materiał diagnostyczny z matematyki

Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
dysleksja
MATERIAà DIAGNOSTYCZNY
Z MATEMATYKI
Arkusz II
POZIOM ROZSZERZONY
ARKUSZ II
GRUDZIEē
Czas pracy 150 minut
ROK 2005
Instrukcja dla ucznia
1. SprawdĨ, czy arkusz zawiera 12 ponumerowanych stron.
Ewentualny
brak
zgáoĞ
przewodniczącemu
zespoáu
nadzorującego badanie.
2. Rozwiązania i odpowiedzi zapisz w miejscu na to
przeznaczonym.
3. W rozwiązaniach zadaĔ przedstaw tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. UĪywaj dáugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie uĪywaj korektora, a báĊdne zapisy wyraĨnie przekreĞl.
6. PamiĊtaj, Īe zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
7. MoĪesz korzystaü z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora.
8. Wypeánij tĊ czĊĞü karty odpowiedzi, którą koduje uczeĔ. Nie
wpisuj Īadnych znaków w czĊĞci przeznaczonej dla
oceniającego.
9. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datĊ urodzenia i PESEL.
pola odpowiadające cyfrom numeru PESEL. BáĊdne
Zamaluj
zaznaczenie otocz kóákiem
i zaznacz wáaĞciwe.
ĩyczymy powodzenia!
Wypeánia uczeĔ przed rozpoczĊciem pracy
Za rozwiązanie
wszystkich zadaĔ
moĪna otrzymaü
áącznie
50 punktów
Wypeánia uczeĔ
przed rozpoczĊciem
pracy
PESEL UCZNIA
KOD UCZNIA
Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
2 Materiaá pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania
Matematyka – grudzieĔ 2005 r.
Zadanie 11. (6 pkt)
Wyznacz wszystkie liczby caákowite k , dla których funkcja f ( x)
przyjmuje wartoĞci dodatnie dla kaĪdego x  R .
x 2 2k ˜ x 2k 5
4
Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
Materiaá pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania 3
Matematyka – grudzieĔ 2005 r.
Zadanie 12. (5 pkt)
y
–2
1
x
PowyĪszy rysunek przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji wielomianowej W x stopnia trzeciego. Jedynymi miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby 2 oraz 1,
a pochodna W ' (2) 18 .
a) Wyznacz wzór wielomianu W x .
b) Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu tego wielomianu w punkcie o odciĊtej
x 3.
Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
4 Materiaá pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania
Matematyka – grudzieĔ 2005 r.
Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
Materiaá pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania 5
Matematyka – grudzieĔ 2005 r.
Zadanie 13. (5 pkt)
x4
, a nastĊpnie korzystając z tego wykresu, wyznacz
x2
x4
wszystkie wartoĞci parametru k , dla których równanie
k , ma dwa rozwiązania,
x2
których iloczyn jest liczbą ujemną.
SporządĨ wykres funkcji f ( x)
Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
6 Materiaá pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania
Matematyka – grudzieĔ 2005 r.
Zadanie 14. (4 pkt)
Niech A, B  : bĊdą zdarzeniami losowymi, takimi Īe P A
Zbadaj, czy zdarzenia A i B są rozáączne.
5
7
oraz PB .
12
11
Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
Materiaá pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania 7
Matematyka – grudzieĔ 2005 r.
Zadanie 15. (5 pkt)
2
2
2
,
,
, ... .
2
p 1 p 1 p 13
Wyznacz wszystkie wartoĞci p , dla których granicą tego ciągu jest liczba:
Dany jest nieskoĔczony ciąg geometryczny postaci:
a) 0.
b) 2.
2,
Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
8 Materiaá pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania
Matematyka – grudzieĔ 2005 r.
Zadanie 16. (7 pkt)
Dane jest równanie postaci cos x 1 ˜ cos x p 1 0 , gdzie p  R jest parametrem.
a) Dla p
1 wypisz wszystkie rozwiązania tego równania naleĪące do przedziaáu 0 ; 5 .
p,
b) Wyznacz wszystkie wartoĞci parametru
ma w przedziale S ; S trzy róĪne rozwiązania.
dla
których
dane
równanie
Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
Materiaá pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania 9
Matematyka – grudzieĔ 2005 r.
Zadanie 17. (4 pkt)
W trójkącie prostokątnym ABC ( )BCA 90D ) dane są dáugoĞci przyprostokątnych: BC
i
CA
a
b . Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta przecina przeciwprostokątną
AB w punkcie D . WykaĪ, Īe dáugoĞü odcinka CD jest równa
pomocniczy rysunek uwzglĊdniając podane oznaczenia.
a ˜b
˜ 2 . SporządĨ
ab
Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
10 Materiaá pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania
Matematyka – grudzieĔ 2005 r.
Zadanie 18. (8 pkt)
Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu R 5 2 ,
wiedząc ponadto, Īe jedna z przekątnych tego czworokąta ma dáugoĞü 10, zaĞ iloczyn sinusów
3
wszystkich jego kątów wewnĊtrznych równa siĊ .
8
Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
Materiaá pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania 11
Matematyka – grudzieĔ 2005 r.
Zadanie 19. (6 pkt)
Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, Īe kaĪda liczba naturalna n t 5
speánia nierównoĞü 2n ! n 2 n 1 .
Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl
12 Materiaá pomocniczy do doskonalenia nauczycieli w zakresie diagnozowania, oceniania i egzaminowania
Matematyka – grudzieĔ 2005 r.
BRUDNOPIS