Granice i pochodne funkcji

Granice i pochodne funkcji
Zad. 1:
Oblicz granice funkcji:
sin 4 x − sin 5 x
x→0
sin x
a) lim  x 2 + x − x 
x → ∞
d) lim
x →1
b) lim

x+3 −2
x −1
(
e) lim x + 1 − x
x →∞
)
x 3 − 3x − 2
x → 0 x 3 + x − 10
2 − 1 + cos x
f) lim
.
x →0
sin 2 x
c) lim
Zad. 2:
Zbadaj ciągłość podanej funkcji w punktach x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 3
0


1

f (x ) =  2
− x + 4 x − 2

4−x
dla
x<0
dla 0 ≤ x < 1
.
dla 1 ≤ x < 3
dla
x≥3
Zad. 3:
Dla jakich wartości parametru a podana funkcja jest ciągła?
 x 2 − 4x + 4

f (x ) =  x − 2

a
dla
x≠2.
dla
x=2
Zad. 4:
Wyprowadź wzory na pochodną funkcji y = sinx, y = ax + b, y = x , y =
a
.
x
Zad. 5:
Korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkcie, oblicz pochodną funkcji:
a) f ( x) = 3 − 2 x 2 w punkcie x 0 = - 1 ; b) f ( x ) = 2 x + 5 w punkcie x 0 = 2.
Zad. 6:
Oblicz pochodną funkcji:
a) f ( x) = (sin2x + x 2 )(cos2x + x) ;
b) f ( x) = 3
(2 x − 3)2 ;
2
2x − 4x + 3
c) f ( x) =
3 x 2 − 3x + 2
.
7x5 − x + 2
Zad. 7:
Dana jest funkcja y = x 2 + 8 . Udowodnij, Ŝe dla kaŜdego x funkcja ta spełnia warunek
y ⋅ y '− x = 0 .
Zad. 8:
Dana jest funkcja f ( x) =
1
. Oblicz pochodne funkcji f (x ) do rzędu czwartego włącznie.
1+ x
Na podstawie zauwaŜonych zaleŜności dokonaj uogólnienia zapisując wzór na n-tą pochodną
funkcji f (x ) .
72
Odp.:
f ' ( x) =
f ' ' ' ' ( x) =
(−1) ⋅ 1!
2
(−1) 2 ⋅ 2!
(−1) 3 ⋅ 3!
−6
−1
,
,
=
f
'
'
(
x
)
=
=
f
'
'
'
(
x
)
=
=
(1 + x) 2 (1 + x) 2
(1 + x) 3 (1 + x) 3
(1 + x) 4 (1 + x) 4
24
(−1) 4 ⋅ 4!
, f
=
(1 + x) 5
(1 + x) 5
( n)
( x) =
(−1) k ⋅ k!
gdzie x ∈ R \ {− 1}.
(1 + x) n +1
73