TS I-st Pola wektorowe

Rozwiazanie
˛
równań stanu dla układów liniowych pola wektorowe
Przygotowanie: Dariusz Pazderski
1 Wprowadzenie
Rozważmy liniowe równanie stanu układu niesingularnego stacjonarnego o m wejściach:
ẋx = A x + B u ,
(1)
gdzie x ∈ Rn oraz u ∈ Rm określaja˛ odpowiednio wektory stanu i wejścia, A ∈ Rn×n określa
macierz układu, B ∈ Rn×m jest macierza˛ wejścia.
Zauważmy, że w każdym punkcie przestrzeni stanu x ∈ Rn określony jest wektor ẋx ∈ Rn
– zatem w przestrzeni stanu zdefiniowane jest pole wektorowe. Pole to określone w punkcie
przestrzeni stanu determinuje zmian˛e wektora stanu x ∈ Rn w otoczeniu tego punktu.
Poniżej przedstawionych zostanie kilka przykładów geometrycznej interpretacji pól wektorowych dla systemów dwuwymiarowych i układów autonomicznych (swobodnych) w postaci
x
ẋ1
(2)
=A 1 .
x2
ẋ2
2 Przykłady interpretacji graficznej rozwiazania
˛
rówania stanu
układów swobodnych
2.1 Przypadek pojedyńczych wartości własnych i układu stabilnego
Niech macierz układu ma postać:
0
1
.
A=
−2 −3
(3)
Dla tej macierzy znajdujemy dwie wartości własne λ1 = −1 oraz λ2 = −2, którym odpowiadaja˛
T
T
wektory własne v 1 = 1 −1 oraz v 2 = 1 −2 .
Obliczajac
˛ macierz fundamentalna˛ otrzymujemy:
−2t
−e + 2e−t −e−2t + e−t
A) =
.
(4)
exp (A
2e−2t − 2e−t 2e−2t − e−t
Na tej podstawie widzimy, że w rozwiazaniu
˛
równania stanu x (t) pojawiły dwa mody rozwiaza˛
nia: pierwszy exp (−t) skojarzony z wartościa˛ własna˛ λ1 , drugi exp (−2t) skojarzony z wartościa˛ własna˛ λ2 (zauważmy, że drugi mod jest modem szybciej zanikajacym).
˛
1
Zapiszmy rozwiazanie
˛
równania stanu (bez wymuszenia)
At) x 0 ,
x = exp (A
T
gdzie x 0 = x (0) = x01 x02 jest warunkiem poczatkowym.
˛
Otrzymujemy zatem:
(2x01 + x02 ) e−t − (x01 + x02 ) e−2t
x1
.
=
x2
(−2x01 − x02 ) e−t + 2 (x01 + x02 ) e−2t
Pochodne wektora stanu (czyli pola wektorowe) maja˛ wi˛ec postać nast˛epujac
˛ a:
˛
ẋ1
− (2x01 + x02 ) e−t + 2 (x01 + x02 ) e−2t
.
=
ẋ2
(2x01 + x02 ) e−t − 4 (x01 + x02 ) e−2t
(5)
(6)
(7)
Sprawdźmy teraz jakie kierunki w przestrzeni stanu pola wektorowe przyjmuja˛ w przypadkach granicznych:
ẋ2
lim = −1
(8)
t→∞ ẋ1
oraz
ẋ2
= −2.
(9)
lim
t→ −∞ ẋ1
Porównajmy teraz jakie kierunki wyznaczaja˛ wektory własne macierzy układu:
v22
v12
=
−1,
= −2
v11
v21
(10)
Z tego wynika, że dla t → ∞ kierunki pól wektorowych ẋx pokrywaja˛ si˛e z kierunkiem wyznaczanym przez wektor własny v1 , który odpowiada modowi wolniej zanikajacemu
˛
(λ = −1).
Z kolei w przypadku t → −∞ kierunki pól wektorowych ẋx pokrywaja˛ si˛e z kierunkiem wyznaczanym przez wektor własny v 2 . Z postaci (6) wynika, że rozwiazanie
˛
zmierza do punktu
równowagi (atraktora), czyli
lim x = 0.
(11)
t→∞
Stad
˛ wynika, że krzywe (trajektorie) x określone w przestrzeni stanu zmierzaja˛ do punktu
równowagi stycznie do osi, której kierunek wyznacza wektor v 1 .
Omawiany przypadek został zilustrowany na rys. 1. Zwróćmy uwag˛e, że punkt równowagi
jest stabilny - stad
˛ nosi on nazw˛e w˛ezła stabilnego.
2.2 Przypadek postaci diagonalnej
−1 0
A=
0 −2
(12)
2.3 Przypadek podwójnej wartości własnej (układ stabilny) - w˛ezeł stabilny
−1 1
, λ1,2 = −2
A=
−1 −3
2
(13)
x’=y
y’=−2x−3y
2
1.5
1
0.5
y
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
x
0.5
1
1.5
2
Rysunek 1: Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie dla stabilnego w˛ezła
x’=−x
y’=−2y
4
3
2
y
1
0
−1
−2
−3
−4
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
Rysunek 2: Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie dla przypadku, w którym macierz
układu jest diagonalna (w˛ezeł stabilny)
3
x’=−x+y
y’=−x−3y
4
3
2
y
1
0
−1
−2
−3
−4
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
Rysunek 3: Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie w˛ezła stabilnego (podwójna wartość
własna)
2.4 Przypadek pojedyńczych wartości własnych i układu niestabilnego
(jedna wartość własna leży w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej)
−2 1
, λ1 = 1, λ2 = −2
A=
0 1
(14)
2.5 Przypadek pojedyńczych wartości własnych i układu niestabilnego
(obie wartości własna leża˛ w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej)
0 1
, λ1 = 1, λ2 = 2
A=
−2 3
(15)
2.6 Przypadek pojedyńczej zerowej wartości własnej
−4 2
, λ1 = 0, λ2 = −5
A=
2 −1
4
(16)
x’=−2x+y
y’=y
4
3
2
y
1
0
−1
−2
−3
−4
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
Rysunek 4: Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie dla siodła
x’=y
y’=−2x+3y
4
3
2
y
1
0
−1
−2
−3
−4
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
Rysunek 5: Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie dla w˛ezła niestabilnego
5
x’=−4x+2y
y’=2x−y
4
3
2
y
1
0
−1
−2
−3
−4
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
Rysunek 6: Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie dla przypadku pojedynczej zerowej
wartości własnej (nieprzeliczalna liczba punktów równowagi)
2.7 Przypadek podwójnej zerowej wartości własnej
2 −1
, λ1,2 = 0
A=
4 −2
(17)
2.8 Przypadek zespolonych wartości własnych - ognisko stabilne (niestabilne)
2 −3
A=
, λ1,2 = −1 ± 3 j
6 −4
6
(18)
x’=2x−y
y’=4x−2y
4
3
2
y
1
0
−1
−2
−3
−4
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
Rysunek 7: Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie dla przypadku podwójnej zerowej
wartości własnej
x’=2x−3y
y’=6x−4y
4
3
2
y
1
0
−1
−2
−3
−4
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
Rysunek 8: Przestrzeń stanu - pole wektorowe i trajektorie dla przypadku zespolonych wartości
własnych
7