Lebesgue'a integralną

Wielkie odchylenia w
Rd
Dorota Juszczak
Zakªad Statystyki Matematycznej i Analizy Danych
Wydziaª Matematyki i Informatyki, UMK Toru«
24 marca 2005
Typeset by FoilTEX Oznaczenia
Niech ξ, ξ (1), ξ (2), . . . b¦dzie ci¡giem niezale»nych wektorów losowych o jednakowych rozkªadach o warto±ciach w Rd, d > 1. Przez a oznaczmy wektor
warto±ci oczekiwanych, a przez B macierz kowariancji wektora losowego ξ , tj.
Eξ = a,
B = E(ξ − a)(ξ − a)T .
B¦dziemy zakªada¢, »e macierz B jest dodatnio okre±lona, tj. rozkªad wektora ξ
jest istotnie d-wymiarowy. Rozpatrzmy sum¦
ζ (n) = ξ (1) + · · · + ξ (n),
Typeset by FoilTEX n = 1, 2, . . . .
1
Integralne twierdzenia o wielkich odchyleniach
Na mocy centralnego twierdzenia granicznego
Z
P (n−1/2(ζ (n) − na) ∈ A) →
ϕ(0,B)(x)λd(dx),
n → ∞,
A
gdzie A jest zbiorem ci¡gªo±ci miary Lebesgue'a λd, a ϕ(0,B) jest g¦sto±ci¡
rozkªadu normalnego o zerowym wektorze warto±ci oczekiwanych i macierzy
kowariancji B .
Typeset by FoilTEX 2
Je±li zbiór A = An ma wªasno±¢
n−1/2 inf(|x| : x ∈ An) → ∞,
to prawdopodobie«stwo wielkich odchyle«
Pn(A) = P (ζ (n) − na ∈ A) → 0,
Typeset by FoilTEX n → ∞.
3
Lokalne twierdzenia o wielkich odchyleniach
Je»eli ma miejsce lokalne twierdzenie graniczne
sup |nd/2pn(x) − ϕ(0,B)(n−1/2(x − na))| = o(1),
n → ∞,
x∈Rd
to dla x ∈ An zachodzi
Typeset by FoilTEX nd/2pn(x) → 0.
4
Prace dotycz¡ce problemu wielkich odchyle«
Przypadek jednowymiarowy:
S. V. Nagaev, 1979
L. V. Rozovskii, 1993
Przypadek wielowymiarowy:
A. A. Borovkov, A. Rogozin, 1965
B. von Bahr, 1967
L. V. Osipov, 1982
A. V. Nagaev, A. Yu. Zaigraev, 2000, 2003
A. Yu. Zaigraev, 2003
Typeset by FoilTEX 5
Schemat dowodu twierdze« o wielkich odchyleniach
1. zaªo»enie pewnej regularno±ci w asymptotycznym zachowaniu g¦sto±ci,
2. twierdzenie typu Abela (wzór asymptotyczny dla funkcji tworz¡cej momenty),
3. asymptotyczne wªasno±ci rozkªadów sprz¦»onych,
4. twierdzenie o wielkich odchyleniach.
Typeset by FoilTEX 6
Warunek Craméra
Niech f (s) b¦dzie funkcj¡ tworz¡c¡ momenty wektora losowego ξ , tj.
Z
f (s) = Eehs,ξi =
ehs,xip(x)µd(du),
s ∈ S ⊂ Rd.
Rd
Wektor losowy ξ speªnia warunek Craméra, je»eli
f (s) < ∞,
s ∈ S,
(1)
gdzie S jest otwartym podzbiorem Rd zawieraj¡cym 0 = (0, . . . , 0) jako punkt
wewn¦trzny.
Typeset by FoilTEX 7
Rozkªady sprz¦»one
Rozwa»my rodzin¦ g¦sto±ci rozkªadów sprz¦»onych zdeniowan¡ nast¦puj¡co
ehs,xip(x)
ps(x) =
,
f (s)
s ∈ S.
Niech M (s) i M̄ (s) oznaczaj¡, odpowiednio, wektor warto±ci oczekiwanych
i macierz kowariancji wektora losowego o rozkªadzie sprz¦»onym ps(x). Zatem
M (s) = grad ln f (s),
M̄ (s) = hess ln f (s).
Macierz M̄ (s) jest dodatnio okre±lona dla s ∈ int S .
Typeset by FoilTEX 8
Zatem odwzorowanie
M (s) : S → X,
X ⊂ Rd
jest wzajemnie jednoznaczne. Przez s(x) oznaczmy jedyne rozwi¡zanie równania
M (s) = x,
x ∈ X.
Przez ρ oznaczmy funkcj¦ odchyle«
ρ(x) = inf e−hs,xif (s).
s∈S
Typeset by FoilTEX 9
Twierdzenie o wielkich odchyleniach
(wniosek z tw. z pracy Borovkova i Rogozina)
Niech X1 b¦dzie zwartym podzbiorem int X , X ⊂ Rd oraz ρ(x) b¦dzie funkcj¡
odchyle«.
Twierdzenie
Niech sup p(x) < ∞ oraz pn(x) b¦dzie n-krotnym splotem
x∈Rd
p(x). Je»eli speªniony jest warunek Craméra (1), to dla n → ∞
¯
¯
¯ pn(nx)
¯
¯
sup ¯ n
− 1¯¯ = o(1),
x∈X1 ρ (x)ψn (x)
gdzie
ψn(x) = (2πn)−d/2(detM̄ (s(x)))−1/2,
Typeset by FoilTEX s(x) = M −1(x).
10
Klasa L
Niech L oznacza klas¦ funkcji wolno zmieniaj¡cych si¦ dla t → ∞, które
dopuszczaj¡ przedstawienie
³ Zt ε(u) ´
l(t) = exp
du ,
u
t > 1,
(2)
1
gdzie ε(t) jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ i lim ε(t) = 0.
t→∞
Typeset by FoilTEX 11
Klasa S
Powiemy, »e h(t) ∈ S ⊂ L, je»eli w (2) funkcja ε(t) speªnia warunki
0
tε (t)
= 0,
t→∞ ε(t)
Z∞
lim
1
ε(t)
dt = ∞
t
i dla pewnego η ∈ (0, 1/4)
lim tη ε(t) > 0.
t→∞
Typeset by FoilTEX 12
Klasa R
Mówimy, »e h(t) ∈ R, je»eli jest funkcj¡ regularnie zmieniaj¡c¡ si¦ ze wspóªczynnikiem regularnej zmienno±ci α > 0 i dopuszcza przedstawienie
h(t) = tαl(t),
gdzie l(t) ∈ L i dodatkowo w (2)
lim t|ε0(t)| < ∞.
t→∞
Typeset by FoilTEX 13
Klasa F
Mówimy, »e funkcja ci¡gªa h(t) ∈ F , je»eli jest ona ±ci±le monotonicznie rosn¡ca
i jej funkcja odwrotna m(t) nale»y do S .
Przyjmijmy oznaczenie
H = S ∪ R ∪ F.
Typeset by FoilTEX 14
Klasa rozkªadów
Zaªó»my, »e dla |x| → ∞
p(x) = e−r(|x|)(1 + τ (x)),
gdzie
r(t)
= ∞,
t→∞ t
lim
ω : R → R,
oraz
Typeset by FoilTEX (3)
|τ (x)| 6 ω(|x|),
lim ω(t) = 0
t→∞
r0(t) = h(t) ∈ H.
15
Rozkªady absolutnie ci¡gªe twierdzenie Abela
Twierdzenie
Niech sup p(x) < ∞ oraz p(x) speªnia (3), gdzie h(t) =
x∈Rd
r0(t) ∈ H. Wówczas dla |s| → ∞
f (s) = (2π)d/2σ1d−1σ2eH(x(s),s)(1 + θω(|s|)),
gdzie
m(|s|)
,
σ22 = m0(|s|),
|s|
H(x, s) = hs, xi − r(|x|) oraz x(s) = m(|s|)es jest punktem maksimum
H(x, s) jako funkcji x.
σ12 =
Typeset by FoilTEX 16
Rozkªady absolutnie ci¡gªe lokalne twierdzenie
graniczne dla rozkªadów sprz¦»onych
Niech
p̄s(x) = (det M̄ )1/2ps(M̄ 1/2x + M (s))
oraz p̄n,s(x) oznacza n-krotny splot p̄s(x).
Twierdzenie
Je»eli sup p(x) < ∞ oraz p(x) speªnia warunek (3), gdzie
x∈Rd
r0(t) ∈ H, to dla n → ∞
sup sup |p̄n,s(x) − ϕ(0,I)(x)| = o(1).
s∈Rd x∈Rd
Typeset by FoilTEX 17
Rozkªady absolutnie ci¡gªe twierdzenie o wielkich
odchyleniach
Twierdzenie
Je»eli sup p(x) < ∞ oraz p(x) speªnia warunek (3), gdzie
x∈Rd
r0(t) ∈ H, to dla n → ∞ zachodzi
¯
¯
¯ pn(nx)
¯
¯
− 1¯¯ = o(1),
sup ¯ n
d ρ (x)ψn (x)
x∈R
gdzie
ψn(x) = (2πn)−d/2(detM̄ (s(x)))−1/2,
Typeset by FoilTEX s(x) = M −1(x).
18
Rozkªady kratowe subgaussowskie
Je»eli w (3)
r(t) = o(t2),
t → ∞,
to powiemy, »e rozkªad arytmetyczny wektora ξ nale»y do klasy rozkªadów
subgaussowskich.
Typeset by FoilTEX 19
Rozkªady kratowe subgaussowskie twierdzenie
Abela
Twierdzenie
Niech sup p(x) < ∞ oraz p(x) speªnia (3), gdzie h(t) =
x∈Zd
r0(t) ∈ R, 0 < α < 1. Wówczas dla |s| → ∞
f (s) =
X
ehs,xip(x) = (2π)d/2σ1d−1σ2eH(x(s),s)(1 + θω(|s|)),
x∈Zd
gdzie
m(|s|)
,
σ22 = m0(|s|),
|s|
H(x, s) = hs, xi − r(|x|) oraz x(s) = m(|s|)es jest punktem maksimum
σ12 =
H(x, s) jako funkcji x ∈ Zd.
Typeset by FoilTEX 20
Rozkªady kratowe subgaussowskie twierdzenie o
wielkich odchyleniach
Twierdzenie
Niech sup p(x) < ∞ oraz p(x) speªnia warunek (3), gdzie
x∈Zd
r0(t) ∈ R, przy czym 0 < α < 1. Wówczas
¯
¯
¯ pn(nx)
¯
sup ¯¯ n
− 1¯¯ = o(1),
d ρ (x)ψn (x)
x∈Z
gdzie
ψn(x) = (2πn)−d/2(detM̄ (s(x)))−1/2,
s(x) = M −1(x).
.
Typeset by FoilTEX 21
Rozkªady kratowe supergaussowskie
Je»eli w (3)
t−2r(t) → ∞,
t → ∞,
to rozkªad arytmetyczny wektora ξ nazywamy rozkªadem supergaussowskim.
Niech
p(x) = e
−|x|α
(1 + τ (x)),
x ∈ Zd,
2 < α < 3,
(4)
gdzie
|τ (x)| 6 ω(|x|).
Niech n−1|x| → ∞.
Przypadek I: x = nk, k ∈ Zd.
Przypadek II: x = nk + (n/2)1, k ∈ Zd, 1 = (1, . . . , 1) ∈ Zd, n − parzyste.
Typeset by FoilTEX 22
Przypadek supergaussowski I
Przez E oznaczmy zbiór wektorów jednostkowych postaci
E = {e ∈ Rd : e = ±e(i), i = 1, . . . , d},
gdzie
e(1) = (1, 0, . . . , 0), . . . , e(d) = (0, . . . , 0, 1).
(0)
(0)
(0)
(0)
Niech ek = e(0) = (e1 , . . . , ed ) oraz |e1 |2 < . . . < |ed |2.
Niech D̂ oraz D b¦d¡ macierzami diagonalnymi postaci
−1
D̂ = diag (σ1−1, . . . , σr−1
),
D = diag (σ1−1, . . . , σd−1),
gdzie
σi2 = 2 exp(−(1/2)α|k|α−2(1 + (α − 2)he(0), e(i)i2)),
Typeset by FoilTEX i = 1, . . . , d.
23
Niech ξ1 i ξ2 b¦d¡ zmiennymi losowymi o rozkªadzie Poissona z parametrem λ.
Przez Π(l), l ∈ Z1, oznacza¢ b¦dziemy rozkªad ró»nicy ξ1 − ξ2, tj.
Π(l) = P (ξ1 − ξ2 = l) = e
−2λ
X λl1+l2
,
l1!l2!
l1 > 0,
l2 > 0.
l1 −l2 =l
Niech
(k)
S1
Typeset by FoilTEX = {s(k) ∈ Rd : s(k) = α|k|α−1ek , k ∈ Zd}.
24
Przypadek supergaussowski I twierdzenie Abela
Twierdzenie Je»eli p(x) speªnia warunek (4), to dla |s| → ∞, s = s(k) ∈ S1(k),
zachodzi
f (s) = f0(s)(1 + O(exp(−α|k|α−2))),
gdzie
α
f0(s) = exp(hs, ki − |k| ) +
X
exp(hs, k + ei − |k + e|α).
e∈E
Typeset by FoilTEX 25
Przypadek supergaussowski I lokalne twierdzenie
graniczne dla rozkªadów sprz¦»onych
Twierdzenie
(k)
Niech p(x) speªnia warunek (4) oraz |s| → ∞, s = s(k) ∈ S1 .
Je»eli dla pewnego r, 1 6 r 6 d, przy |k| → ∞ zachodzi
n exp(−(1/2)α|k|α−2(1 + (α − 2)he(0), e(r)i2)) → λ,
0 < λ < ∞, (5)
to dla n → ∞ mamy
sup |Ps(ζ (n) = x)−n−(r−1)/2 det D̂ϕ(0̂,Ir−1)(ŷ)Π(yr )I{0∈Rd−r }(y̌)| = o(n−(r−1)/2),
x∈Zd
gdzie
ŷ = n−1/2D̂(x̂ − nx̂(s) − nâ(s)),
Typeset by FoilTEX yr = xr − nxr (s),
y̌ = x̌ − nx̌(s).
26
Wniosek
Je»eli zamiast warunku (5) dla |k| → ∞ zachodzi
n exp(−(1/2)α|k|α−2(1 + (α − 2)he(0), e(d)i2)) → ∞,
(6)
to dla n → ∞ mamy
sup |Ps(ζ (n) = x)−n−d/2 det Dϕ(0,I)(n−1/2D(x−nx(s)−na(s)))| = o(n−d/2).
x∈Zd
Je»eli zamiast warunku (5) dla |k| → ∞ speªniony jest warunek
n exp(−(1/2)α|k|α−2(1 + (α − 2)he(0), e(1)i2)) → 0,
(7)
to dla n → ∞ mamy
sup |Ps(ζ (n) = x) − I{0∈Rd}(x − nx(s))| = o(1).
x∈Zd
Typeset by FoilTEX 27
Przypadek supergaussowski I twierdzenie o
wielkich odchyleniach
Twierdzenie
Niech sup p(x) < ∞ i p(x) speªnia warunek (4).
x∈Zd
Je»eli
ek = e(0) oraz zachodzi (5), to dla n → ∞ i |k| → ∞
pn(nk) = (2π)−(r−1)/2 det D̂ Π(0)n−(r−1)/2ρn1 (k)(1 + o(1)),
gdzie
α
ρ1(k) = exp(−|k| ) +
X
exp(α|k|α−1hek , ei − |k + e|α).
e∈E
Typeset by FoilTEX 28
Wniosek
mamy
Wniosek
mamy
Je»eli zamiast warunku (5) zachodzi (6), to dla n → ∞ i |k| → ∞
pn(nk) = (2π)−d/2 det D n−d/2ρn1 (k)(1 + o(1)).
Je»eli zamiast warunku (5) zachodzi (7), to dla n → ∞ i |k| → ∞
Typeset by FoilTEX pn(nk) = ρn1 (k)(1 + o(1)).
29
Przypadek supergaussowski II
Przez E 0 oznaczmy zbiór wektorów postaci
E 0 = {ε ∈ Rd : ε = (ε1, . . . , εd), εi = ±1, i = 1, . . . , d}.
(0)
(0)
Niech ek+(1/2)1 = e(0) = (e1 , . . . , ed ) oraz A0 = arg minhe(0), eεi2.
ε∈E 0
Poniewa» −A0 = A0, wi¦c #A0 jest liczb¡ parzyst¡. Niech zbiór A00 ⊂ A0
speªnia warunek
A00 ∪ (−A00) = A0.
Przez B oznaczmy macierz postaci
B=
(1/(4#A00))
X
εεT ,
ε∈A00
a przez r rz¡d tej macierzy.
Typeset by FoilTEX 30
Niech K b¦dzie krat¡ generowan¡ przez wektory ε ∈ A0. Je»eli rank B = d,
to K i Zd s¡ izomorczne. Niech L b¦dzie odwracalnym odwzorowaniem
liniowym takim, »e LK = Zd. Je»eli rank B = r < d, to krata K0 generowana
przez wektory ε ∈ A0 jest izomorczna z Zr . Niech L0 b¦dzie odwracalnym
odwzorowaniem liniowym takim, »e L0K0 = Zr . Przez E oznacza¢ b¦dziemy
macierz


(1)
ε1
(1)
ε2
...


E=
 ··· ··· ···

(r)
(r)
ε1
ε2
...
(1)
εd


··· 
.

(r)
εd
Niech
(k)
S2
= {s(k) ∈ Rd : s(k) = α|k + (1/2)1|α−1ek+(1/2)1, k ∈ Zd}.
Typeset by FoilTEX 31
Przypadek supergaussowski II twierdzenie Abela
Twierdzenie Je»eli p(x) speªnia warunek (4), to dla |s| → ∞, s = s(k) ∈ S2(k),
zachodzi
f (s) = f0(s)(1 + O(exp(−((d + 4)/4)α|k|α−2))),
gdzie
f0(s) =
X
exp(hs, k + (1/2)(1 + ε)i − |k + (1/2)(1 + ε)|α).
ε∈A0
Typeset by FoilTEX 32
Przypadek supergaussowski II lokalne twierdzenie
graniczne dla rozkªadów sprz¦»onych
Twierdzenie
(k)
Niech p(x) speªnia warunek (4) oraz |s| → ∞, s = s(k) ∈ S2 .
Je»eli rank B = d, to dla n → ∞ zachodzi
sup |Ps(L(ζ (n) − nx(s)) = x) − n−d/2ϕ(0,LBLT )(n−1/2x)| = o(n−d/2).
x∈Zd
Je»eli rank B = r < d, to dla n → ∞ zachodzi
sup |Ps(L0E(ζ (n)−nx(s)) = x̃)−n−r/2ϕ(0̃,L0B 0(L0)T )(n−1/2x̃)| = o(n−r/2),
x∈Zr
gdzie x̃ = (x1, . . . , xr ) ∈ Rr oraz B 0 = EBE T .
Typeset by FoilTEX 33
Przypadek supergaussowski II twierdzenie o
wielkich odchyleniach
Twierdzenie
Niech sup p(x) < ∞, p(x) speªnia warunek (4) oraz
x∈Zd
ek+(1/2)1 = e(0).
Je»eli rank B = d, to dla n → ∞ i |k| → ∞
pn(nk + (n/2)1) = (2π)−d/2 det(LBLT )−1/2n−d/2ρn2 (k)(1 + o(1)).
Je»eli rank B = r < d, to dla n → ∞ i |k| → ∞
pn(nk + (n/2)1) = (2π)−r/2 det(L0B 0(L0)T )−1/2n−r/2ρn2 (k)(1 + o(1)),
gdzie ρ2(k) =
Typeset by FoilTEX P
¡
α−1
exp (1/2)α|k+(1/2)1|
he
(0)
, εi−|k+(1/2)(1+ε)|
α
¢
.
ε∈A0
34
Sploty sko«czone
Zaªó»my, »e rozkªad wektora losowego ξ jest absolutnie ci¡gªy i n jest ustalone.
Twierdzenie
Niech sup p(x) < ∞ oraz p(x) speªnia warunek (3), gdzie
x∈Rd
r0(t) ∈ H. Wówczas dla dowolnego ustalonego n > 1, przy |x| → ∞ zachodzi
pn(x) = n−d/2(2π)d(n−1)/2n−(n(d−1)−1)/2|x|(n−1)(d−1)/2×
×(r0(|x|/n))−(n−1)(d−1)/2(r00(|x|/n))−(n−1)/2×
× exp(−nr(|x|/n))(1 + θω(|x|)).
Typeset by FoilTEX 35
KONIEC
Typeset by FoilTEX 36