Kolokwium z Optymalizacji I

Kolokwium z Optymalizacji I
12 maja 2016
Do zaliczenia kolokwium jest wymagane uzyskanie 20 punktów. Na rozwiązywanie czterech poniższych zadań mają Państwo czas do godziny 11:45.
Zadanie 1 (10 punktów) Producent wody mineralnej w okresie od maja
do września zwiększa produkcję i w związku z tym wynajmuje dodatkową powierzchnię magazynową. W kolejnych miesiącach zapotrzebowanie przedstawia
się następująco (w metrach kwadratowych):
maj czerwiec lipiec sierpień wrzesień
900
1100
1500
1600
1000
Cena za wynajem 100 metrów kwadratowych powierzchni magazynowej zależy od liczby miesięcy wynajmu
1 miesiąc 2 miesiące 3 miesiące 4 miesiące 5 miesięcy
5000
4700
4300
4100
3900
Przykładowa strategia wynajmu to wynajęcie 900 metrów na okres pięciu
miesięcy, następnie dodatkowych 200 metrów na okres od czerwca do sierpnia,
kolejnych 400 metrów na lipiec i sierpień, kolejnych 100 metrów na sierpień i kolejnych 100 metrów na wrzesień. Razem dawałoby to 5 oddzielnych kontraktów
na kwotę
9 · 3900 · 5 + 2 · 4300 · 3 + 4 · 4700 · 2 + 1 · 5000 · 1 + 1 · 5000 · 1 = 248900
W ten sposób producent wynająłby dokładnie potrzebny metraż, ale istnieje
możliwość, że mógłby nieco oszczędzić wybierając inną kombinację kontraktów. Pomóż producentowi wybrać najtańszy zestaw kontraktów, układając odpowiedni program liniowy (rozwiązywanie tego problemu nie jest wymagane).
Wynajmowanie zbytecznej powierzchni jest dopuszczalne, o ile w ogólnym rozliczeniu prowadzi do oszczędności.
Zadanie 2 (10 punktów) Niech P będzie problemem
max
x2
− x1 + x2 ≤ 1
x1
≤3
x1 + x2 ≤ 5
x1 , x2 ≥ 0
1. Zapisz problem P w postaci równościowej.
2. Zrób rysunek wielościanu zadanego przez nierówności w problemie P . W
każdym z rogów wielościanu wskaż bazę, która odpowiada temu rogowi
oraz wartości zmiennych znajdujących się w bazie.
1
Zadanie 3 (10 + 5 punktów) Niech P będzie problemem
max
x2
− x1 + x2 ≤ 0
x1
≤3
− x1 + 2x2 ≤ 2
x1 , x2 ≥ 0
1. Zrób rysunek wielościanu W zadanego przez nierówności w problemie P ,
2. Rozwiąż problem P posługując się metodą sympleks zaczynając od rogu
(0, 0) w wielościanie W . Zaznacz na wielościanie W kolejne kroki metody
sympleks. W każdym kroku należy także zaznaczyć, która zmienna jest
wchodząca, a która wychodząca.
W powyższym zadaniu można uzyskać dodatkowe 5 punktów za posłużenie
się metodą perturbacji.
Zadanie 4 (10 punktów) Niech P będzie problemem
max 3x1 + 2x2 + 3x3
x1 + 2x2
≤1
x1 + x2 + x3 ≤ 2
x1 , x2 , x3 ≥ 0
Rozwiąż problem P posługując się metodą sympleks. Zakładamy, że metoda
sympleks zaczyna działanie w punkcie (0, 0, 0). W każdym kroku należy zaznaczyć, która zmienna jest wchodząca, a która wychodząca.
2
Rozwiązania
Zadanie 1
min
5000x11
x11
+
+
9400x12
x12
x12
+
+
+
12900x13
x13
x13
x13
+
+
+
+
16400x14
x14
x14
x14
x14
+
+
+
+
+
19500x15 +
x15
x15 +
x15
x15
x15
x11 , x12 , x13 , x14 , x15 , x21 , x22 , x23 , x24 , x31 , x32 , x33 , x41 , x42 , x51 ≥ 0
5000x21
+
9400x22
+
12900x23
+
16400x24
x21
+
+
x22
x22
+
+
+
x23
x23
x23
+
+
+
+
x24
x24
x24
x24
Zadanie 4
x4 = 1 − x1 − 2x2
x5 = 2 − x1 − x2 − x3
z = 0 + 3x1 + 2x2 + 3x3
Entering: x1 . Leaving: x4 .
x4 = 1 − x1 − 2x2
x5 = 2 − x1 − x2 − x3
z = 0 + 3x1 + 2x2 + 3x3
x1 = 1 − x4 − 2x2
x5 = 1 + x4 + x2 − x3
z = 3 − 3x4 − 4x2 + 3x3
Entering: x3 . Leaving: x5 .
x1 = 1 − x4 − 2x2
x5 = 1 + x4 + x2 − x3
z = 3 − 3x4 − 4x2 + 3x3
x1 = 1 − x4 − 2x2
x3 = 1 + x4 + x2 − x5
− x2 − 3x5
z=6
Wartość optymalna: 6. Rozwiązanie optymalne: (1, 0, 1).
3
+
5000x31
+
9400x32
+
x31
+
+
x32
x32