Metoda 1 – zastosowanie postaci iloczynowej

ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI
Def.1.
Wielomianem rozkładalnym nazywamy wielomian różny od wielomianu zerowego wtedy, gdy można go
przedstawić w postaci iloczynu wielomianów, mających stopień różny od zera. W przeciwnym wypadku wielomian
nazywamy wielomianem nierozkładalnym.
Tw.1.
Każdy wielomian stopnia co najmniej trzeciego można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. Rozkład ten
jest jednoznaczny (z dokładnością do kolejności czynników i do stałej).
Tw.2.
Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu
wolnego tego wielomianu.
Wielomiany można rozkładać na czynniki, stosując następujące metody:
1. zastosowanie postaci iloczynowej funkcji kwadratowej
2. grupowanie wyrazów i wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
3. zastosowanie wzorów skróconego mnożenia
Metoda 1 – zastosowanie postaci iloczynowej funkcji kwadratowej
f(x)=ax2+bx+c, a0
=b2-4ac
Jeżeli >0 to f(x)=a(x-x1)(x-x2),
Jeżeli =0 to f(x)=a(x-x0)2,
√∆
=
gdzie
,
√∆
=
=
gdzie
Jeżeli <0 to funkcja f nie ma postaci iloczynowej.
Zad.1.
Rozłóż na czynniki wielomian W(x)=x2 + 4x – 5.
(1)
Wypisujemy współczynniki: a=1, b=4, c=-5
(2)
Obliczamy wyróżnik: =b2-4ac=42-41(-5)=16+20=36
(3)
>0, zatem obliczamy pierwiastki:
=
=
√∆
√
=

=
=
= −5
− + √∆ −4 + √36 −4 + 6 2
=
=
= =1
2
21
2
2
(4)
Zapisujemy wielomian w postaci iloczynowej: W(x)= a(x-x1)(x-x2)=1(x-(-5))(x-1)=(x+5)(x-1)
(5)
Odp. W(x)=(x+5)(x-1)
Zad.2.
Rozłóż na czynniki wielomian W(x)=x2 - 6x +9.
(1)
Wypisujemy współczynniki: a=1, b=-6, c=9
(2)
Obliczamy wyróżnik: =b2-4ac=(-6)2-419=36-36=0
(3)
=0, zatem obliczamy pierwiastek:
(4)
Zapisujemy wielomian w postaci iloczynowej: W(x)= a(x-x0)2=1(x-3)2=(x-3)2
(5)
Odp. W(x)=(x-3)(x-3)
=
=
(
)

= =3
Zad.3.
Rozłóż na czynniki wielomian W(x)=2x2 - 5x + 7.
(1)
Wypisujemy współczynniki: a=2, b=-5, c=7
(2)
Obliczamy wyróżnik: =b2-4ac=(-5)2-427=25-56=-31
(3)
<0, zatem wielomian nie ma pierwiastków (wielomian W nie da się rozłożyć).
(4)
Odp. W(x)=2x2 - 5x +7