Wstęp do metod numerycznych

Kraków, 25.01.2016
Wstęp do metod numerycznych
Zestaw 6 na 27.01.2016
1. Całkowanie numeryczne. Wyprowadzić wzór trapezów, Simpsona i regułę
3/8. Jakie są błędy tych metod?
2. Jak zmienia się błąd przy podzieleniu przedziału całkowania na 2 równe
podprzedziały?
Jak zmienia się błąd przy podzieleniu przedziału całkowania na n równych
podprzedziałów?
N18 Obliczyć całkę
Z
1
−1
ex dx
√
1 − x2
−6
z dokładnością do 10 za pomocą złożonej metody trapezów, Simpsona
i reguły 3/8, stosując iteracyjne zagęszczanie podprzedziałów.
Uwaga: za liczenie dwukrotnie (lub więcej) wartości funkcji w obrębie
jednej metody przy zagęszczaniu będą odejmowane punkty.
Wskazówka: zmienić zmienne tak aby pozbyć się nieskończoności na brzegach przedziału.
3. Pokazać, że
Z
π
cos(nx) cos(mx) dx =
0
π
δnm (1 − δ0n ) + πδnm δn0 .
2
4. Korzystając z wyniku poprzedniego zadania znaleźć szereg Fouriera opisujący funkcje oresowe z okresem 2π dane wzorami (dla x ∈ (−π, π]):
(
1 dla |x| ≤ π/2
f1 (x) =
0 dla |x| > π/2
x
f2 (x) = 1 − ,
π
f3 (x) = < exp eix .
5. Obliczyć
Z
0
1
Tn (x)Tm (x)
√
dx
1 − x2
gdzie Tn (x) oznacza wielomiany Chebysheva.
1
N19 Korzystając z szybkiej transformaty Fouriera (np. DCT-II z biblioteki
FFTW) oblicz współczynniki rozkładu funkcji
f (x) =
N
X
1
=
cn T Ln (x)
1 + x2
n=0
w bazie wielomianów Chebysheva dla przedziału x ∈ [0, ∞) oraz N = 200.
Wskazówka: wprowadzając zmienną
r x
t = 2arc cot
L
zamieniamy T Ln (x) = cos(nt).
• Narysować współczynniki w skali logarytmicznej (n, log |cn |). Jak
duże N można wziąć?
• Obliczyć pochodną
g(x) = df /dx
w każdym z punktów interpolacyjnych, narysować wykres i porównać
z wartościami dokładnymi.
• Obliczyć całkę
Z
h(x) =
x
dx0 f (x0 )
0
w każdym z punktów interpolacyjnych, narysować wykres i porównać
z wartościami dokładnymi.
Jaka jest złożoność obliczeniowa obliczenie pochodnej i całki w punktach
interpolacyjnych? Wskazówka: proces obliczania pochodnej i całki można
przyspieszyć (za dodatkowe 2ptk.) korzystając z odwrotnych transformacji cosinusowej i sinusowej.
dr Tomasz Romańczukiewicz
2