Caªka funkcji wielu zmiennych

Caªka funkcji wielu zmiennych
Konstrukcja caªki jednej zmiennej - przypomnienie:
Denicja 1.
P ⊂ Rn nazywamy dowolny zbiór postaci P = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] ×
. . . [an , bn ] gdzie ai ≤ bi dla i = 1, 2, . . . n.
Prostopadªo±cianem
Denicja 2. Miar¦ prostopadªo±cianu nazywamy obj¦to±ci¡:
|P | = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) . . . (bn − an ).
Denicja 3. Dla prostopadªo±cianu deniujemy równie» ±rednic¦ :
d(P ) =
p
(b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + · · · + (bn − an )2 .
Denicja 4. Podziaª prostopadªo±cianu:
Denicja 5.
‘rednic¡ podziaªu
nazywamy najwi¦ksz¡ ±rednic¦ w±ród prostopadªo±cianów w podziale tzn.
d(P) = max{d(Pi ) : i = 1, . . . , k}
Denicja 6. Ci¡g podziaªów PN nazywamy normalnym, je»eli ci¡g ±rednic d(PN ) zmierza do zera przy
N zmierzaj¡cym do niesko«czono±ci.
Denicja 7. Niech b¦dzie dana funkcja f : P −→ R oraz podziaª prostopadªo±cianu P = {P1 , P2 , . . . , Pk }.
Okre±lamy tzw.
sum¦ górn¡
Je»eli dla dowolnego normalnego ci¡gu podziaªów ci¡g sum górnych jest zbie»ny do granicy która nie
zale»y od wyboru samego ci¡gu podziaªów (normalnego), to granic¦ t¡ nazywamy caªk¡ górn¡ z funkcji f
po prostopadªo±cianie |P |.
Podobnie okre±lamy sum¦ doln¡ jako
Je»eli dla dowolnego normalnego ci¡gu podziaªów ci¡g sum dolnych jest zbie»ny do granicy która nie
zale»y od wyboru samego ci¡gu podziaªów (normalnego), to granic¦ t¡ nazywamy caªk¡ doln¡ z funkcji f
po prostopadªo±cianie |P |.
Denicja 8. Niech b¦dzie dana funkcja f : P −→ R. Je»eli istniej¡ i s¡ sobie równe caªki górna i dolna z
funkcji f po prostopadªo±cianie P to liczb¦ t¡ nazywamy n
po prostopadªo±cianie P i oznaczamy
Z
P
f , lub
Z
- krotn¡ caªk¡ w sensie Riemanna
Z
f dx1 dx2 . . . dxn
...
P
Twierdzenie 9.
Twierdzenie 10. Twierdzenie Fubiniego dla prostopadªo±cianu
Przykªad 1.
z funkcji f
Denicja 11. Zbiór D nazywamy ograniczonym je»eli istnieje prostopadªo±cian P taki, »e D ⊂ P.
Denicja 12. Niech b¦dzie dana funkcja f : D −→ R, gdzie D jest zbiorem ograniczonym. Istnieje
wówczas prostopadªo±cian P taki, »e D ⊂ P. Funkcj¦
f˜(x) =
nazywamy rozszerzeniem f do prostopadªo±cianu P.
Uwaga 13. Niech funkcja f b¦dzie okre±lona na zbiorze ograniczonym D. Je»eli dla pewnego rozszerzenia
f˜ funkcji f do prostopadªo±cianu P istnieje
Z
f˜
P
to analogiczna caªka istnieje dla ka»dego rozszerzenia funkcji f. Co wi¦cej wszystkie te caªki s¡ sobie równe.
Denicja 14. Funkcj¦ f : D −→ R nazywamy caªkowaln¡ w sensie Riemanna poR zbiorzeRograniczonym
D je»eli caªkowalne jest jej rozszerzenie f˜ do prostopadªo±cianu P. Przyjmujemy
wcze±niejszej uwagi denicja jest poprawna.
D
f =
P
f˜. Na mocy
Twierdzenie 15. Je»eli funkcje f, g : D −→ R s¡ caªkowalne (tzn. istniej¡ caªki Riemanna z tych funkcji
po
zbiorze
D)
to
f + g, f − g i λf dla dowolnej staªej λ ∈ R. Ponadto
Z
(f + g) =
D
Z
(f − g) =
DZ
(λf ) =
D
s¡
zachodz¡ wzory:
Z
Z
f+
ZD
g,
ZD
f−
λ
g,
D
D
Z
f.
D
Denicja 16. miara Jordana zbioru:
Twierdzenie 17. Miara Jordana zbioru a caªka Riemanna
caªkowalne
funkcje
Twierdzenie 18. Caªka na sumie zbiorów
Zbiory normalne i regularne
Denicja 19. Zbiór normalny w R i R2 .
Denicja 20. Zbiór regularny
Denicja 21. Zbiór normalny
Twierdzenie 22 (Twierdzenie Fubiniego dla obszaru normalnego). Niech f : D −→ R b¦dzie funkcj¡
ci¡gªa gdzie D jest zbiorem normalnym, st¡d
D = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ) ∈ G,
φ(x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ) ≤ xi ≤ ψ(x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn )}.
dla pewnych: wspóªrz¦dnej xi , zbioru regularnego G ⊂ Rn−1 oraz funkcji ci¡gªych φ, ψ : G −→ R. Wówczas
Z
Z
f=
D
Przykªad 2.
Z
Z
ψ(x1 ,...,xi−1 ,xi+1 ,...,xn )
...
f dxi
G
φ(x1 ,...,xi−1 ,xi+1 ,...,xn )
!
dx1 ...dxi−1 dxi+1 ...dxn