Lista 3 Wykazać, że 1. każdy odcinek zawiera nieskończenie wiele

Lista 3
Wykazać, że
1. każdy odcinek zawiera nieskończenie wiele punktów;
2. na to, aby punkty A, B ∈ Π były rozdzielone prostą l potrzeba i wystarcza, aby odcinek [A, B] miał dokładnie jeden punkt wewnętrzny
wspólny z l;
3. jeśli A, B, C są zadanymi punktami na płaszczyźnie Π i l prostą leżącą na niej i niezawierającą żadnego z tych punktów, to jeśli prosta l
przecina odcinek [A, B], to przecina ona tylko jeden z odcinków [B, C],
[A, C];
4. półpłaszczyzna jest zbiorem wypukłym;
5. każda podprzestrzeń dwuwymiarowa V2 przestrzeni V3 wymiaru 3 rozdziela zbiór V3 \ V2 na dwa rozłączne obszary wektorowe i rozkład ten
jest jednoznaczny;
−
−
−
−
−
Wsk. Niech V2 = {→
p;→
q } i V3 = {→
p;→
q;→
w }, definiujemy obszary
→
−
→
−
→
−
−
wektorowe Ω1 = {α p + β q + γ w : α, β ∈ R, γ > 0}, Ω2 = {α→
p +
→
−
→
−
β q + γ w : α, β ∈ R, γ < 0}.
6. każda płaszczyzna Π w V3 wyznacza jednoznaczny rozkład punktów
V3 \ Π na dwa zbiory rozłączne i wypukłe;
→
−
−
−
7. 0 ⊥ →
a dla dowolnego wektora →
a;
→
− −
−
−
−
−
−
8. jeśli →
w 6= 0 i →
w ∈ E2 , to istnieje taki wektor →
v ⊥→
w , że E2 = {→
w; →
v };
−
9. jeśli wektor →
a należy do dwuwymiarowej podprzestrzeni E2 przestrzeni
→
− −
→
−
→
− −
−
E3 , to istnieją takie wektory b i →
c , że b ∈ E2 i →
a , b,→
c tworzą układ
ortogonalny wektorów;
10. jeśli podprzestrzenie Ek , El przestrzeni E3 są słabo ortogonalne oraz
k + l ≤ 3, to są ortogonalne;
11. jeśli Ek ⊥ El , to Ek 6= El oraz Ek nie jest podzbiorem El ;
12. jeśli proste l, l0 są ortogonalne, to nie są równoległe;
13. jeśli prosta l jest ortogonalna do płaszczyzny Π, to przecina ja w dokładnie jednym punkcie;
14. przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna prosta ortogonalna do
zadanej płaszczyzny;
15. jeśli prosta l jest ortogonalna do płaszczyzny Π i równoległa do płaszczyzny Π0 , to Π i Π0 są słabo ortogonalne;