wahadło empire

mechanika analityczna
y
1
nierelatywistyczna
L.D.Landau, E.M.Lifszyc „Krótki kurs fizyki teoretycznej”
ver-28.06.07
współrzędne uogólnione
punkt materialny...
wektor wodzący:
v
r
prędkość:
p
ę
v v
v = r&
przyspieszenie:
v v
a = r&&
liczba stopni swobody:
f
współrzędne uogólnione:
q = (q 1 , q 2 , ... q f )
prędkości uogólnione:
q& = (q& 1 , q& 2 , ... q& f )
równanie ruchu
d ś i d
doświadczenie:
i
jednoczesna znajomość wszystkich współrzędnych
uogólnionych i prędkości uogólnionych całkowicie
określa stan układu …
ip
pozwala przewidzieć
p
jjego
g ruch.
&&
znajomość w pewnej chwili q
q, q& określa q
związek między tymi wielkościami jest równaniem
ruchu, jest to różniczkowe równanie drugiego rzędu
na funkcję q (t ) .
zasada Hamiltona
ogólne sformułowanie praw ruchu:
zasada najmniejszego działania (Hamiltona)
układ mechaniczny jest całkowicie scharakteryzowany
przez funkcję Lagrange’a: L(q , q& , t )
niech:
q (t 1 ) = q (1)
q (t 2 ) = q ( 2 )
między tymi punktami układ porusza się tak, że funkcja
zwana działaniem:
t2
S = ∫ L(q , q& , t ) dt
t1
przyjmuje wartość minimalną.
minimalną
równanie ruchu
niech
i h dla
dl q (t ) działanie
d i ł i jest
j t minimalne,
i i l
więc dla q (t ) + δ q (t ) działanie jest większe.
funkcja δ q (t ) jest wariacją – jest mała w przedziale (t 1 , t 2 )
– oraz δ q (t 1 ) = δ q (t 2 ) = 0
przyrost działania jest równy:
t2
t2
t1
t1
ΔS = ∫ L(q + δ q , q& + δ q& , t )dt − ∫ L(q , q& , t )dt
t2
pierwsza wariacja:
δ S = δ ∫ L(q , q& , t )dt = 0
t1
t2
czyli:
y
∫(
t1
∂L
∂L
δq +
δ q& )dt = 0
∂q
∂q&
równanie Lagrange
Lagrange’a
a
ponieważ
δ q& =
d
δq
dt
t2
t2
∂L
∂L d ∂L
δS =
δq | + ∫( −
)δ qdt = 0
dt ∂q&
∂q&
t1
t 1 ∂q
E l
...Eulera
dla dowolnego δ q (t )
stąd równanie Lagrange’a (równanie ruchu):
w ogólności:
d ∂L ∂L
−
=0
&
dt ∂q i ∂q i
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂q& ∂q
(i = 1, 2, ... f)
rozwiązanie zależy od 2f stałych, które
określone są przez wartości początkowe
własności
f k j Lagrange’a
funkcja
L
’ jest
j t addytywna:
dd t
li L = LA + LB
lim
równanie ruchu każdej części układu
nieoddziałującego z pozostałymi nie może zależeć od
wielkości odnoszących się do pozostałych części
L równoważne jest αL (wybór jednostek)
własności (cd.)
(cd )
co więcej:
i
j
L′(q , q& , t ) = L(q , q& , t ) +
t2
t2
t1
t1
d
f (q , t )
dt
S ′ = ∫ L′dt = ∫ Ldt +
f (q , t )
- dowolna funkcja
t2
df
(2)
( 1)
dt
=
S
+
f
(
q
,
t
)
−
f
(
q
,t1 )
2
∫ dt
t1
różnica znika przy wariowaniu…
funkcja Lagrange’a jest określona z dokładnością do
addytywnej funkcji będącej zupełną pochodną czasową
dowolnej funkcji f (q , t )
zasada względności
układy inercjalne
= prawo bezwładności
b
ł d ś i
zasada względności (doświadczenie)
takie sama prawa!
+ czas bezwzględny
= zasada względności Galileusza
t = t′
r r r
r = r ′ + ut
r r r
v = v′ + u
r r
a = a′
cząstka swobodna
jednorodność czasu i przestrzeni więc
funkcja L nie może zależeć od r ani od t
a izotropia przestrzeni wyklucza
zależność od kierunku.
czyli
L = L(v 2 )
z zasady Galileusza: ta sama postać we
wszystkich inercjalnych:
r r
d
L[(v ′ + u ) 2 ] = L(v 2 ) + f (q , t )
dt
tylko gdy L = α v 2 (α = const)
cząstka swobodna (cd)
r
r
r
r
α (v ′ + u ) 2 = αv ′ 2 + 2αv ′ ⋅ u + αu 2
= αv ′ 2 +
L(v ) = L(v ′ 2 ) +
2
przyjmuje się:
dla cząstki swobodnej:
dla układu cząstek:
r r
d
(2αr ′ ⋅ u + αu 2t )
dt
r r
d
(2αr ′ ⋅ u + αu 2t )
dt
m
α=
2
mv 2
L=
2
2
mav a
L=∑
2
a
m - masa, ma sens dzięki własności addytywności, m > 0
(*) element długości łuku
wsp. kartezjańskie:
dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2
m
L = (x& 2 + y& 2 + z& 2 )
2
wsp. cylindryczne:
dl 2 = dr 2 + r 2 dϕ 2 + dz 2
m
L = (r& 2 + r 2ϕ& 2 + z& 2 )
2
wsp. sferyczne:
dl 2 = dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdϕ 2
m
L = (r& 2 + r 2ϑ& 2 + r 2 sin 2 ϑϕ& 2 )
2
energia potencjalna
rozważmy układ odosobniony wewnątrz
którego cząstki mogą oddziaływać ....
2
r r
m
v
okazuje się, że:
L = ∑ a a − U (r1 , r2 ,K)
2
a
czyli energia kinetyczna T minus (!) energia potencjalna…
oddziaływanie rozprzestrzenia się natychmiastowo
(bezwzględność czasu + zasada Galileusza)
NB: co gdy t przechodzi w -t ?... odwracalność ruchu.
siła
d ∂L
∂L
=
r
r
dt ∂v a ∂ ra
r
dv a
∂U
=− r
ma
∂ ra
dt
wielkość z prawej ma sens siły!
i uzyskujemy równanie Newtona:
czyli:
r
∂U
Fa = − r
∂ ra
r
Fa = − grad U
U jest określone z dokładnością do addytywnej stałej
(zwykle U = 0 w nieskończoności)
U(t)
ogólniej:
x a = fa (q1 , q2 ,Kqf )
L=
1
2
∑ ai ,k (q )q& i q& k
i ,k
x& a =
∂fa
∑ ∂q q& k
k
k
− U (q )
jest to forma kwadratowa prędkości…
układ A w polu układu B, który wykonuje zadany ruch
L = T A (q A , q& A ) + TB (q B , q& B ) − U (q A , q B )
energie
g kinetyczne
y
zależy
y tylko
y
od czasu
energia
g p
potencjalna
j
LA = TA (q A , q& A ) − U (q A , q B (t ))
drugi wyraz zależy jawnie od czasu…
np.
np
ruch cząstki:
równanie ruchu:
mv 2
L=
− U (r , t )
2
r
∂U
mv& = − r
∂r
na przykład energia potencjalna w polu jednorodnym:
r r
U = −F ⋅r
uwaga: więzy → mniej stopni swobody
wahadło płaskie
T = 21 ml 2ϕ& 2
U = mgh = mgl (1− cos ϕ )
U = − mgl cos ϕ
L = 21 ml 2ϕ& 2 + mgl cos ϕ
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂ϕ& ∂ϕ
d
(ml 2ϕ& ) + mgl sinϕ = 0
dt
ml ϕ&& + mgl sin ϕ = 0
2
ϕ&& +
g
sin ϕ = 0
l
małe drgania:
g
ϕ&& + ϕ = 0
l
l
+K
g
T = 2π
ϕ (t ) = A cos (ωt + α )
ω=
g
l
ϕ
l
m
mg
prawa zachowania
całki ruchu:
funkcje od q i , q& i niezmienne podczas ruchu,
zależą od warunków początkowych
liczba całek: 2f - 1,
stałych
y dowolnych
y jjest f ale równania ruchu nie zależą
ą jjawnie
od czasu (układ odosobniony) i wybór t0 jest dowolny
q i = q i (t + t 0 ,C1 ,C2 ,KC2 f − 1 )
q& i = q& i (t + t 0 ,C1 ,C 2 ,KC 2 f − 1 )
→ C1, C2, ... C2f-1 zależą od q i , q& i
niektóre z całek są ważne,
ważne te addytywne
addytywne,
związane z własnościami przestrzeni
jednorodność czasu
dL
=
dt
energia:
∂L
∂L
∂L
&
&
&
q
+
q
+
∑ ∂q i ∑ ∂q& i ∂t
i
i
i
i
∂L
d ∂L
=
∂q i dt ∂q& i
dL
=
dt
∑ q& i
i
∂L
d ∂L
+∑
q&&i =
&i
dt ∂q& i
i ∂q
d ⎛ ∂L ⎞
∑ dt ⎜⎜ ∂q& q& i ⎟⎟
i
⎝ i ⎠
⎞
d ⎛
∂L
&
⎜ ∑ qi
− L ⎟⎟ = 0
dt ⎜⎝ i
∂q& i
⎠
def
układ odosobniony lub stałe pole:
E=
∑ q& i
i
∂L
− L = const
&
∂q i
energia
L = T (q , q& ) − U (q )
∑ q& i
i
∂L
=
∂q& i
forma kwadratowa prędkości
∑ q& i
i
∂T
= 2T
∂q& i
twierdzenie Eulera o funkcjach jednorodnych
E = T (q , q& ) + U (q )
w układzie kartezjańskim:
r r
m a v a2
E=∑
+ U (r1 , r2 , K)
2
a
zasada zachowania pędu
r
r
r
ra → ra + ε
pęd:
ę
L nie zmienia się
∂L
∑ ∂ rr = 0
a
a
r
ε dowolne →
d ∂L
d
∂L
=
r
∑ dt ∂v dt ∑ ∂vr = 0
a
a
a
a
r def
∂L
p = ∑ r = const
a ∂v a
r
p=
r
∑ m av a
a
uogólniona siła
r r
m a v a2
L=∑
− U (r1 , r2 , K)
2
a
∂L
∂U
=
−
r
r
∂ ra
∂ ra
r
∑ Fa = 0
siła działająca na ciało a
a
ogólnie:
pi =
∂L
∂q& i
pęd uogólniony
Fi =
∂L
∂q i
siła uogólniona
p& i = Fi
równanie Lagrange’a
koniec
oni
Joseph-Louis Lagrange,
comte de l'Empire (1736 – 1813)
Giuseppe Lodovico Lagrangia
Sir William Rowan Hamilton
(1805 – 1865)
Lev Davidowich Landau (1908 – 1968),
1968) 1962 – Nobel
Ле́в Дави́дович
Ланда́у