ATL

Algebraiczna Teoria Liczb
Opracowane na podstawie notatek z wykładu
w semetrze letnim roku 2008r.
(niekompletne - pominięto ostatnie wykłady o szeregach Diricheta)
08.05.2008r.
W tej części rozważań wszystkie rozszerzenia ciał są skończone i
algebraiczne.
Definicja 1 (Element całkowity) Niech R ⊂ R1 będą przemiennymi dziedzinami z 1. Element a ∈ R1 nazywamy całkowitym nad R jeżeli istnieje wielomian
unormowany f = xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , należący do R[x], że f (a) = 0.
Twierdzenie 1 Niech R ⊂ R1 , a ∈ R1 . Następujące warunki są równoważne:
• a jest całkowity nad R,
• R[a] = {g(a), g(x) ∈ R[x]} jest skończenie generowanym R - modułem,
• istnieje R[a] - moduł M, skończenie generowany jako R - moduł taki, że:
R[a] ⊂ M ⊂ R1 ,
• istnieje R[a] - moduł wierny, który jako R - moduł jest skończenie generowany.
Twierdzenie 2 Zbiór wszystkich elementów całkowitych z R1 nad R jest podpierścieniem zawierającym R. Nazywamy go całkowitym domknięciem R w R1 .
Definicja 2 (Całkowita domkniętość) Pierścień R jest całkowicie domknięty w R1 jeżeli każdy element całkowity a ∈ R1 nad R jest w istocie elementem
R.
Twierdzenie 3 Całkowite domknięcie jest całkowicie domknięte (dwukrotne
wzięcie całkowitego domknięcia nie daje nowych elementów).
Definicja 3 (Pierścień normalny) Pierścień R nazywamy normalnym gdy
jest on całkowicie domknięty w swoim ciele ułamków.
Twierdzenie 4 Jeżeli R jest normalny oraz R ⊂ (R) ⊂ K, gdzie K - ciało, to dla każdego elementu całkowitego a ∈ K nad R, wielomian minimalny
unormowany (w sensie teorii ciał) dla a nad R należy do R[x].
Twierdzenie 5 Jeżeli R jest pierścieniem z jednoznacznym rozkładem, to jest
normalny.
1
Definicja 4 (Liczby całkowite) Jeżeli rozważamy całkowite domknięcie Z w
ciele K, to jego elementy nazywamy liczbami całkowitymi w K i oznaczamy
przez ZK .
Twierdzenie 6 Niech m będzie niezerową liczbą całkowitą. Wówczas:


Z[√m],
dla m 6= 1 mod 4
ZQ[√m] =
.
√

Z[ 1+ m ], dla m = 1 mod 4
2
Twierdzenie 7 Niech ωn będzie pierwiastkiem pierwotnym stopnia n z 1. Wówczas ZQ[ωn ] = Z[ω].
Definicja 5 (Dziedzina Dedekinda) Dziedzina całkowitości R jest Dedekinda wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:
• R jest noetherowska,
• R jest normalna,
• każdy niezerowy ideał pierwszy R jest maksymalny.
+
Twierdzenie 8 ZK
jest dla dowolnego ciała skończenie generowaną wolną gru-
pą abelową.
Twierdzenie 9 Pierścienie ZK są dziedzinami Dedekinda.
Definicja 6 (Norma i ślad elementu) Niech K ⊂ L - skończone rozszerze-
nie algebraiczne ciał charakterystyki 0. Definicja ma cztery równoważne postaci:
1. L ⊃ K, a ∈ L, f = an xn +an−1 xn−1 +. . .+a1 x+a0 - wielomian minimalny
a z K[x]. Wówczas:
NL/K (a) = ((−1)n · a0 )[L:K(a)] ,
TL/K (a) = −(an−1 )[L:K(a)] .
2. L ⊃ K, a ∈ L ∈ K, f - wielomian minimalny, rozważany w K ma postać:
f (x) = (x − a)(x − b2 ) . . . (x − bn ). Wówczas:
NL/K (a) = (a · b2 · . . . · bn )[L:K(a)] ,
TL/K (a) = (a + b2 + . . . + bn )[L:K(a)] .
2
3. L ⊃ K, a ∈ L ∈ K. Jeżeli [L : K] = n, to mam n różnych włożeń L w
K : σ1 , σ2 , . . . , σn . Z twierdzenia Abela L = K(c), dla pewnego algebraicz-
nego c. Jego wielomian minimalny f ma w K n różnych pierwiastków. Włożenia L w K to liniowe rozszerzenia formuły c → ’jeden z pierwiastków f ’.
Wówczas:
NL/K = σ1 (a)σ2 (a) . . . σn (a),
TL/K (a) = σ1 (a) + σ2 (a) + . . . + σn (a).
4. Rozszerzenie L ⊃ K można traktować jako algebrę skończenie wymiarową
nad L. Wówczas ślad i norma to odpowiednio ślad i wyznacznik macierzy
przekształcenia liniowego x → ax.
Twierdzenie 10 Ślad i norma mają następujące własności:
• TL/K (a), NL/K (a) ∈ K,
• jeżeli a jest całkowite (nad czymś), to norma i ślad też,
• dla dowolnych a, b ∈ L, x, y ∈ K mamy:
NL/K (ab) = NL/K (a) · NL/K (b)
TL/K (xa + yb) = xTL/K (a) + yTL/K (b).
Definicja 7 (Wyróżnik) Niech L ⊃ K, [L : K] = n. Wybieramy α1 , α2 , . . . , αn ∈
L. Rozważamy n różnych włożeń L w K : σ1 , σ2 , . . . , σn . Wyznacznikiem układu
discr(α1 , α2 , . . . , αn )L/K nazywamy kwadrat wyznacznika następującej macierzy:

σ1 (α1 )
σ2 (α1 )


 σ1 (α2 ) σ2 (α2 )

..
 ..
 .
.

σ1 (αn ) σ2 (αn )
···
···
..
.
···
σn (α1 )



σn (α2 ) 

.. 
. 

σn (αn )
Jeżeli określić formę dwuliniową T (x, y) = TL/K (x · y), wówczas wyróżnik jest
macierzą tej formy: (T (αi , αj ))ni,j=1 .
Definicja 8 (Dyskryminant) Przez dyskryminant ∆K (a) elementu algebraicznego a ∈ L ⊃ K rozumiemy wyróżnik układu: {1, a, a2 , . . . , an−1 }, gdzie n to
stopień rozszerzenia ciał.
3
Twierdzenie 11 Jeżeli a ∈ L ⊃ K, oraz f to wielomian minimalny elementu
a, to ∆K (a) = ±NL/K (f ′ (a)). Stąd dyskryminant elementu całkowitego jest
całkowity. Ogólnie wyróżnik układu elementów całkowitych jest całkowity.
Twierdzenie 12 Dla dwóch różnych baz całkowitych ZK mamy równe dyskryminanty. Stąd z ciałem skojarzyć można dyskryminant.
Twierdzenie 13 Jeżeli wyróżnik układu {a1 , a2 , . . . , an } niezależnych elemen-
tów ZK nad Z ma wyróżnik bezkwadratowy, to układ ten jest bazą całkowitą
ZK .
Definicja 9 (Względnie pierwsze ideały) I, J są ideałami względnie pierwszymi pierścienia R, jeżeli I + J = R.
Definicja 10 (Najmniejsza wspólna wielokrotność ideałów) Przez NWW(I, J)
określamy I ∩ J.
Twierdzenie 14 Niech I1 , I2 , . . . , In – ideały pierścienia R, parami względnie
pierwsze. Wówczas I1 · I2 · . . . · In = I1 ∩ I2 ∩ . . . ∩ In .
Twierdzenie 15 (Chińskie o resztach) Jeżeli I1 , I2 , . . . , In - ideały pierścieT
L
nia R, parami względnie pierwsze, to R/ Ik ≃
R/Ik .
Twierdzenie 16 Niech R – noetherowski. Wówczas każda niepusta rodzina ideałów ma element maksymalny.
Definicja 11 (Ideał ułamkowy) Niech R - dziedzina całkowitości, z ciałem
ułamków (R). I ⊂ (R) nazwiemy ideałem ułamkowym R w (R), jeżeli spełnione
są dwa warunki:
• I jest R - podmodułem K, z mnożeniem a ·
x
y
=
ax
y ,
• istnieje niezerowe a ∈ R takie, że aI ⊂ R.
Twierdzenie 17 Jeśli R jest noetherowski wówczas równoważne są warunki:
• I jest ułamkowy w (R),
• I jest skończenie generowanym R - podmodułem (R).
W szczególności twierdzenie jest prawdziwe dla dziedzin Dedekinda.
4
Twierdzenie 18 Niech I będzie nietrywialnym ideałem właściwym w dziedzinie
Dedekinda R. Wówczas istnieje ideał J, że IJ jest główny.
Twierdzenie 19 Niech I – jw. Wówczas istnieją ideały pierwsze P1 , P2 , . . . , Pk
takie, że I ⊃ P1 P2 . . . Pr .
Twierdzenie 20 Niech R – Dedekinda, I – nietrywialny ideał właściwy. Wówczas zbiór J = {x ∈ (R) : xI ⊆ R} stanowi ideał ułamkowy R oraz JI = R.
Twierdzenie 21 Niech I będzie nietrywialnym ideałem właściwym w dziedzinie Dedekinda R. Wówczas rozkłada się on jednoznacznie na iloczyn ideałów
pierwszych.
Definicja 12 (Grupa dywizorów, grupa klas ideałów) Niech R - dziedzina Dedekinda. Możemy w niej na dwa równoważne sposoby określić tzw. grupę
klas ideałów.
• Wprowadźmy na rodzinie jej ideałów relację równoważności: I ∼ J ⇔
∃a,b∈R (a)I ≃ (b)J. Wówczas klasy równoważności tej relacji tworzą grupę
ze względu na mnożenie: [I] · [J] = [IJ]. Elementem neutralnym jest [(1)],
• Rodzina ideałów ułamkowych pierścienia R tworzy grupę ze względu na
mnożenie. Nazywamy ją grupą dywizorów. Dzielimy ją przez ideały ułamkowe główne. Iloraz to grupa klas.
Twierdzenie 22 Niech R – Dedekinda, I 6= 0 - ideał w R. Wówczas dla do-
wolnego x ∈ I istnieje taki y ∈ I, że I = (x, y).
Twierdzenie 23 Niech R – Dedekinda z jednoznacznością rozkładu. Wówczas
R jest PID.
5
W najbliższych rozważaniach przyjmujemy konwencję:
Q ⊂
K
∪
∪
Z
⊂ ZK
⊂
L
∪ .
⊂ ZL
Wszystkie rozszerzenia są skończone.
Twierdzenie 24 Niech P – ideał pierwszy w ZK . Wówczas P · ZL ∩ ZK = P.
Odwrotnie: jeżeli dla pewnego ideału pierwszego Q ∈ ZL mamy Q ∩ ZK ⊃ P , to
Q występuje w rozkładzie P · ZL .
Definicja 13 (Indeksy rozgałęzienia) Niech P – ideał pierwszy w ZK oraz
P · ZL = Qe11 · Qe22 · Qe33 · . . . · Qerr – rozkład ideału P · ZL na czynniki pierwsze
z ZL . Wówczas współczynniki ei ∈ Z+ , i ∈ {1, 2, . . . r} nazywamy współczyn-
nikami rozgałęzienia (lub indeksami ramifikacji) P w Qi . Mówimy, że zachodzi
ramifikacja P w ZL jeśli r > 1.
Definicja 14 (Indeksy inercji) Niech P – ideał pierwszy w ZK oraz P · ZL =
Qe11 ·Qe22 ·Qe33 ·. . .·Qerr – rozkład ideału P ·ZL na czynniki pierwsze z ZL . Wówczas
skoro Qi są maksymalne, to ZL /Qi są ciałami. Przez indeksy inercji P w Qi
nazywamy stopnie rozszerzenia: fi = [ZL /Qi : ZK /P ] .
Twierdzenie 25 Niech [L : K] = n. Wówczas dla każdego ideału pierwszego P
r
P
ei fi .
w ZK mamy n =
i=1
Twierdzenie 26 Ideał pierwszy (p) ∈ Z jest rozgałęziony w ZK wtedy i tylko
wtedy, gdy p dzieli dyskryminant rozszerzenia Q ⊂ K.
Zakładamy dalej, że K ⊂ L jest Galois.
Twierdzenie 27 Niech P – ideał pierwszy w ZK oraz P · ZL = Qe11 · Qe22 · Qe33 ·
. . .·Qerr – rozkład ideału P ·ZL na czynniki pierwsze z ZL . Wówczas dla każdych
i, j ∈ {1, 2, . . . r} istnieje σ ∈ Gal(L/K), że σ(Qi ) = Qj .
6
Twierdzenie 28 Jeżeli K ⊂ L jest Galois, to dla każdego ideału pierwszego P
r
P
ref .
w ZL mamy ei = e, fi = f oraz n =
i=1
Definicja 15 (Grupa rozkładu) Przez grupę rozkładu D określać będziemy
grupę izotopii ideału Q = Q1 rozkładu P na czynniki w ZL .
Twierdzenie 29 [Gal(K/L) : D] = r.
Definicja 16 (Grupa inercji) D jako podgrupa grupy Galois zadaje pewien
automorfizm rozszerzenia [ZL /Q : ZK /P ]. Mamy wobec tego epimorfizm D →
Gal((ZL /Q) / (ZK /P )). Jeżeli założymy, że ZL /Q ⊃ ZK /P jest rozdzielcze,
wówczas jego obrazem tego epimorfizmu jest Gal((ZL /Q)/(ZK /P )). Jego jądro
nazywamy grupą inercji E.
Twierdzenie 30 Grupę inercji można opisać explicite jako:
{σ ∈ D : σ(x) − x ∈ Q, ∀x ∈ ZL }.
Twierdzenie 31 Rząd grupy inercji to e. Podniesienie ciała K do L odbywa się
zatem w trzech krokach – poprzez ciała pośrednie odpowiadające grupom rozkładu
i inercji. Nazywamy je ciałami inercji i dekompozycji.
L
↑
e = |E|
FE
↑
f=
|D|
|E|
r=
[L:K]
ef
FD
↑
K
Cała ramifikacja ma miejsce na L, całe rozszczepienie na poziomie ciała FD .
Ciała rezidualne pochodzące z inercji pochodzącą z przejścia do FE . Wyraża to
tabelka:
e
f
r
FD
1
1
r
FE
1
e
1
L
f
1
1
7
.
Twierdzenie 32 (Norma ideału) Przez normę ideału I oznaczać będziemy
indeks I w ZK .
Twierdzenie 33 Dla dowolnych ideałów I, J pierścienia ZK mamy ||IJ|| =
||I|| · ||J||.
Twierdzenie 34 Dla danego m ∈ Z istnieje skończenie wiele ideałów I w ZK ,
że I = m.
Dowód. Zauważmy, że dla ideału I mamy ||I|| ∈ I. Istotnie, niech x ∈ I. Wówczas element ||I||(x + I) jest elementem neutralnym grupy addytywnej ZK /I.
Istotnie, ponieważ grupa ta ma rząd ||I||, to rząd elementu x + I jest pewnym
dzielnikiem ||I||. Zatem ||I||x ∈ I, kładąc więc x = 1 mamy ||I|| ∈ I. Oznacza
to w szczegóności, że I dzieli (||I||). Z jednoznaczności rozkładu (||I||) rozpada
się na iloczyn skończenie wielu ideałów pierwszych, a więc jest skończenie wiele
ideałów I, które mogą być tymi iloczynami.
Twierdzenie 35 Niech 0 6= α ∈ ZK . Wówczas |NK/Q (α)| = ||(α)||.
Twierdzenie 36 Niech Q ⊂ K - skończone. Wówczas dla każdego ideału I ⊂
ZK istnieje α ∈ I takie, że istnieje λ ∈ R, że |NK/Q (α)| ¬ γ||I||.
Twierdzenie 37 Dla każdego ideału I w ZK istnieje ideał J z klasy [I], że
||J|| ¬ γ.
Definicja 17 (Krata ciała K w Rn ) Niech K będzie skończonym rozszerzeniem Q, a ZK pierścieniem liczb całkowitych. Wśród n włożeń σi , i = 1, . . . , n
ciała K w C, r1 idzie całkowicie w liczby rzeczywiste, zaś 2r2 = n − r1 jest
zespolonych. Rozważamy przekształcenie φ : ZK → Rr1 × Cr2 , które x ∈ ZK
przesyła na:
φ(x) = (σ1 (x), σ2 (x), . . . , σr1 (x), σr1 +1 (x), . . . , σr1 +r2 (x)).
Podgrupa złożona z obrazów x jest wolną grupa abelowa rangi n. Mamy więc kratę
n - wymiarową. Mamy tu pewien obszar fundamentalny, który określić możemy
jako {ai σi , ai ∈ [0, 1)}. Jego miarę Lebesgue’a oznaczamy jako vol(Rn /L).
Twierdzenie 38 Mamy następującą równość: (2i)r2 vol(Rn /K) =
8
p
discr(K/Q).
Twierdzenie 39 (Minkowski) Niech S będzie zbiorem mierzalnym względem
miary Lebesgue’a na Rn , przy czym µ(S) > vol(Rn /L). Wówczas istnieją dwa
różne punkty x, y ∈ S, że x − y ∈ H.
Twierdzenie 40 (Minkowski) Niech H będzie kratą w Rn . Załóżmy, że S
jest mierzalny względem n - wymiarowej miary Lebesgue’a, symetrycznym wokół
środka i wypukłym. Wówczas jeśli:
• µ(S) > 2n · vol(H) lub,
• µ(S) ­ 2n · vol(H) i S jest zwarty, to:
S ∩ (H {0}) 6= ∅.
Twierdzenie 41 (Minkowski) Niech Q ∈ L będzie rozszerzeniem stopnia n.
Wówczas istnieje n zanurzeń σi L → C. Jeżeli σi ∩(C−R) 6= ∅, to dla σi istnieje
sprzężone z nim zanurzenie. Zatem n = r1 + 2r2 , gdzie r1 – ilość rzeczywistych
zanurzeń, 2r2 – ilość zespolonych zanurzeń. Stałą w twierdzeniu 36, 37 można
wyrazić w postaci:
r 2 p
4
n!
· |∆L |.
·
n
π
n
Twierdzenie 42 Grupa klas ideałów jest skończona.
Twierdzenie 43 (Kroneckera o elementach odwracalnych) Niech K będzie skończonym rozszerzeniem ciała Q. Wówczas elementy odwracalne pier0
ścienia ZK wyrażają się jako iloczyn prosty grup: UK = WK × UK
, gdzie WK
0
oznacza podgrupę złożoną ze wszystkich pierwiastków 1 zawartych w ZK , zaś UK
jest pewną wolną grupą abelową o randze r1 + r2 − 1.
Twierdzenie 44 (Kronecker - Weber) Niech K będzie skończonym i abelowym rozszerzeniem ciała Q. Wówczas istnieje takie n, że K ⊂ Q[ωn , gdzie ωn
jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia n z 1.
Definicja 18 (Liczba regularna) Niech p - liczba pierwsza. Powiemy, że jest
ona regularna, jeżeli p nie dzieli rzędu grupy klas ideałów w Z[ωp ].
Twierdzenie 45 Równanie xp + y p = z p nie ma rozwiązań w Z dla p > 2,
regularnych.
9
Definicja 19 (Rozszerzenie Kummera) Niech K - ciało liczbowe, zawiera√
/ K, wówczas rozszerzenie K ⊂ K(ωn ) jest
jące ωp . Niech α ∈ K. Jeżeli p α ∈
nietrywialne, stopnia p, abelowe. Nazywamy je rozszerzeniem Kummera.
√
Twierdzenie 46 Załóżmy, że N W D(p, α) = 1. Wtedy K ⊂ K( p α) jest nie-
rozgałęzione wtedy i tylko wtedy gdy:
• (α) = I p ,
• α = v p mod P p , v ∈ ZK , P = (1 − ωp ).
Definicja 20 (Ciało klas) Niech K - ciało liczbowe, ZK – całkowite domknięcie Z w K, zaś Cl(K) - grupa klas ideałów ZK . Wówczas istnieje dokładnie jedno
ciało E, będące skończonym rozszerzeniem K, spełniające warunki:
• [E : K] = |Cl(K)|,
• E jest Galois nad K i Gal(E/K) ≃ Cl(K),
• każdy ideał I ⊂ K jest ideałem głównym w E
• żaden ideał pierwszy P nie podlega ramifikacji w ZE , co więcej – rozkłada
się na dokładnie
|Cl(K)|
o(P ZE )
czynników, gdzie o(P ZE ) oznacza rząd ideału
o(P ZE ) w grupie klas ideałów ZE .
10