1. Najwa»niejsze rozkªady prawdopodobie«stwa 2. Funkcja

GE
STO‘‚ PRAWDOPODOBIE‹STWA
1.
Najwa»niejsze rozkªady prawdopodobie«stwa
G¦sto±¢ rozkªadu wykªadniczego o parametrze λ > 0, wyra»a si¦ wzorem:
(
λe−λx , dla x > 0
f (x) =
0,
dla x ≤ 0
(1)
Inne cz¦sto spotykane rozkªady:
1
2
f (x) = φ0 (x) = √ e−x /2 ,
2π
k
λ −λ
f (k) =
e ,
k!
(2)
(3)
gdzie funkcja (2) deniuje rozkªad normalny standardowy, a funkcja (3) rozklad Poissona.
Warto±¢ oczekiwana dla rozkªadu danego wzorem (2) jest równa:
1
x̂ = E(x) = √
2π
Z
∞
−∞
xe−x
2 /2
dx = 0.
(4)
Wariancja dla rozkªadu (2):
σ
2
=
=
2.
Z ∞
1
2
√
x2 e−x /2 dx
2π −∞
h
Z ∞
i∞
1
−x2 /2
−x2 /2
√
−xe
+
e
dx = 1.
−∞
2π
−∞
(5)
Funkcja charakterystyczna rozkªadu
Funkcja charakterystyczna jest zdeniowana jako warto±¢ oczekiwana wyra»enia exp(itx):
Z
∞
ϕ(t) =
−∞
exp(itx)f (x)dx
(6)
Dowolne momenty λn mo»na uzyska¢ poprzez n-krotne ró»niczkowanie funkcji ϕ(t) w punkcie t = 0:
Z ∞
dn ϕ(t) n
n
ϕ(n) (t)
=
=
i
x
exp(
i
tx)f
(x)
d
x
(7)
= in λ n
dtn t=0
t=0
t=0
−∞
Dla zmiennych losowych typu dyskretnego zamiast caªki jest suma. Przykªadowo dla rozkªadu Poissona:
∞
∞
X
X
λk
(λ exp(it))k
ϕ(t) =
exp(itk) exp(−λ) = exp(−λ)
k=0
k!
k=0
= exp(−λ) exp(λeit ) = exp{λ(eit − 1)}.
1
k!
(8)