Procesy stochastyczne (plik pdf)

Kod przedmiotu
PROCESY STOCHASTYCZNE
Cele przedmiotu: Poznanie wybranych poj z procesów stochastycznych wanych z punktu widzenia zastosowa
w matematyce finansowej (martyngay, proces Wienera, caka stochastyczna, wzór Ito). Wyrobienie intuicji dotyczźcych wasnoci martyngaowej procesów stochastycznych.
Zawarto programowa:
1. Warunkowa warto oczekiwana (4 godziny). Przypomnienie definicji gdy warunkiem jest zdarzenie, zmienna
losowa o rozkadzie dyskretnym, partycja, sigma-ciao, dowolna zmienna losowa. Warunkowa warto oczekiwana
w L2 jako projekcja. Wasnoci warunkowej wartoci oczekiwanej. Przypomnienie o rodzajach zbienoci zmiennych
losowych i ich zwiźzkach. Twierdzenia o zbienoci dla warunkowych wartoci oczekiwanych. Nierówno Jensena.
2. Martyngay w czasie dyskretnym (6 godzin). Definicja procesu stochastycznego w czasie dyskretnym, trajektorie, rozkady, filtracja generowana przez proces. Proces adaptowany, przewidywalny. Definicja martyngau,
submartyngau, supermartyngau. Przykady. Zastosowania w grach losowych. Momenty zatrzymania, proces zastopowany. Twierdzenie o opcjonalnym stopowaniu. Bźdzenie przypadkowe, wasnoci momentu pierwszego przejcia przez barier. Maksymalna nierówno Dooba w Lp . Wasno liczby przekrocze. Twierdzenie Dooba o zbienoci
supermartyngau. Jednostajnie cakowalne martyngay, zbieno. Twierdzenie 0-1 Komogorowa.
3. acuchy Markowa (2 godziny). Definicja i przykady. Klasyfikacja stanów. Twierdzenie graniczne
4. Procesy w czasie ciźgym (4 godziny). Definicja, trajektorie, filtracja, procesy adaptowane. Regularno
procesów. Twierdzenie Komogorowa o trajektoriach ciźgych. Martyngay w czasie ciźgym, nierównoci Dooba.
Proces Poissona.
5. Proces Wienera (4 godziny). Skalowane bźdzenie przypadkowe. Definicja procesu Wienera. Konstrukcje
procesu Wienera przez twierdzenie Komogorowa o rozkadach zgodnych oraz z uyciem falek. Wasnoci trajektorii.
Wariacja procesu Wienera.
6. Caka stochastyczna Ito (10 godzin). Definicja dla funkcji schodkowych w klasie L2 . Aproksymacja procesów schodkowymi. Wasnoci caki: liniowo, izometria. Definicja caki w L2 . Twierdzenie Meyera o niemonoci
definicji caki stochastycznej po ciekach. Rozszerzenie definicji przez lokalizacj. Caka jako proces stochastyczny.
Persystencja indentycznoci. Ciźgo trajektorii caki. Wzór Ito, dowód, przykady zastosowa.
Literatura:
1. Z.Brzeniak, T.Zastawniak, Basic Stochastic Processes, Springer 2000.
2. I.Karatsaz, S.E.Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer 1991.
3. J.M.Steele, Stochastic calculus and Financial Applications, Springer 2001.
Liczba godzin: 30 godzin wykadu + 30 godzin wicze
Forma zaliczenia: forma zaliczenia wicze: dwa kolokwia, forma zaliczenia wykadu: egzamin ustny.