11. Złożone problemy kwantowomechaniczne: oscylator
Transkrypt
11. Złożone problemy kwantowomechaniczne: oscylator
11. Złożone problemy kwantowomechaniczne: oscylator harmoniczny i atom wodoru. Ćw. 11.1. Udowodnij że nieunormowane funkcje własne oscylatora harmonicznego mają postać: Ψn (ξ) = C exp −ξ 2 Hn (ξ) 2 (1) gdzie Hn są wielomianami Hermite’a. Wskazówka: Skorzystaj z wyprowadzenia z książki R.Kosiński ”Wprowadzenie do mechaniki kwantowej i fizyki statystycznej”, rozdział 4.5: po wprowadzeniu zmiennych bezwymiarowych wyznacz rozwiązanie asymptotyczne, a następnie wykaż, że rozwiązanie w postaci nieskończonego szeregu potęgowego jest rozbieżne. Z tego wynika że szereg musi być skończony (wielomian Hermite’a). Odp.: Ćw. 11.2. Wyznacz średnią, odchylenie standardowe (rozmycie) i najbardziej prawdopodobną odległość elektronu od jądra w stanie 1s atomu wodoru. Wskazówka: Rozwiązanie dla części radialnej atomu wodoru to funkcja R(r). średnia wartość dowolnej funkcji we współrzędnych radialnych w stanie kwantowym opisanym funkcją R(r) musi być scałkowana po objętości: Z ∞ hf (r)i = f (r) · |R(r)|2 4πr2 dr. (2) 0 gdzie 4πr2 dr jest elementem objętości zaś |R(r)|2 -gęstości prawdopodobieństwa. Zwróć uwagę że 4πr2 pełni rolę funkcji gęstości stanów, ponieważ wprawdzie ze wzrostem r maleje moduł funkcji falowej, za to rośnie obszar ze względu na symetrię sferyczną (por np pole powierzchni nadmuchiwanego balonika). W związku z tym element całkowania jak najbardziej należy do całkowitej gęstości prawdopodobieństwa. Odchylenie standardowe położenia wylicza się ze wzoru: (∆r)2 = hr2 i − hri2 , zaś najbardziej prawdopodobna odległość od2 2 powiada wartości r = rmin dla której zeruje się pochodna funkcji g(r) = |R(r)| 4πr . Funkcja falowa elektronu w stanie 1s to r 1 Ψ100 = R1 (r) = A exp − , za r1 to promień I orbity Bohra. , gdzie A2 = r1 πr13 3 Odp.: hri = r1 , rmax = r1 , ∆r = 0.85r1 . 2 Ćw. 11.3. Znaleźć natężenie pola elektrycznego i potencjał elektrostatyczny w funkcji odległości r od atomu wodoru pochodzące od elektronu w stacjonarnym stanie kwantowym Ψ100 . Wskazówka: Gęstość ładunku wyrazić przez |Ψ|2 i skorzystać z prawa Gaussa. Ładunek elementarny oznaczony jest eel Skorzystać z tego, że: 1. Z 2 ax ax x e dx = e x2 2x 2 − 2 + 3 a a a (3) 2. 2r − 2r ∂ 1 −r 2 1 e 1 e r1 = − 2 + ∂r r r r1 r (4) Odp.: 1. E(r) = − 2r − 1 eel 1 2 2 1 r 1 + e e + + el 4π0 r2 4π0 r12 r1 r r2 (5) 2. Z V (r) = − 1 eel E(r)dr = − + eel 4π0 r 2r 1 1 −r − e 1 r1 r (6) Ćw. 11.4. Udowodnij że rozmycie położenia i pędu dla elektronu w stanie 1s jest zgodne z zasadą nieoznaczoności Heisenberga. Wskazówka: Korzystamy z wyników zadania 11.2, gdzie wyznaczone jest rozmycie położenia. W sposób analogiczny wyznaczamy średnią wartość pędu oraz kwadratu pędu w stanie 1s. Operator pędu to gradient we współrzędnych sferycznych, jednakże przy ∂ braku zależności od kąta redukuje się on do składowej pr : pe = −ih̄∇ = −ih̄ . Analogicznie do 11.2 (∆p)2 = hp2 i − hpi2 ∂r Odp.: h̄ ∂ . i ∂ϕ Wskazówka: Po wyznaczeniu funkcji własnej należy nałożyć na nią warunek okresowości z okresem 2π. Oznacza to że funkcja falowa po obrocie o wπ względem osi z nie zmienia się. Odp.: F-cje własne: Φ(ϕ)n = Ceimϕ , wartości własne: mh̄, m ∈ Z . bz = Ćw. 11.5. Wyznacz wartości wasne i wektory własne dla operatora Lz rzutu momentu pędu na oś z, danego wzorem: L 12. Fizyka statystyczna. Ćw. 12.1. Wyznacz przestrzeń fazową rzutu dwiema kostkami. Wyznacz entropię wszystkich makrostanów zdefiniowanych przez operator (formalnie: funkcję zmiennej losowej) A(x) := s1 + s2 ( zwraca sumę wyrzuconych oczek). Wyznacz wartość oczekiwaną tego operatora zakładając równomierny rozkład wyników rzutu kostką. Wyznacz entropię każdego makrostanu i wskaż stan stacjonarny. Pokaż że entropia jest addytywna: entropia rzutu dwoma kostkami to suma entropii rzutu 1 kostką i entropii rzutu drugą kostką. Odp.: Ćw. 12.2 Układ zdefiniowany w ćwiczeniu 12.1 został zrealizowany w funkcji czasu: co czas ∆t nast ępuje rzut dwiema kostkami. Oszacuj fluktuacje wokół wartości średniej jakich doznaje przy kolejnych rzutach wartość operatora A z ćwiczenia 12.1. Wyznacz odchylenie średnie standardowe oraz względny błąd (odchylenie standardowe / wartość średnia) w procentach. Ile wynosi błąd względny przy rzucie 1 kostką. Jak zmienił się błąd względny w wyniku dodania następnej kostki. Jak zmieni się w wyniku dodania jeszcze jednej kostki. Dla chętnych: w jaki sposób błąd względny zależy od liczby kostek (wyliczyć numerycznie lub analitycznie). Odp.: Ćw. 12.3. Wyznacz średnią energię U układu, złożonego z N czastek które mogą znajdować się w jednym z dwóch sta∂U nów energetycznych: ±ε. Wyznacz ciepło właściwe jako ∂T Odp.: E = −N εtgh ε . kT Ćw. 12.4. Wyznacz i narysuj entropię układu w funkcji energii. Przedyskutuj (=opisz i zinterpretuj) zachowanie temperatury układu w funkcji energii. Jakiej temperaturze odpowiadają stany E = −M i E = +M a jakiej E = 0. Jakim temperaturom odpowiadają stany inwersji obsadzeń: kiedy p(+) > p(−) Wskazówka: Energia jest równa M . Temperatura jest z definicji ∂S odwrotnością pochodnej . ∂E <V >S Odp.: p(t) = p0 1 − exp − t 4V Ćw. 12.5. Wyznacz magnetyzację paramagnetyka złożonego z N nieoddziałujących spinów, których momenty magnetyczne wynoszą µ w polu zewntrznym o indukcji B. Czy w tym układzie możliwe jest zrealizowanie inwersji obsadzeń przy pomocy zmian pola B. Czy w tym modelu paramagnetyzmu widoczne jest przejście fazowe paramagnetyk-ferromagnetyk przy obniżaniu temperatury poniżej temperatury Curie (def → Wikipedia). Wskazówka: Energia potencjalna spinu względem pola zewntrznego wynosi U = ±µB - jest to układ z dwoma stanami energetycznymi. Odp.: