Zmienne losowe - (warunkowa) wartosć oczekiwana

MPI
Metody Probabilistyczne: Zestaw 4
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
26 października
Zmienne losowe - (warunkowa) wartosć oczekiwana
Dyskretne (przyjmujące przeliczalnie wiele wartości) zmienne loswe X oraz Y są niezależne
jeżeli
P (X = x, Y = y) = P (X = x) · P (Y = y)
dla dowolnych x ∈ X(Ω), y ∈ Y (Ω).
Zapis P (X = x, Y = y) oznacza P ({ω ∈ Ω : X(ω) = x oraz Y (ω) = ω}).
Niech X będzie zmienną losową określoną na przestrzeni Ω. Przez E(X|A) określamy
zmienną losową okręsloną na przestrzeni warunkowej Ω|A zdefniowaną przez X|A(ω) =
X(ω) dla dowolnego ω ∈ A.
Zadanie 1. Podaj przykład zależnych zmiennych losowych X oraz Y takich, że X oraz
Y są zależne oraz E(XY ) = E(X)E(Y ).
Zadanie 2. Rzucamy dwoma rozróżnialnymi kostkami do gry. Rozważmy trzy zmienne
losowe:
∗ X1 – liczba oczek na pierwszej kostce,
∗ X2 – liczba oczek na drugiej kostce,
∗ X – liczba oczek na dwóch kostkach, czyli X = X1 + X2 .
∗
∗
∗
∗
Sprawdź, czy zmienne X1 oraz X są zależne.
Oblicz E(X|X1 = i) dla każdego i = 1, 2, . . . , 6.
Oblicz E(X1 |X = 9).
Które spośród zmiennych X, X1 , X2 są parami niezależne?
Zadanie 3. Wykaż, że wartość oczekiwana liczby porównań deterministycznego algorytmu quicksort jest równa Θ(n log n) (zakładamy, że każda wejściowa permutacja jest
równoprawdopodobna, a piwot jest wybieramy z pozycji pierwszej tablicy).
Zadanie 4. Wykaż, że istnieje wartościowanie spełniające co najmniej 87 m klauzul w
formule boolowskiej będącej koniunkcją m klauzul, z których każda jest alternatywą 3
literałów nad różnymi zmiennymi. Czy potrafisz takie wartościowanie znaleźć deterministycznie w czasie wielomianowym?
Zadanie 5. Wykaż, że każdy n wierzchołkowy graf dwudzielny można pokolorować poprawnie z list, których długości wynoszą dlog ne. Czy potrafisz takie kolorowanie skonstruować deterministycznie w czasie wielomianowym?
W problemie kolorowania grafu z list, każdy wierzchołek grafu ma przypisaną listę
dostępnych kolorów, a celem jest wybranie dla każdego wierzchołka koloru z jego listy w
taki sposób, aby żadne dwa wierzchołki połączone krawędzią nie otrzymały tego samego
koloru.
Zadanie 6. Urna R zawiera n kul czerownych oraz urna B zawiera n kul białych. W
każdym kroku, wybieramy losowo 2 kule, każdą z innej urny, które sa wkładane z powrotem
Strona 1/2
MPI
Metody Probabilistyczne: Zestaw 4
Semestr zimowy 2016/2017
Kraków
26 października
do przeciwnych urn. Wykaż, że wartość oczekiwana liczby czerwonych kul w urnie R po
k krokach jest równa
1 n 1 + (1 − 2/n)k .
2
Zadanie 7. Rzucamy kostką aż do momentu, gdy otrzymamy 2 szóstki pod rząd. Rozpatrzmy zmienne losowe:
∗ X – liczba wykonanych rzutów,
∗ Xi – w pierwszym rzucie wypadło i oczek.
Znajdź E(X) oraz E(X|Xi = 1) dla każdego i = 1, 2, . . . , 6.
Zadanie 8. Niech Xk będzie zmienną losową zliczającą liczbę wykonanych prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p aż do otrzymania k sukcesów pod rząd. Wykaż,
P
że E(Xk ) = ki=1 p1i .
Strona 2/2