Algebra z Geometrią Analityczną

Algebra z Geometrią Analityczną
Wielomiany - zadania
Część I
1. Pierwsze zadanie dotyczy w całości dzielenia wielomianów z resztą. Zadanie należy
rozwiązywać punkt po punkcie.
(a) Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, dla których wielomian P (x) = xn + x jest
podzielny przez dwumian x2 + 1. Wskazówka: zastosować twierdzenie Bezout.
(b) Niech z0 będzie liczbą zespoloną. Wykazać, że reszta z dzielenia wielomianu P
przez dwumian z − z0 jest równa P (z0 ).
(c) Reszta z dzielenia P przez x−1 jest równa 2. Reszta z dzielenia P przez x−3 jest
równa 4. Znaleźć resztę z dzielenia P przez (x − 1)(x − 3). Wskazówka: zapisać
nieznaną resztę w postaci R(x) = ax + b, a następnie dwukrotnie zastosować
poprzedni punkt.
(d) (Uogólnienie punktu poprzedniego). Załóżmy, że z1 6= z2 są liczbami zespolonymi. Wyprowadzić wzór na resztę z dzielenia P przez (z − z1 )(z − z2 ), jeżeli
reszta z dzielenia P przez z − z1 wynosi R1 , a reszta z dzielenia P przez z − z2
wynosi R2 .
(e) Bez wykonywania dzielenia znaleźć resztę z dzielenia P (x) = x40 + x + 1 przez
Q(x) = x2 + 1. Wskazówka: Zauważyć, że Q(i) = 0. Czy zauważyłes, że nie
trzeba wykorzystywać drugiego pierwiastka wielomianu Q?
(f) Załóżmy, że wielomian P ma współczynniki rzeczywiste i że P (i) 6= 0. Wykazać,
że jeżeli P (i) jest liczbą rzeczywistą, to reszta z dzielenia P przez x2 + 1 jest
wielomianem stopnia zerowego. Wykazać, że jeżeli P (i) jest liczbą czysto urojoną, to reszta z dzielenia P przez x2 + 1 jest jednomianem postaci R(x) = ax.
Jak zależy współczynnik a od liczby P (i)?
2. Wykazać, że jeśli P jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych, to liczba
zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu P wtedy i tylko wtedy, gdy jej sprzężenie
jest pierwiastkiem wielomianu P .
3. Wiedząc, że liczby 1 − i oraz 2 + i są pierwiastkami wielomianu
z 6 − 6z 5 + 12z 4 − 35z 2 + 54z − 30,
znaleźć wszystkie jego pierwiastki rzeczywiste.
4. Przedstawić wielomian x12 − 1 w postaci iloczynu nierozkładalnych wielomianów
rzeczywistych.
5. Wykazać, że każdy wielomian rzeczywisty stopnia parzystego ma parzystą liczbę
pierwiastków rzeczywistych (być może równą 0), a każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma nieparzystą liczbę pierwiastków rzeczywistych. W każdym z
tych dwóch przypadków uwzględniamy krotności pierwiastków.
P.Kajetanowicz