Zależność zdarzeń

MPI
Metody Probabilistyczne: Zestaw 2
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
18 października 2016
Zależność zdarzeń
Jeśli P (B) > 0, to prawdopodobieństwem P (A|B) zdarzenia A pod warunkiem B nazywamy iloraz prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń A i B przez prawdopodobieństwo
zdarzenia B, a więc
P (A ∩ B)
P (A|B) =
.
P (B)
Zdarzenia A1 , . . . , An są niezależne, jeśli dla dowolnych wskaźników k1 , . . . , ks , gdzie 1 ¬
k1 < k2 < . . . < ks ¬ n, zachodzi równość
P (Ak1 ∩ . . . ∩ Aks ) = P (Ak1 ) · . . . · P (Aks ).
Zdarzenia A1 , A2 , . . . są niezależne, jeśli dowolny skończony podzbiór zdarzeń z {Ai }i∈N
jest niezależny.
Zdarzenia {Ai }ni=1 tworzą zupełny układ zdarzeń, gdy
∗ Ai ∩ Aj = ∅ dla parami różnych i, j ∈ [n],
S
∗ ni=1 Ai = Ω.
Zadanie 1. Podaj przykład 3 zdarzeń takich, że każde 2 spośród nich są niezależne, zaś
wszystkie 3 są zależne.
Zadanie 2. Z talii 8 kart - czterech króli i czterech asów - wybieramy losowo dwie karty.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrano 2 króle, przy założeniu że:
(a) wybrano co najmniej jednego króla,
(b) wśród wybranych kart jest czarny król,
(c) wśród wybranych kart jest król pik.
Zadanie 3. Wykaż, że jeżeli zdarzenia A1 , . . . , An są niezależne, to również zdarzenia
A∗1 , . . . , A∗n są niezależne, gdzie A∗i jest równe Ai bądź Ai .
Zadanie 4. Wykaż, że dla dowolnego zdarzenia A oraz dowolnego zupełnego układu
zdarzeń {Ai }ni=1
P (A) =
n
X
P (A|Ai )P (Ai ).
i=1
Zadanie 5 (wzór Bayesa). Wykaż, że dla zdarzeń A oraz B takich, że P (A) > 0 oraz
P (B) > 0 zachodzi
P (B|A)P (A)
P (A|B) =
.
P (B)
Zadanie 6 (wzór łańcuchowy). Wykaż równość:
P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ) = P (A1 ) · P (A2 |A1 ) · P (A3 |A1 ∩ A2 ) · . . . · P (An |A1 ∩ . . . ∩ An−1 ).
Zadanie 7. Urna zawiera M czerwonych i N − M białych kul. Oczywiście, losując jedną
kulę, prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej wynosi M
. Pokaż, że losując N N
krotnie bez zwracania, prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej za k-tym razem,
k = 1, . . . , N , również wynosi M
.
N
Strona 1/2
MPI
Metody Probabilistyczne: Zestaw 2
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
18 października 2016
Zadanie 8. Dane są trzy monety, z których dwie są symetryczne, a trzecia fałszywa, to
znaczy, że orzeł wypada na niej z prawdopodobieństwem 2/3. Nie wiemy, która moneta jest fałszywa. Zmieniamy losowo kolejność monet, a nastepnie każdą z nich rzucamy
po kolei. Pierwsza i druga moneta pokazuje orła, a na trzeciej mamy reszkę. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że pierwsza moneta jest fałszywa?
Zadanie 9. Trzech więźniów X,Y i Z czeka w celi na egzekucję, która ma się odbyć
następnego dnia rano. Wiedzą jednak, że potężny władca ułaskawi jednego z nich, wybierając szczęśliwca losowo. Losowanie miało miejsce po południu, a wieczorem strażnik,
który zna wynik losowania, przynosi więźniom kolację. Nie wolno mu ujawnić nazwiska
ułaskawionego. X prosi go jednak by wskazał, który z pozostałych więźniów zostanie zgładzony. Strażnik wskazuje na więźnia Y. X nie może ukryć swojej radości. Uważa bowiem,
że w tym momencie jego szanse przeżycia wzrosły z 13 do 12 . Z drugiej strony wydaje się
to dziwne, bo przecież strażnik nie ujawnił żadnej istotnej informacji.
Niech X,Y,Z będą zdarzeniami, że poszczególni więźniowie będą ułaskawieni. Więzień X
tak oblicza prawdopodobieństwo, że zginie.
P (X|Y ) =
P (X ∩ Y )
P (Z)
1/3
1
=
=
= .
2/3
2
P (Y )
P (Y )
Gdzie leży błąd w rozumowaniu więźnia X?
Zadanie 10. W pokoju znajduje się n urn. Urna o numerze r zawiera r − 1 kul o numerze
czerwonym oraz n−r kul o kolorze białym. Wybieramy urnę losowo i z urny tej wyciągamy
losowo dwie kule (bez zwracania). Znajdź prawdopodobieństwo:
∗ druga wybrana kula jest biała?
∗ druga wybrana kula jest biała, pod warunkiem, że pierwsza wybrana kula jest biała?
Zadanie 11. Symetryczny spacer losowy odbywa się na stanach {0, . . . , N } (będąc w
stanie k różnym od 0 oraz N , z równym prawdopodobieństwem przechodzimy do stanu
k − 1 oraz k + 1, dodatkowo sspacer jest zakończony jeżeli znajdziemy się w stanie 0 lub
N ). Spacer rozpoczynamy w stanie k, k 6= 0 oraz k 6= N . Znajdź prawdopodobieństwo
zdarzeń:
∗ spacer zakończy się w stanie N ,
∗ spacer będzie trwał nieskończenie długo.
Strona 2/2