Metoda 3 – zastosowanie wzorów skróconego

ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI
Def.1.
Wielomianem rozkładalnym nazywamy wielomian różny od wielomianu zerowego wtedy, gdy można go
przedstawić w postaci iloczynu wielomianów, mających stopień różny od zera. W przeciwnym wypadku wielomian
nazywamy wielomianem nierozkładalnym.
Tw.1.
Każdy wielomian stopnia co najmniej trzeciego można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. Rozkład ten
jest jednoznaczny (z dokładnością do kolejności czynników i do stałej).
Tw.2.
Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu
wolnego tego wielomianu.
Wielomiany można rozkładać na czynniki, stosując następujące metody:
1. zastosowanie postaci iloczynowej funkcji kwadratowej
2. grupowanie wyrazów i wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
3. zastosowanie wzorów skróconego mnożenia
Metoda 3 – zastosowanie wzorów skróconego mnożenia
a2+2ab+b2=(a+b)2
kwadrat sumy
a2-b2=(a+b)(a-b)
różnica kwadratów
a2-2ab+b2=(a-b)2
kwadrat różnicy
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
suma sześcianów
a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
sześcian sumy
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
różnica sześcianów
a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3
sześcian różnicy
Zad.1.
Rozłóż na czynniki wielomian W(x)=x2 - 9.
(1)
W(x)=(x)2 – (3)2
korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów
(2)
W(x)=(x-3)(x+3)
a2-b2=(a+b)(a-b)
(3)
Odp. W(x)=(x-3)(x+3)
Zad.2.
Rozłóż na czynniki wielomian W(x)=4x2 -4x+1.
(1)
W(x)=(2x)2 –22x+ (1)2
(2)
W(x)=(2x-1)2
(3)
W(x)=(2x-1)(2x-1)
(4)
Odp. W(x)=(2x-1)(2x-1)
korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy
a2-2ab+b2=(a-b)2
Zad.3.
Rozłóż na czynniki wielomian W(x)=x4+10x2+25.
(1)
W(x)=(x2)2 +25x2+ (5)2
2
2
(2)
W(x)=(x +5)
(3)
W(x)= (x2+5) (x2+5)
(4)
Odp. W(x)= (x2+5) (x2+5)
korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy
a2+2ab+b2=(a+b)2
2
czynnik (x +5) jest nierozkładalny, bo <0
Zad.4.
Rozłóż na czynniki wielomian W(x)=x3+6x2 +12x+8.
(1)
W(x)=(x)3 +3(x)22+ 3x(2)2 +(2)3
(2)
W(x)=(x+2)3
(3)
W(x)= (x+2)(x+2) (x+2)
(4)
Odp. W(x)= (x+2)(x+2) (x+2)
korzystamy ze wzoru na sześcian sumy
a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
Zad.5.
Rozłóż na czynniki wielomian W(x)=8x3-36x2+54x-27.
(1)
W(x)=(2x)3 -3(2x)23+ 32x(3)2 -(3)3
(2)
W(x)=(2x-3)3
(3)
W(x)= (2x-3) (2x-3)(2x-3)
(4)
Odp. W(x)= (2x-3) (2x-3)(2x-3)
korzystamy ze wzoru na sześcian różnicy
a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3
Zad.6.
Rozłóż na czynniki wielomian W(x)=27x3+8.
(1)
W(x)=(3x)3 +(2)3
(2)
W(x)=(3x+2)((3x)2-3x2+(2)2)
korzystamy ze wzoru na sumę sześcianów
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
2
(3)
W(x)= (3x+2) (9x -6x+4)
(4)
Odp. W(x)= (3x+2) (9x2-6x+4)
2
czynnik (9x -6x+4) jest nierozkładalny, bo <0
Zad.7.
Rozłóż na czynniki wielomian W(x)=125x3-1.
(1)
W(x)=(5x)3 -(1)3
(2)
W(x)=(5x-1)((5x)2+5x1+(1)2)
(3)
W(x)= (5x-1) (25x2+5x+1)
(4)
Odp. W(x)= (5x-1) (25x2+5x+1)
korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów
a3-b3=(a+b)(a2+ab+b2)
2
czynnik (25x +5x+1) jest nierozkładalny, bo <0