Twierdzenie o zamianie zmiennych w R Współrzędne walcowe i

Twierdzenie o zamianie zmiennych w
Współrzędne walcowe i sferyczne.
R
3
.
1. Podane obszary zapisać za pomocą współrzędnych walcowych:
(i) walec o promieniu r > 0, którego osią jest Oz, ograniczony płaszczyznami z = a, z = b,
gdzie a < b;
√
(ii) stożek ograniczony powierzchnią stożkową z = k x2 + y 2 oraz płaszczyzną z = a, gdzie
k > 0, a > 0;
(iii) bryła ograniczona powierzchnią paraboloidy obrotowej z = a(x2 + y 2 ) i płaszczyzną z = b,
gdzie a > 0, b > 0;
(iv) kula o środku w początku układu i promieniu r > 0.
2. Podane obszary zapisać za pomocą współrzędnych sferycznych:
(i) kula o środku w poczatku układu i promieniu r > 0;
(ii) czasza kulista ograniczona powierzchnią sfery x2 + y 2 + z 2 = r 2 i płaszczyzną z = a, gdzie
0 < a < r;
√
(iii) stożek ograniczony powierzchniami z = k x2 + y 2 , z = a, gdzie k > 0, a > 0;
(iv) kula o środku (r, 0, 0) i promieniu r > 0;
(v) kula o środku (0, r, 0) i promieniu r > 0;
(vi) kula o środku (0, 0, r) i promieniu r > 0;
(vii) górna półkula wydrążona o środku w poczatku układu, promieniu wewnętrznym r1 i prmomieniu zewnętrznym r2 , gdzie 0 < r1 < r2 ;
(viii) wycinek kuli o środku w poczatku układu i prmoeniu r ograniczony półpłaszczyznami przechodzącymi przez oś Oz i tworzącymi kąty α i β z dodatnią częścią osi Ox, gdzie 0 α < β < 2π
oraz r > 0;
(ix) walec ograniczony powierzchniami x2 + y 2 = r 2 , z = 0, z = h, gdzie r, h > 0.
3. Obliczyć całki
U
f (x, y, z) dxdydz (wykorzystując współrzedne walcowe), gdzie obszar U
jest ograniczony podanymi powoerzchniami:
(i) f (x, y, z) = x2 , U : z = 9 − x2 , z = 0;
√
(ii) f (x, y, z) = x2 + y 2 , U : z = 2 x2 + y 2, z = 8;
√
√
(iii) f (x, y, z) = z 2 , U : z = 8 − x2 − y 2, z = x2 + y 2;
(iv) f (x, y, z) = xyz, U : x2 + y 2 + z 2 = 4;
√
(v) f (x, y, z) = x2 + y 2 , U : z = x2 + y 2 , z = 1, z = 4;
(vi) f (x, y, z) = 1, U : z = x2 + y 2 , z = 4x.
4. Obliczyć całki
U
f (x, y, z) dxdydz (wykorzystując współrzedne sferyczne), gdzie obszar U
jest ograniczony podanymi powoerzchniami:
√
√
(i) f (x, y, z) = z 2 x2 + y 2 + z 2 , U : z = 4 − x2 − y 2 , z = 0;
Arkusz 1
(ii) f (x, y, z) =
1
,
x2 +y 2 +z 2
2
2
U: z=
√
√
1 − x2 − y 2 , z = 12 ;
√
9 − x2 − y 2 , z = x2 + y 2 ;
(iii) f (x, y, z) = x + y , U : z =
(iv) f (x, y, z) = √ 2 1 2 2 , U : x2 + y 2 + z 2 = 4, x2 + y 2 + z 2 = 16;
√ x +y +z
(v) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , U : x2 + y 2 + z 2 − z = 0;
(vi) f (x, y, z) = xyz, U : x2 + y 2 + z 2 = 4, x = 0, y = 0, z = 0 (I oktant);
√
(vii) f (x, y, z) = x2 + y 2, U : x2 + y 2 = 4, z = x2 + y 2 , z = 0.
sferyczne lub walcowe, obliczyć
5. Stosujac
twierdzenie o zamianie zmiennych na współrzedne
ace
całki:
nastepuj
√
(i) V x2 + y 2 + z 2 dxdydz, gdzie V ⊂ R3 ograniczony jest powierzchnia x2 + y 2 + z 2 = z,
√
(ii) V x2 + y 2 dxdydz, gdzie V ⊂ R3 ograniczony jest powierzchniami: x2 + y 2 = z 2 , z = 1,
x2
a2
y2
b2
z2
c2
x2
a2
2
2
+ yb2 + zc2 1}, a, b, c = 0,
√
(iv) V z dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < 1, x2 + y 2 < z}.
(iii)
V
1−
−
−
dxdydz, gdzie V = {(x, y, z) ∈ R3 :
Arkusz 2