Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa
Ćwiczenia 4
Definicja 1. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, gdy
P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
Zadanie 1. Z 52 kart ciągniemy jedną. Czy zdarzenia w następujących parach są niezależne:
a) A – Wyciągnięcie damy, B – wyciągnięcie karo
b) A – Wyciągnięcie czerwonej figury, B – wyciągnięcie kiera
Zadanie 2. Wybieramy rodzinę z pośród wszystkich rodzin mających n dzieci. Niech zdarzenie A
polega na tym, że w losowo wybrana rodzina jest co najmniej jedna dziewczynka, B – w rodzinie są
dziewczynki i chłopcy. Czy zdarzenia A i B są niezależne.
Zadanie 3. Wybieramy losowo punkt z odcinka [0, 1]. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A,
polegającego na tym, że odległość losowo wybranego punktu od środka odcinka jest mniejsza niż 14 ?
Zadanie 4. Ania i Bożena umówiły się między 16:00 a 17:00 w centrum miasta. Komunikacja w
godzinach szczytu działa, jak działa, przyjmijmy że działa losowo. Osoba, która przyjdzie pierwsza,
czeka na drugą 20 minut. Jak jest szans że dojdzie do spotkania?
Zadanie 5. Z kwadratu jednostkowego wybrano losowo punkt o współrzędnych (x, y). Wyznaczyć:
1. P (min(x, y) < a)
2. P (max(x, y) < a)
3. P (|x − y| < a)
4. P ( 21 (x + y) < a)
Zadanie 6. Dane są zdarzenia niezależne A i B przy czym P (A) = P (B) = p. Jak jest szansa, że
zaszły oba, jeśli wiadomo, że zaszło co najmniej jedno.
Zadanie 7. Dwóch strzelców strzela do tarczy. Strzelec 1 trafia z prawdopodobieństwem 23 , a strzelec
2 z prawdopodobieństwem 12 . Po oddaniu po jednym strzale okazało się, że tarcza została trafiona
dokładnie raz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafił strzelec 1?
Zadanie 8. Niech A∪B ∪C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A∩B) = P (A∩C) = P (B ∩C).
Wykaż, że 61 ¬ P (A) ¬ 14 .
Zadanie 9. Niech x0 będzie elementem zbioru X. Określamy α : 2X → R̄+ wzorem
(
α(A) =
1 gdy x0 ∈ A
0 gdy x0 ∈
/A
Udowodnij, że α jest miarą probabilistyczną.
Zadanie 10.√ Niech µ będzie miarą na σ({(−∞, a] : a ∈ R+ }) taką, że µ((−∞, a]) = a2 dla a ∈ R+ .
Oblicz µ((1, 2]).
1