rozwi¹zanie dla wie¿y z trzema kr¹¿kami.
255 ruchów!), prosi o rozwi¹zanie
Znaj¹c to ostatnie, ³atwo znajdziezagadki dla wie¿y czterokr¹¿komy rozwi¹zanie dla wie¿y z 4 kr¹¿wej. Dla u³atwienia podpowiedŸ:
kami itd.
rozwi¹zanie sk³ada siê z 15 ruchów
Ten sposób rozumowania
i zamieœcimy je w przysz³ym miemo¿e siê wydawaæ nieco „pokrêtsi¹cu.
Polecam w tym miejscu prze- ny”, bo zamiast otrzymaæ explicité
rozwi¹zanie, jesteœmy odes³ani do
rwaæ czytanie i ruszyæ g³ow¹. Potego samego problemu, tyle ¿e ze
ni¿sza tabela mo¿e byæ wygodnym
zmniejszon¹ liczb¹ kr¹¿ków. Jednarzêdziem poszukiwañ (tab. 1).
Wspólnie przeanalizujmy naj- nak¿e, proszê mi wierzyæ (a jeszcze
lepiej sprawdziæ) – to naprawdê
prostsze przypadki:
dzia³a!
Jeœli wie¿a sk³ada siê z jedOdkrycie wskazuje drogê, jak
nego kr¹¿ka, to ów jeden kr¹¿ek
przenosimy na palik b i zadanie jest szukaæ rozwi¹zania postawionego
Czytelnikom, a po czêœci rozwi¹zuje
zakoñczone w jednym ruchu.
nawet zagadkê. Czytelników prosimy o podanie dok³adnego rozwi¹zaJeœli wie¿a ma dwa kr¹¿ki,
nia, krok po kroku.
to przenosimy je tak, jak opisane
W matematyce (i informatyjest w tabeli 2:
ce) skoñczony, uporz¹dkowany
Tab. 2
zbiór jasno zdefiniowapalik a
palik b
palik c
nych czynnoœci, koniecznych do wykonaStan wyjściowy
1, 2
–
–
nia pewnego zadania,
krok 1
2
–
1
nazywamy algorytkrok 2
–
2
1
mem.
krok 3
–
1, 2
–
Dla przyk³adu,
w tym tekœcie zajmujemy siê algoI tu nie ma jeszcze nic trudrytmem przenoszenia wie¿y miêdzy
nego.
A teraz za³ó¿my, ¿e wie¿a ma palikami – nazwijmy go roboczo aln kr¹¿ków i zastanówmy siê chwilê: gorytmem Hanoi.
Otó¿ nasz algorytm Hanoi
Aby przenieœæ n kr¹¿ków,
jest szczególnym algorytmem.
wystarczy wiedzieæ, jak przenieœæ
n-1 kr¹¿ków.
Zgodnie z odkryciem, aby znaleŸæ
rozwi¹zanie dla n kr¹¿ków, musimy
Popatrzmy:
znaleŸæ wczeœniej rozwi¹zanie dla
1. przenosimy górnych n – 1 kr¹¿n – 1 kr¹¿ków, co z kolei oznacza,
ków na palik c (przyjêliœmy, ¿e to
¿e nale¿y rozwi¹zaæ zagadkê dla
ju¿ potrafimy);
2. ostatni kr¹¿ek (ten, który zosta³ na n – 2 itd. W pewnym momencie
„zejdziemy” do n = 2, a rozwi¹zapaliku a) przenosimy na palik b;
nie tego przypadku ju¿ odkryliœmy.
3. przenosimy górnych n – 1 kr¹¿W³aœnie takie algorytmy, któków z palika c na palik b, jako
re w rozwi¹zaniu odwo³uj¹ siê do
pomocniczy s³u¿y palik a
rozwi¹zania tego samego problemu,
(dolny n-ty kr¹¿ek le¿¹cy na spodzie jest wiêkszy od wszystkich po- ale w prostszym przypadku (u nas:
mniejsze n) nazywamy algorytmazosta³ych, wiêc w ¿aden sposób
mi rekurencyjnymi. Wci¹¿ odwo³u„nie przeszkadza”);
A oto rozwi¹zanie zagadki z zesz³ego miesi¹ca.
Nic w tym trudnego nie ma – powiedzia³ mêdrzec. – WeŸcie jeszcze
mojego wielb³¹da i teraz podzielcie stado miêdzy siebie.
M³odzieñcy z ³atwoœci¹ podzielili wielb³¹dy. Najstarszy wzi¹³ 10,
œredni 5, a najm³odszy 4. Ale zosta³ im jeden wielb³¹d. I znowu poszli do
mêdrca
– Zobacz, starcze – znowu nie wype³niliœmy woli ojca. Prawie wszystko siê
uda³o, ale zosta³ nam jeden wielb³¹d.
– Oj, nie wam on zosta³ – œmia³ siê mêdrzec – przecie¿ to mój wielb³¹d. Oddajcie go, a wolê ojca wype³nicie w ca³oœci.
j¹c siê do rozwi¹zania prostszego
przypadku, w pewnym momencie,
po serii takich odwo³añ, dojdziemy
do rozwi¹zania przypadku najprostszego. W zadaniu o wie¿y Hanoi
bêdzie to wariant z 2 kr¹¿kami, którego rozwi¹zanie jest bardzo ³atwe
do znalezienia „na piechotê”. Zauwa¿my, ¿e w algorytmie rekurencyjnym zawsze musi byæ podane
w sposób jawny rozwi¹zanie przynajmniej jednego przypadku (tzw.
rozwi¹zanie bazowe – u nas: n = 1;
n = 2).
Algorytmy rekurencyjne s¹
bardzo wygodne do zaprogramowania – zapis jest krótki, prosty i zgodny z intuicj¹. Jedynym powa¿nym
mankamentem jest to, ¿e zajmuj¹
bardzo du¿o pamiêci. Ale informatycy maj¹ sposoby, by i ten problem
obejœæ… !
81
epidemia
łamania
głowy
Bia³y
1
TRYKTRAK
Dom czarnych
I
II
III IV V VI
VII VIII IX X XI XII
I
II
III IV V VI
³amania
1
VII VIII IX X XI XII
g³owy
dwór
1
2
3
4
3
5
6
dwór
7
8
Bia³y
9 10 11 12
1
2
3
4
Kierunek ruchu czarnych
I
II
III IV V VI
2×4
2×4
Dom bia³ych
VII VIII IX X XI XII
1
przystanek
Czarny
3+4
5
6
7
8
3+2
9 10 11 12
2
Ustawienie pionów
przed gr¹
Pocz¹tkowy uk³ad
pionów jest zawsze taki
sam. Piony stoj¹ symetrycznie po obu stronach
planszy. Grê rozpoczyna
ten z graczy, który wyrzuci³ koœci¹ wiêksz¹ liczbê
oczek. Podczas rozgrywki
gracze rzucaj¹ na zmianê
dwiema koœæmi. Przesuwaj¹ swój dowolnie wybrany pion (lub 2 piony)
o liczbê wyrzuconych
oczek. Pion mo¿na postawiæ na linii pustej lub zajêtej przez w³asne piony. Taka linia mo¿e byæ PRZYSTANKIEM na drodze pionu, przesuwanego o sumê
wyrzuconych oczek. Piony
wêdruj¹ po planszy w kierunku swoich domów. Bia³e od linii I do XII i dalej od
linii 12 do 1. Czarne od 1
do 12 i od XII do I.
2
pól nazywamy liniami. Przestrzeñ podwór
dwór
miêdzy liniami to
DWÓR, a pole piono5
we poœrodku to tzw.
BANDA. Linie od 1
do 6 nazwane s¹
DOMEM BIA£YCH,
a linie od I do VI DOMEM CZARNYCH.
Celem gry jest wprowadzenie wszystkich pionów do
7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6
swojego DOMU,
a nastêpnie wyproKierunek ruchu bia³ych
3
Dublet
wadzenie ich na
Jeœli gracz wyrzuci
DWÓR.
koϾmi dwie jednakowe liczby, czyli dublet, przesuwa
(Oznaczenia cyfrowe podajemy, aby ³atwiej nam
swoje piony tak, jakby rzuca³ czterema koœæmi.
by³o œledziæ przebieg ruchów).
banda
82
Czarny
przystanek
banda
strefa
Rekwizyty
Rekwizyty: 15 pionów bia³ych i 15 czarnych, specyficzna plansza, 2 koœci. Umieszczonych po ka¿dej stronie
planszy 12 trójk¹tnych
Bia³y
Na jednej linii mo¿na ustawiæ dowoln¹ liczbê
pionów, ale tylko jednego koloru. Jeœli na linii stoj¹
dwa lub wiêcej pionów, mówimy, ¿e jest to LINIA
ZAMKNIÊTA dla przeciwnika.
Np. czarny mo¿e przesun¹æ pion z linii 12 na liniê VIII, bo ma wolny przystanek na linii X.
4
Bia³y
Bicie
Na liniê zajêt¹ przez jeden pion przeciwnika wolno
wejϾ (np. linia II). Pion zostaje
zbity i odk³ada siê go na bandzie. Gracz maj¹cy piony na
bandzie nie mo¿e wykonaæ
¿adnego ruchu pozosta³ymi
pionami, dopóki pionów z bandy nie wprowadzi znów do gry.
I
Czarny
bicie
I
II
III IV V VI
Jeœli gracz wyrzuci liczbê
oczek 4, a na tej linii nie ma pionów, mo¿e wprowadziæ na dwór
pion z nastêpnej ni¿szej linii, na
której ma pion.
! Wygrana – gracz pierwszy wprowadzi³ wszystkie swoje piony na
dwór.
II
III IV V VI
5
Czarny
VII VIII IX X XI XII
przystanek
1
6+5
6
VII VIII IX X XI XII
4
4
dwór
6
dwór
6
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
! Wygrana podwójna – przegrany nie wprowadzi³ ani
jednego pionu na dwór.
! Wygrana poczwórna – przegrany nie wprowadzi³
ani jednego pionu na dwór i nie wszystkie piony ma
w domu.
! Wygrana oœmiokrotna – przegrany nie wprowadzi³
ani jednego pionu na dwór, nie wszystkie piony ma
w domu i jego piony stoj¹ na bandzie. !
1
1
1
8
9 10 11 12
I
II
III IV V VI
VII VIII IX X XI XII
5
Ponowne wprowadzenie do gry
Wprowadziæ pion z bandy do gry mo¿na tylko na
pole przeciwnika i tylko wtedy, gdy liczba wyrzuconych oczek odpowiada numerowi pustej linii przeciwnika. Np. bia³y wyrzuci³ 1 i 6 oczek. Pion z bandy mo¿e
postawiæ na linii I, linia VI – jest zajêta.
Czarny wyrzuci³ 6 i 5 oczek. Chêtnie postawi³by
pion z linii 1 na 12, ale nie ma „wolnego” przystanku
po drodze, bo linie 6 i 7 s¹ zamkniête. Porusza siê wiêc
z linii 12 o szeœæ (linia VII jest wolna) i dalej o piêæ.
6
dwór
dwór
6
6
Fina³
Gdy gracz zgromadzi wszystkie piony w swoim
domu, rozpoczyna wyprowadzanie ich na dwór, tak¿e
zgodnie z rzutami koœæmi. Np. bia³y wyrzuci³ 6 i 3.
Przenosi na dwór jeden pion z linii 6 i to samo móg³by zrobiæ
Bia³y
z pionem z linii 3. Ale mo¿e te¿
wykorzystaæ kolejne rzuty do
przesuwania pionów wewn¹trz
w³asnego domu. Pion z linii 2
przesuwa na liniê 5.
1
2
3
4
3
5
6
7
8
9 10 11 12
83
jolka
z
G
hasłem
4
B
G
18
G
strefa
G
Aby odczytać hasło, należy wpisać do diagramu na dole strony litery z pól oznaczonych
cyframi. Hasło można wysłać do redakcji na kuponie (str. 82) lub elektronicznie ze strony
www.mt.com.pl/kupon. Spośród prawidłowych rozwiązań wylosujemy pięć, które zostaną
nagrodzone. Nagrody – patrz str. 4.
21
B
20
3
8
C
22
13
C
11
³amania
B
B
G
C
C
2
15
7
B
C
G
g³owy
G
C
6
9
B
1
12
C
C
14
19
10
5
16
C
G
17
W diagramie ujawniono po³o¿enie wszystkich wyst¹pieñ litery B, C, G.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
84
konserwy rybne najczêœciej
z oczyszczonych makreli, przyrz¹dzane w sosie pomidorowym
daje smak i zapach d¿inowi
pokój sto³owy
wiêkszy od milimetra
„... koni” – film z Robertem Redfordem
widziad³o, przywidzenie
zwierzê p³ci mêskiej
cz³owiek niedbaj¹cy o swój wygl¹d, wygody
tytu³ arystokratyczny we Francji,
W³oszech, Hiszpanii, poœredni
miêdzy hrabi¹ a ksiêciem
znany kompozytor i aran¿er,
skrzypek jazzowy
czas wyznaczony na wykonanie
jakiejœ czynnoœci
mo¿e byæ wody, gotówki
szabla samuraja
utwór muzyczny dla wojska
pude³ko u¿ywane dawniej do
przechowywania przyborów toaletowych
pisklê kury
●
●
●
1
8
2
3
4
5
6
7
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
okropnoϾ, koszmar
plakat
...Allan Poe (1809–1849), amerykañski poeta i pisarz, klasyk powieœci grozy
zniewaga
potocznie tlenek magnezu
urz¹d pañstwowy za granic¹, nie
ambasada
oficjalne zaprzeczenie lub sprostowanie jakiejœ wiadomoœci
z Oksfordem w parze
tam siê œpi
grupa, zgraja
teraz w monitorach najczêœciej LCD
g³ówne miasto prowincji Ontario
w Kanadzie
nie falsyfikat
pirat, kaper
Brigitte, s³ynna aktorka francuska
czynsz
wie, gdzie s¹ jakie góry, rzeki itp.
pude³eczko na bi¿uteriê
pakunek, zawini¹tko
tajniki, sekrety
brzydota
9
10
11
12
13
14
15
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
góry we W³oszech
sufit
Borys (1552–1605), car rosyjski,
równie¿ opera M. Musorgskiego
gatunek jab³ek na szarlotkê
w ¿eglarstwie – pó³ogniwo
w kszta³cie podkowy s³u¿¹ce do
³¹czenia lin
zboczenie
bardzo zaraŸliwa choroba czerwia
pszczelego
wiêksza od strumienia
np. dojrza³oœci
produkt destylacji ropy naftowej
sól kwasu siarkowego
pszenica, ¿yto, owies
filia, ekspozytura
„krwio¿erczy” owad uci¹¿liwy
w lecie
dychawica
ch³opek ...
zaopatruje sklep w towary
naczelny wódz Achajów pod Troj¹
lekarz
bezmocz
wymioty
16
17
18
19
20
21
22
SUDOKU
sudoku
Łamigłówka skła−
da się z kwadratu
9 na 9, który do−
datkowo podzielo−
ny jest na mniejsze
kwadraty (3x3).
W polach kwadra−
tu znajdują się już
cyfry. Całość nale−
ży uzupełnić cyfra−
mi od 1 do 9, tak
aby w każdym
wierszu, kolumnie
i w małym kwa−
dracie cyfry się nie
powtarzały.
Rozwiązując su−
doku zamieszczo−
ne obok, pamię−
taj o kilku waż−
nych zasadach.
1. Do określo−
nego miejsca
pasuje tylko
jedna jedyna
cyfra.
2. Nie wpisuj żad−
nej cyfry, jeśli
nie masz stu−
procentowej
pewności, że
jest to jedyne
możliwe miej−
sce.
sudoku
W tym miesiącu
do rozwiązania dla Was:
1
7
8
8
2
2
3
1
4
5
7
9
6
2
1
9
8
5
1
7
6
5
2
1
3
1
4
7
3
2
Poziom łatwy
4
6
8
8
3
5
6
2
1
8
8
1
2
7
4
8
9
5
7
8
2
5
2
5
1
6
6
9
9
8
6
3
5
Poziom średni
2
4
3
8
9
7
1
9
1
7
6
7
2
8
5
3
7
3
5
9
9
Poziom trudny
6
6
3
1
9
8
7
9
6
6
4
4
6
5
5
2
8
4
4
2
3
1
7
1
4