z=0

Równania Maxwella
 

rotH  D  E
 
rotE  B  0

E

divD  

divB  0

H

D

B


Równania materiałowe
ośrodki izotropowe


D   0E
 n2

  0
0

  n2
ośrodki liniowo dwójłomne


D   0 E
 n x2

  0

0
0
n 2y
0
0   x
 
0  0

n z2   0
0
n2
0
0
y
0
0   0 0 
 

0   0  0
n 2   0 0  
0

0
 z 
ośrodki eliptycznie dwójłomne
 


D   0 E  i 0 G  E 

G  gsˆ wektor obrotowy
g symetryczny tensor skręcenia
Ośrodki liniowo dwójłomne
Założenia: =0, =0
Płaska fala świetlna
gdzie

n

k   sˆ  sˆ
c
V
Co jest znane?
-długość fali 
- kierunek propagacji fali ŝ
- kryształ  nx , ny , nz 



rot E  B   H
 

rotH  D   E




 

 
 E r ,t   E exp i t  k  r
 


H r,t   H exp i t  k  r
c
V
n
Co jest nieznane?
- ile jest fal w danym kierunku ŝ ?
- jakie są ich prędkości, czyli
n?

- jaka jest ich amplituda E  E x , E y , E z 
Ośrodki liniowo dwójłomne
- rozwiązania
Wstawiając równania fal płaskich do równań Maxwella dostaje się:
 


k  E  H


 
k  H   E  D



nsˆ  E  cH




nsˆ  H  c E  cD
Ośrodki liniowo dwójłomne



D  sˆ D  H
  

P  E  H  P pˆ

E  pˆ

H  pˆ
 
H E

 
H  sˆ, pˆ , D, E

H  sˆ
Ośrodki liniowo dwójłomne - spostrzeżenia
Fala płaska jest w ośrodku liniowo dwójłomnym 
 
ˆ
D

s
H
, B  sˆ
(w tym izotropowym) fala poprzeczną.
 
Wektory sˆ, D, H są wzajemnie prostopadłe do siebie.
 
Wektory pˆ , E , H
są wzajemnie prostopadłe do siebie.
 
Wektory sˆ, pˆ , D, E leżą w jednej płaszczyźnie,

prostopadłej do wektora H.

Kierunek wektora E na ogół nie pokrywa się

z kierunkiem wektora D .
Eˆ  Dˆ
Kierunek wersora p̂ w ogólności nie pokrywa się
z kierunkiem wersora ŝ propagacji fazy fali.
pˆ  sˆ
Kierunek propagacji energii w ogólności nie pokrywa się
z kierunkiem propagacji fazy fali.
Elipsa stanu polaryzacji światła
Założenie: fala płaska rozchodzi się w kierunku osi Z
ex   E x 
 Ax exp i x 
    
E  e y  E y exp i t  kz    Ay exp i y  exp i t  kz 
   


0
 e z   0 


exp i   cos
t=0
 e x  Ax coskz

e y  Ay coskz   
   y x
lub
z=0
lub
 e x  Ax cost 

e y  Ay cost   
Helisa- ewolucja wektora elektrycznego
 ex  Ax cost  kz

e y  Ay cost  kz   
Dwa spojrzenia na helisę:
- propagacja w czasie jednego wektora elektrycznego fali (animacja)
- zamrożony w czasie zbiór wszystkich wektorów elektrycznych fali
Elipsa stanu polaryzacji światła
jako rzut helisy
Rzut: na płaszczyznę prostopadłą do kierunku propagacji fali
2
 ey 
 e x  2e x e y
  
cos     sin 2 
A 
Ax Ay
 Ax 
 y
2
Wielkości opisujące stan polaryzacji światła
-kąt przekątnej 
- kąt fazowy 
-kąt azymutu 
- kąt eliptyczności 
-eliptyczność e
- skrętność ±
tan   Ay Ax
eb a
tan   e
Wartości własne i wektory własne


 nsˆ  E  cH



nsˆ  H  c E
Znane:
ŝ, 




2
n sˆ  sˆ  E  c  E  0
2
Nieznane:

n, E
n x2  n 2 1  s x2 
 Ex 
n 2 sx s y
n 2 sx sz

  
2
2
2
2
2


ny  n 1 sy
n s y sz
 n sx s y
  E y   0
2
2
2
2
 n 2 sx sz
  E z 

n
s
s
n

n
1

s
y z
z
z  

Równania Fresnela normalnych
n x2  n 2 1  s x2 
n 2 sx s y
n 2 sx sz
det
n2 sx s y
n 2y  n 2 1  s 2y 
n 2 s y sz
0
n 2 sx sz
n 2 s y sz
n z2  n 2 1  s z2 
s x2
1
n
2

1
n x2
s x2
n
2

 n x2
s 2y
1
n
2

1
n 2y
s 2y

n
2

 n 2y
s z2
1
n
2

1
n z2
s z2

n
2
0
 n z2

1
n2
Dwa rozwiązania równań Fresnela
n 4  An 2  B  0
A
s x2 x  y   z   s y2 y  x   z   s z2 z  x   y 
s x2 x  s y2 y  s z2 z
 x y  z
B 2
s x  x  s y2 y  s z2 z
Wniosek: w krysztale liniowo dwójłomnym mogą się w danym
kierunku rozchodzić co najwyżej dwie fale z dwiema różnymi
prędkościami fazowymi.
Definicja dwójłomności
n  n2  n1  n s  n f