RACHUNEK PRAWDOPODOBIE´NSTWA I STATYSTYKA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA
MATEMATYCZNA
Lista nr 2
Zadania ze skryptu H. Jasiulewicz i W. Kordecki “Rachunek prawdopodobieństwa
i statystyka matematyczna”
1.2.14.
Dwie osoby maja̧ jednakowe prawdopodobieństwo przybycia na
dane miejsce w każdej chwili przedzialu czasu dlugości T. Obliczyć prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania jednej osoby na druga̧ bȩdzie nie dluższy
niż t (0 < t < T ).
1.2.16. Z kwadratu Ω = [0, 1] × [0, 1] wybieramy punkt o wspólrzȩdnych
(p, q). Jakie jest prawdopodobieństwo, że równanie x2 + px + q = 0 bȩdzie
mialo dwa pierwiastki zespolone ?
1.3.6. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Obliczyc prawdopodobieństwo
wyrzucenia wiȩcej niż trzech oczek na pierwszej kostce, jeśli wiadomo,że suma
liczby oczek na obu kostkach jest mniejsza od piȩciu.
1.3.8. W rodzinie jest czwórka dzieci. Prawdopodobieństwo, że dziecko jest
chlopcem wynosi 0.51. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w rodzinie jest
co najmniej jeden chlopiec. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wszystkie
dzieci sa̧ chlopcami, jeśli wiadomo, że w tej rodzinie jest co najmniej jeden
chlopiec.
1.3.9. Charakterystyka surowca przygotowanego do produkcji może znajdować siȩ w sześciu przedzialach z prawdopodobieństwami 0.09, 0.16, 0.25,
0.25, 0.16 i 0.09. W zależności od wlaściwości surowca prawdopodobieństwa
otrzymania produkcji pierwszego gatunku wynosza̧ odpowiednio 0.2, 0.3,
0.4,0.4,0.3 i 0.2. Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania produkcji pierwszego gatunku.
1.3.15. Pewna choroba wystȩpuje u 0.2% ogólu ludności. Przygotowano test
do jej wykrycia. Test daje wynik pozytywny u 97% chorych i 1% zdrowych.
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba jest chora, jeśli
test tej osoby dal wynik pozytywny.
1.3.18. Z trzech pracuja̧cych niezależnie elementów urza̧dzenia dwa zawiodly. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że zawiodly elementy pierwszy
i drugi, jeśli prawdopodobieństwa awarii elementów pierwszego, drugiego i
trzeciego sa̧ odpowiednio równe: p1 = 0.2, p2 = 0.4, p3 = 0.3.
1.2.22. Prawdopodobieństwo pojawienia siȩ zdarzenia A przynajmniej raz
przy czterech niezależnych doświadczeniach jest równe 0.59. Jakie jest prawdopodobieństwo pojawienia siȩ zdarzenia A przy jednym doświadczeniu, jeżeli
przy każdym doświadczeniu prawdopodobieństwo to jest takie samo.
2.1.1. Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja
0.5eax
dla x ≤ 1,
F (x) =  bx + 0.75 dla − 1 < x ≤ 2,

1
dla x > 2



jest dystrybuanta̧ pewnej zmiennej losowej X ? Przyjmuja̧c a = 0.5 oraz
b = 0.1 obliczyć:
a) P (1 ≤ X < 2),
b) P (0 ≤ X ≤ 1),
c) P (0.5 ≤ X ≤ 1.5),
d) P (−1 ≤ X < 3).
Zadania spoza skryptu:
1. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Rozpatrzmy trzy zdarzenia : A - suma
oczek jest parzysta, B - suma oczek jest mniejsza niż 4, C - suma oczek jest
podzielna przez 3. Czy zdarzenia A, B, C sa̧ wzajemnie niezależne?
2. Obserwujemy czas niezawodnej pracy k żarowek. Jak wygla̧da przestrzeń
zdarzeń elementarnych? Jak zdefiniować zmienna̧ losowa̧ opisuja̧ca̧ czas
pracy ukladów równoleglego i szeregowego zlożonych z k żarówek? Podać
przyklady innych zmiennych określonych na tej przestrzeni.
3. Samochód porusza siȩ po trasie, na której znajduja̧ siȩ 4 sygnaly świetlne,
dzialaja̧ce niezależnie od siebie. Każdy z nich zatrzymuje lub przepuszcza
samochód z prawdopodobieństwem p = 12 . Niech X oznacza liczbȩ sygnalów
miniȩtych przez samochód do momentu pierwszego zatrzymania. Znaleźć
rozklad zmiennej losowej X i narysować jej dystrybuantȩ.