Literatura na temat estymacji parametrów na stronie internetowej

O GEOMETRII DWUWYMIAROWYCH ROZKŠADÓW STABILNYCH I JEJ TESTOWANIU
J.K. MISIEWICZ,
WYDZIAŠ MATEMATYKI I NAUK INFORMACYJNYCH
POLITECHNIKA WARSZAWSKA
Denicja 1. X jest stabilna je±li dla dowolnych a, b > 0
d
aX + bX 0 = cX + d.
Dla X symetrycznych mamy tylko dwa parametry, bowiem
ϕ(t) = EeitX = exp {−A|t|α } ,
gdzie A > 0 oraz α ∈ (0, 2].
Przy rozkªadach niesymetrycznych dochodz¡ jeszcze dwa parametry.
Nie mo»na estymowa¢ wprost g¦sto±ci.
Literatura na temat estymacji parametrów na stronie internetowej Johna Nolana - bardzo
bogata, ale zbie»no±¢ estymatorów do±¢ wolna.
Date : 10 grudnia 2009.
1
2
J.K. MISIEWICZ
Twierdzenie 1. Je±li (X, Y ) jest symetryczny α-stabilny, to istnieje sko«czona miara ν na R2 taka, »e
Eei(aX+bY )
½ Z
¾
Z
= exp − . . . |ax + by|α ν(dx, dy) ,
a, b ∈ R2.
R2
Miar¦ ν nazywamy (kanoniczn¡, je±li supp(ν) = S1 ) miar¡ spektraln¡ wektora (X, Y ).
Uwaga. Dla ka»dego a, b > 0 zmienna aX + bY ma rozkªad SαS z parametrem skali A:
Z
Aα (a, b) =
Z
...
|ax + by|α ν(dx, dy),
R2
wi¦c mo»emy estymowa¢ α(a, b) oraz A(a, b) na podstawie warto±ci z próby dla zmiennej aX + bY .
W szczególno±ci z próby (x1 , y1 ), . . . (xn , yn ) o rozkªadzie SαS mo»emy estymowa¢
α(1, 0), A(1, 0) na podstawie
α(0, 1), A(0, 1) na podstawie
α(1, 1), A(1, 1) na podstawie
x1, . . . , xn
y1, . . . , yn
x1 + y1, . . . , xn + yn.
Powinno by¢ α(a, b) = α dla ka»dego a, b > 0, ale estymatory zbiegaj¡ wolno!
O GEOMETRII DWUWYMIAROWYCH ROZKŠADÓW STABILNYCH I JEJ TESTOWANIU
Najprostsze przypadki:
• Wektory sub-gaussowskie - miara ν jest niezmiennicza na obroty
n
¡ 2
¢ o
i(aX+bY )
2 α/2
Ee
= exp −C a + b
.
exp(−(a2+b2)1/2)
Contour plot
4
3
0.8
2
0.6
1
0.4
0
b
1
−1
0.2
−2
4
2
4
2
0
0
−2
b
−4 −4
−2
a
−3
−4
−4
−2
0
a
2
4
Rysunek 1. Funkcja charakterystyczna sub-gaussowskiego (niezmienniczego na obroty) wektora Cauchyégo
3
4
J.K. MISIEWICZ
Subgaussowsko±¢ sprawdzamy badaj¡c czy niezale»ne s¡
µ
X
Y
√
,√
X2 + Y 2 X2 + Y 2
¶
oraz
√
X2 + Y 2
oraz czy wektor
µ
X
Y
√
,√
X2 + Y 2 X2 + Y 2
¶
ma rozkªad jednostajny na S1 .
Stabilno±¢, tzn. parametr α otrzymamy np. z estymacji parametru α/2 dla α/2-stabilnej zmiennej losowej
√
X2 + Y 2
W rozprawie doktorskiej Piotra Szyma«skiego znajdziemy estymacj¦ parametru α na podstawie caªej próby
(x1, y1), . . . (xn, yn) - proponowany estymator jest poprawionym estymatorem Zoªotariewa.
Stosowalno±¢ tylko dla rozkªadów stabilnych niezmienniczych na obroty
Literatura na temat estymacji parametrów rozkªadów stabilnych niezmienniczych na
obroty na stronie internetowej Johna Nolana
O GEOMETRII DWUWYMIAROWYCH ROZKŠADÓW STABILNYCH I JEJ TESTOWANIU
• Niezale»ne wspóªrz¦dne
Eei(aX+bY ) = exp {−C (|a|α + |b|α )} .
exp(−(|a|+|b|))
Contour plot
4
3
0.8
2
0.6
1
b
1
0.4
0
−1
0.2
−2
4
2
4
2
0
0
−2
b
−4 −4
−2
a
−3
−4
−4
−2
0
a
2
4
Rysunek 2. Funkcja charakterystyczna dwu-wymiarowego rozkªadu Cauchy'ego o niezale»nych wspóªrz¦dnych
W tym przypadku wystarczy przetestowa¢
niezale»no±¢ zmiennych X i Y
oraz stabilno±¢ form liniowych aX + bY .
5
6
J.K. MISIEWICZ
I to ju» koniec!
Inne rozkªady stabilne nie byªy badane!
Nie dlatego, »e nikt nie chciaª!
O GEOMETRII DWUWYMIAROWYCH ROZKŠADÓW STABILNYCH I JEJ TESTOWANIU
• Wektor α-tabilny mo»e by¢ β -substabilny dla pewnego 0 < α < β < 2.
Je±li
(X, Y ) = (Z, W ) Θ1/β
jest α-stabilny, je±li (Z, W ) jest β -stabilny, zmienna Θ jest dodatnia α/β -stabilna, (Z, W )⊥Θ.
Wtedy
Ee
i(aX+bY )
n
¡ β
¢ o
β α/β
= exp −C |a| + |b|
.
Poziomice funkcji charakterystycznej s¡ takie same jak poziomice funkcji charakterystycznej (Z, W ).
7
8
J.K. MISIEWICZ
exp(−(|a|3/2+|b|3/2)2/3)
Contour plot
4
1
3
0.8
2
1
b
0.6
0.4
0
−1
0.2
−2
4
2
4
2
0
0
−2
b
−4 −4
−2
a
−3
−4
−4
−2
0
a
2
4
Rysunek 3. Funkcja charakterystyczna dwuwymiarowego rozkªadu Cauchy'ego, który jest 3/2-substabilny
Niezale»ne s¡
µ
X
Y
√
,√
X2 + Y 2 X2 + Y 2
¶
µ
=
jednak wektor
nie ma rozkªadu jednostajnego na S1 .
µ
Z
W
√
,√
Z2 + W 2 Z2 + W 2
X
Y
√
,√
X2 + Y 2 X2 + Y 2
¶
¶
oraz
√
X 2 + Y 2 = Θ1/β ,
O GEOMETRII DWUWYMIAROWYCH ROZKŠADÓW STABILNYCH I JEJ TESTOWANIU
Dla β = 1 otrzymujemy, »e
X
√
X2 + Y 2
∼
(1 + u2) sgn(1 − 2u2) 1 − u2
ln
1(−1,1)(u).
π 2(1 − u2)(1 − 2u2)
u2
9
10
J.K. MISIEWICZ
• α-stabilne rozkªady `β -symetryczne dla beta > 2.
n
¡ β
¢ o
i(aX+bY )
β α/β
Ee
= exp −C |a| + |b|
.
Mo»liwe tylko dla wektorów dwuwymiarowych!
exp(−(|a|4+|b|4)1/4)
Contour plot
4
3
1
2
0.8
1
b
0.6
0
0.4
−1
0.2
−2
4
2
4
2
0
0
−2
b
−4 −4
−2
a
−3
−4
−4
−2
0
a
2
4
Rysunek 4. Funkcja charakterystyczna dwuwymiarowego `4 -symetrycznego rozkªadu Cauchy'ego
O GEOMETRII DWUWYMIAROWYCH ROZKŠADÓW STABILNYCH I JEJ TESTOWANIU
Tutaj
µ
Y
X
√
,√
X2 + Y 2 X2 + Y 2
¶
oraz
√
X 2 + Y 2,
nie s¡ niezale»ne a wektor
µ
nie ma rozkªadu jednostajnego na S1 .
X
Y
√
,√
X2 + Y 2 X2 + Y 2
¶
11