Materiały do laboratorium Projektowanie w systemach CAD

Materiały do laboratorium Projektowanie w systemach CAD-CAM-CAE
Opracowanie: dr inŜ. Jolanta Zimmerman
1. Wprowadzenie do metody elementów skończonych
Przebieg zjawisk fizycznych, działanie rzeczywistych obiektów, procesów
technologicznych sprawdza się często na modelach tych zjawisk lub procesów. Pozwala to
uniknąć kosztownych, a czasami trudnych lub niemoŜliwych do przeprowadzenia prób
eksperymentalnych i znacznie przyspiesza dochodzenie do ostatecznych rozwiązań. Gdy
chcemy otrzymać zagadnienia ilościowe, tworzymy matematyczny opis dla modelowanego
problemu. Wynikiem matematycznego modelowania jest zazwyczaj układ równań
(najczęściej róŜniczkowych) opisujących dane zjawisko lub proces. Równania te oparte są na
podstawowych prawach – zasadach zachowania (energii, pędu, masy). W większości realnych
technicznie zagadnień brak jest ścisłych, analitycznych rozwiązań tych równań. Powodem jest
konieczność uwzględnienia wielu czynników: złoŜonego kształtu badanych obiektów,
złoŜonych właściwości (nieliniowość materiału, anizotropia), złoŜoności obciąŜenia. W tych
przypadkach moŜliwe jest jedynie uzyskanie równań przybliŜonych. Rozwiązania
numeryczne, dzięki wykorzystaniu szybko rozwijających się technik komputerowych,
umoŜliwiają rozwiązywanie z duŜą dokładnością złoŜonych problemów. Metoda elementów
skończonych jest jedną z metod numerycznych często wykorzystywanych do rozwiązań
róŜnorodnych zagadnień inŜynierskich. Metoda ta pozwala na określenie pewnych wielkości
fizycznych takich jak: pól napręŜeń w elementach wywołanych przyłoŜonym obciąŜeniem,
amplitudy drgań, prędkości przepływu płynu, zmian temperatury w czasie nagrzewania
materiału, itp.
Metoda elementów skończonych wykorzystuje koncepcję dyskretyzacji fizycznej
ośrodka ciągłego. Polega ona na podziale rozwaŜanego kontinuum o objętości (V) i brzegu
(S) na skończoną liczbę części (elementów) , połączonych w punktach zwanych węzłami
(Rys.1). Proces dyskretyzacji (utworzenia siatki elementów rozpiętych na węzłach) umoŜliwia
na przejście od problemu zawierającego nieskończoną liczbę stopni swobody do problemu
zawierającego skończoną liczbę stopni swobody, co daje moŜliwość uzyskania rozwiązania w
rozpatrywanym obszarze.
Rys. 1 Dyskretyzacja ośrodka ciągłego
Rozpatrujemy n.p. ciało o skończonym kształcie i objętości V, podparte na brzegu Su,
poddane obciąŜeniu ciśnieniem na brzegu Sp. W odpowiedzi na działanie tych czynników w
materiale powstają reakcje: przemieszczenia, odkształcenia, napręŜenia. Stosowanie MES w
mechanice konstrukcji obejmuje następujące etapy w warunkach pól przemieszczeń:
a)
b)
c)
d)
e)
zbudowanie modelu geometrycznego i utworzeniu siatki elementów ,
przyjęcie funkcji interpolacyjnej, (zwanej funkcją kształtu zwykle w postaci
wielomianu), która aproksymuje rozkład poszukiwanych przemieszczeń w obrębie
elementu skończonego poprzez wartości przemieszczeń w węzłach tego elementu,
zdefiniowanie zaleŜności między akcjami i reakcjami,
* sformułowanie równań równowagi,
* określenie związków geometrycznych między odkształceniami i przemieszczeniami,
zapewniających, Ŝe sąsiednie części ciała nie zachodzą na siebie i nie rozchodzą się),
*sformułowanie
równań
konstytutywnych
określających
związki
miedzy
odkształceniami i napręŜeniami, które opisują teŜ właściwości materiałowe ośrodka,
ustalenie warunków brzegowych przemieszczeniowych (podparcie) i napręŜeniowych
(obciąŜenie zewnętrzne) dla rozwaŜanego zagadnienia,
rozwiązanie układu równań dla elementów.
Podstawową metodą stosowaną w MES do rozwiązania elementu jest metoda RayleighRitza, wykorzystująca metodę energetyczną (wariacyjną) do minimalizacji funkcjonału
względem poszukiwanego w rozwaŜanym przypadku przemieszczenia. Funkcjonał dla
analizowanego zadania przedstawia energię potencjalną ciała będącego w równowadze.
Metoda ta prowadzi do uzyskania równań elementu w postaci:
[K ee ]{u} = {Pe }
(1.1)
gdzie:
[K ee ] - macierz sztywności elementu
{u}- wektor przemieszczeń w węzłach
{Pe } - wektor sił węzłowych elementu
f) złoŜenie równań sztywności dla całej struktury,
[K ]{u} = {F }
(1.2)
gdzie:
M
[K ] = ∑ [K ee ] - globalna macierz sztywności struktury
1
M - całkowita liczba elementów w strukturze
{F } - wektor globalny obciąŜeń węzłowych
g) wyznaczenie poszukiwanych wielkości;
Formuła (1.2) przedstawia układ równań algebraicznych, w których liczba równań jest
równa liczbie poszukiwanych przemieszczeń. Do wyznaczenia przemieszczeń stosowana
jest n.p. metoda inwersji macierzy:
{u} = [K ]−1{F }
(1.3)
Odkształcenia uzyskamy przez podstawienie obliczonych przemieszczeń do równań
geometrycznych (2.2), a napręŜenia przez podstawienie wyznaczonych odkształceń do
związków konstytutywnych (2.3).
h) interpretację wyników;
Wyniki otrzymane z obliczeń MES są dostępne z reguły postaci liczb, którymi są
poszukiwane wielkości w węzłach i elementach. Obliczenia mogą być przedstawiane
w postaci graficznej n.p. w postaci pasm reprezentujących linie stałego napręŜenia. Są one
bardzo przydatne w analizie obliczeń, wskazują n.p. obszary koncentracji napręŜeń.
2
Posługując się profesjonalnymi programami MES naleŜy:
• określić rodzaj zadania jako: płaskie, osiowo-symetryczne, przestrzenne,
• zdefiniować model geometryczny (przy skomplikowanej geometrii moŜliwy jest
transport geometrii z programów CAD),
• wykonać podział na elementy skończone (waŜne jest zagęszczenie siatki w obszarach,
gdzie spodziewana jest koncentracja napręŜeń),
• zdefiniować właściwości mechaniczne i fizyczne materiałów, z których wykonana jest
konstrukcja,
• podać warunki brzegowe (miejsce podparcia i obciąŜenia),
• ustalić parametry obliczeń (n.p. ilość kroków obliczeniowych, gdy rozpatrywane
zagadnienie jest nieliniowe),
• dokonać analizy wyników obliczeń.
Pozostałe etapy obliczeń wykonywane są automatycznie przez program komputerowy.
Przykładowe profesjonalne programy MES: ANSYS, ADINA, CATIA, COSMOS – uŜywane
do obliczeń wytrzymałościowych elementów konstrukcji, zagadnień cieplnych, przepływów
oraz: AUTODYNA, LSDYNA - uŜywane w przypadku duŜych odkształceń i przemieszczeń
n.p. symulacji zderzeń (crash testów), procesów obróbki plastycznej.
Dostępne są przykłady rozwiązań n.p. na stronie http://www.adina.com/
2. Obliczanie pól napręŜeń i odkształceń w połączeniu spawanym
2.1 Model fizyczny
Celem ćwiczenia jest obliczenie rozkładów pól napręŜeń i odkształceń w spoinie łączącej
wysięgnik z płytą. Konstrukcja obciąŜona jest siłą F= 4000 (3800; 3500 )N, geometrię
połączenia przedstawiono na Rys.2.1.
Rys.2.1 Geometria połączenia spawanego
2.2 Modelowanie matematyczne
3
Dla modelowanego zagadnienia wychodzimy z:
• równań równowagi,
które z pominięciem sił masowych mają postać (zapis w konwencji sumacyjnej)
∆σ ij , j = 0
(2.1)
gdzie: i, j = x, y, z
Równania (1) mówią, Ŝe wszystkie działające siły wewnętrzne (napręŜenia) i zewnętrzne
(obciąŜenia) są w równowadze.
Układ równań (1) moŜna zapisać w postaci:
∂σ xx ∂σ xy ∂σ xz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∂σ yy ∂σ yx ∂σ yz
+
+
=0
(2.1a)
∂y
∂x
∂z
∂σ zz ∂σ zx ∂σ zy
+
+
=0
∂z
∂x
∂y
• warunków zgodności o charakterze geometrycznym:
∆ε ij = 1 2 (∆u i , j + ∆u j , i )
(2.2)
Równania (2) wiąŜą stan odkształcenia ze stanem przemieszczeń w sposób zapewniający
zgodność, tzn. zapewniają, Ŝe sąsiednie części ciała nie rozchodzą się i nie zachodzą na
siebie.
• związków konstytutywnych (zaleŜności pomiędzy odkształceniami i napręŜeniami dla
materiałów spręŜysto-plastycznych ):
e
p
∆ε ij = Cijkl
− Cijkl
∆σ kl
(2.3)
[
]
S ij S kl
- funkcja tensorowa
4 2
σi H
9
3
plastycznych podatności materiałowych, zaleŜna równieŜ od stanu napręŜenia, σ i =
Sij Sij ,
2
dσ
Sij , S kl - dewiator napręŜenia, H =
- moduł plastyczności przy liniowym wzmocnieniu,
dε p
Warunki brzegowe dla tego zagadnienia:
e
p
gdzie: Cijkl
- tensor spręŜystych podatności materiałowych, Cijkl
=
Fi = FX
Fi = FY
P1 ;
ui = u zx = 0
C
P2
zadane obciąŜenie
ui = uYZ = 0
B
warunki utwierdzenia
(2.4)
(2.5)
Rozwiązanie układu równań opisanych związkami (2.1÷2.3) z warunkami brzegowymi
(2.4÷2.6) będzie przeprowadzone metodą numeryczną z wykorzystaniem programu metody
elementów skończonych – system ADINA8.3.1
4
2.3 Model MES
Rys. 2.2 Siatka MES z zaznaczonymi warunkami brzegowymi
Zadanie jest rozwiązywane jako przestrzenne. Geometrię modelu naleŜy wykreować w
programie SolidWorks , zapisując w formacie parasolid. Na przetransportowanej geometrii
rozpinamy siatkę MES zbudowaną z elementów czterowęzłowych 3D.
2.4 Model materiału
Przyjęto spręŜysto- plastyczny model materiału, poniewaŜ w końcowych kraterach spoiny
moŜe zostać przekroczona granica plastyczności. Przyjęty do obliczeń model materiału
opracowano na podstawie próby rozciągania dla stali St3S (Rys.2.3).
Rys.2.3 Przyjęta do obliczeń krzywa rozciągania dla St3S
2.5 Wyniki obliczeń
W sprawozdaniu naleŜy zamieścić dane o modelu numerycznym oraz wyniki obliczeń :
•
•
wykres napręŜeń zredukowanych wzdłuŜ długości spoiny, na podstawie obliczeń
numerycznych oraz porównać je z obliczeniami inŜynierskimi,
zamieścić rozkłady napręŜeń zredukowanych w spoinie i w wysięgniku w postaci pasm.
5