Algebra II - Lista 4 2 rok - matematyka 1

Algebra II - Lista 4
2 rok - matematyka 1-go stopnia
Zadanie 4.1. Które z następujących liczb są algebraiczne? W przypadku liczb algebraicznych określić ich
minimalny.
√ stopień
√oraz√podać wielomian
√
√
√
√
3
3
3
a) 2, d) √ 3 + √4 3,
g) 2 +
2,
j)
54
−
16,
√
√
√
b) i,
e) 2 + 3,
h) p
4 + 3,
k) 2 + 3p
2 + 3 4,
√
√
√
√
√
√
c) 8 5, f) 1 + 2 + 3, i) 6 + 20, l) 8 + 18 − 320.
Zadanie 4.2. Wyznaczyć wielomiany minimalne
√
√ dla elementów:
√ a) 2 − 3i nad R, b) 2 − 3i nad C, c) 1 + 2 nad Q 2 + 3 .
Zadanie 4.3. Znaleźć
wielomian
√ √ minimalny
√ liczby
√ a) Q, b) Q 2 , c) Q 5 , d) Q 2, 5 .
√
Zadanie 4.4.
√ √ √ √ Znaleźć
stopień rozszerzenia:
a) Q i√+ √3 : Q ,
c) Q √2, √3, 6 : Q ,
b) Q √2, √3 : Q , d) Q √2, 3 √
2 :√
Q ,
3
4
x) Q 5, 3 : Q , x) Q
3 + 3, 3 2 : Q ,
2+
√
5 nad danym ciałem:
√ e) Q √
1 + i 3 : Q ,
f) Q √3, i √
: Q , 4
f) Q
−2, 3 3 : Q .
Zadanie
4.5. Sprawdzić, czy:
p
√
√ √
a) 3√+ 2 ∈
Q( 2)( √
7,
√
b) Q( 4 10 + 10) = Q( 10).
Zadanie 4.6. Niech u będzie pierwiastkiem wielomianu x3 + 3x2 − 9x + 6 ∈ Q [x]. Każdy z elementów:
4
+3u+1
a) u5 , b) u4 + u, c) u1 , d) uu2 +2u−11
.
ciała Q (u) przedstawić w postaci kombinacji liniowej elementów bazy 1, u, u2 .
mgr Magdalena Sobolewska