Impulsowe portfele inwestycyjne: modelowanie rynku

Transkrypt

I NSTYTUT M ATEMATYCZNY P OLSKIEJ A KADEMII NAUK
Impulsowe portfele inwestycyjne: modelowanie rynku,
zabezpieczanie, optymalizacja
Jan Palczewski
Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem
prof. dr hab. Łukasza Stettnera
Warszawa, 12 kwietnia 2005
Prace nad rozprawa˛ wspomagane były przez granty PBZ-KBN-016-P03-1999 i KBN-1-P03A-012-28.
Spis treści
Wst˛ep
1
2
3
5
Modelowanie rynku za pomoca˛ przepływów pieni˛eżnych
Rynek doskonały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ograniczenia na skład portfela . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proporcjonalne koszty transakcji . . . . . . . . . . . . . . . .
Proporcjonalne koszty z ograniczeniami na zawartość portfela
1.1 Arbitraż . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Lipschitzowskie deflatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konstrukcja przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dowód własności C i L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Warunkowa własność Lipschitza . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Ciagłe
˛ deflatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Dobry zbiór deflatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Wycena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wycena arbitrażowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cena zabezpieczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
10
11
11
11
12
14
18
18
22
24
26
27
29
29
30
Modelowanie i wycena opcji amerykańskich
2.1 Model rynku amerykańskiego . . . . . .
Przeliczalny model . . . . . . . . . . . .
2.2 Rynek europejski vs. rynek amerykański .
2.3 Wycena opcji amerykańskich . . . . . . .
Rynek rozszerzony . . . . . . . . . . . .
Brak kosztów transakcji . . . . . . . . . .
2.4 Przykład . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
34
39
39
40
42
44
47
Sterowanie impulsowe
3.1 Procesy Markowa . . . . . . . .
3.2 Sterowanie . . . . . . . . . . .
3.3 Równanie Bellmana . . . . . . .
Granica rozwiazań
˛
czastkowych
˛
Twierdzenie o punkcie stałym .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
51
53
54
57
57
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
4
4
SPIS TREŚCI
Problem portfelowy z kosztami za transakcje
4.1 Wyniki wst˛epne . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Problem optymalizacyjny . . . . . . . . . .
4.3 Ograniczona funkcja F . . . . . . . . . . .
4.4 Nieograniczona funkcja F . . . . . . . . .
4.5 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dyfuzja z ograniczonymi współczynnikami
Multiplikatywny proces cen . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
61
64
66
71
73
73
79
Wst˛ep
Poczawszy
˛
od słynnego modelu Blacka-Scholesa w matematyce finansowej sa˛ powszechnie stosowane strategie ciagłe,
˛
tzn. strategie inwestycyjne, które powoduja˛ zmian˛e portfela aktywów w każdym
momencie. Jest to dalekie uproszczenie, co pokazała praca Cvitanić’a, Shreve’a i Sonera [5], w której
udowodniono, że optymalna˛ cena˛ zabezpieczenia opcji kupna na aktywo przy proporcjonalnych kosztach transakcji w modelu Blacka-Scholesa jest zakup tego aktywa w momencie wystawienia opcji,
czyli zastosowanie strategii trywialnej. Remedium na to można szukać w modelach z czasem dyskretnym. Kolejne transakcje sa˛ oddzielone od siebie o ustalony okres i znacznie lepiej oddaja˛ zachowanie
rzeczywistego rynku. Jednak liczba transakcji w ograniczonym okresie jest ograniczona z góry. Tej
wady pozbawione jest podejście impulsowe, które tworzy niejako pomost pomi˛edzy modelami ciagły˛
mi i dyskretnymi. Tutaj rynek funkcjonuje w sposób ciagły,
˛
pozwalajac
˛ na dokonanie transakcji w dowolnym momencie. Inwestor działa impulsowo, jego decyzje transakcyjne tworza˛ zbiór izolowanych
punktów na osi czasu. W każdym ograniczonym okresie dochodzi do skończonej liczby działań na
rynku. Impulsowe strategie inwestycyjne sa˛ uogólnieniem strategii dyskretnych, pozbawionych wad
tych ostatnich. Co wi˛ecej, wydaja si˛e one bardzo dobrze pasować do tego, co obserwujemy w rzeczywistości. Niniejsza rozprawa poświ˛econa jest różnym aspektom strategii impulsowych, poczawszy
˛
od
budowy modeli, przez wycen˛e instrumentów pochodnych, znajdowanie strategii zabezpieczajacych,
˛
aż do tzw. optymalizacji portfelowej.
W rozdziale 1 prezentuj˛e nowatorski sposób modelowania rynku, zaproponowany w pracy Jouini,
Napp [12]. O ile powszechnie dzieli si˛e model na dwie cz˛eści: model cen akcji i sposoby inwestowania, czyli dost˛epne strategie inwestycyjne, to tutaj połaczone
˛
jest to w jedno. Z każda˛ strategia˛ inwestycyjna˛ możemy zwiazać
˛ strumienie pieni˛eżne, skierowane od lub do inwestora. Te strumienie, zwane przepływami, sa˛ tym, co w ostatecznym rozrachunku inwestora interesuje. Dlatego zapominamy
o strategii i rynku, na którym inwestujemy, i pozostawiamy reprezentacj˛e pod postacia˛ zbiorów przepływów. Przepływy te maja˛ przypisane losowe momenty, w których nast˛epuja.˛ Ten zbiór przepływów
i momentów ich wystapienia
˛
dla ustalonej strategii inwestycyjnej nazywany jest możliwościa˛ inwestycyjna.˛ Rzeczywistość finansowa˛ opisujemy przez podanie wszystkich możliwości inwestycyjnych
dost˛epnych dla inwestora. To podejście pozwala na uj˛ecie ogromnego bogactwa rynku, jednoczesne
rozważanie wielu "niedoskonałości", jak koszty transakcji, ograniczenia na skład portfela, brak rachunku bankowego itp. Ponadto zbiór aktywów może zawierać obligacje z możliwościa˛ bankructwa,
akcje płacace
˛ dywidendy i wiele innych.
Powyższe intuicje wymagaja˛ jeszcze ścisłego, matematycznego sformalizowania: skonstruowania
przestrzeni, której elementami sa˛ możliwości inwestycyjne. Ponadto, w celu dalszych badań należy
jeszcze wprowadzić poj˛ecie uczciwości rynku, które w dużym stopniu zależy od wyboru przestrzeni.
W pracy [12] Jouini i Napp konstruuja˛ model, w którym przepływy moga˛ zachodzić w momentach
stopu o przeliczalnej liczbie wartości. Dowodza˛ nast˛epnie, że uczciwość rynku jest równoważna istnieniu deflatora dla rynku, analogu g˛estości miary martyngałowej. Uogólnienie tych wyników na
ogólne momenty stopu, czyli dowolna˛ strategi˛e impulsowa,˛ miało miejsce w opublikowanej już pracy
5
6
WSTEP
˛
autora [21], (patrz podrozdział 1.3). Twierdzenie o równoważności uczciwości rynku i istnieniu deflatora zostało dowiedzione przy technicznym "warunku ruletki", analogicznym do tego w pracy [12].
Bazujac
˛ na pracy Jouini, Napp, Schachermayer [13] udaje si˛e pozbyć tego warunku.
W istniejacej
˛ literaturze brakowało rozważań nad "poprawna"
˛ definicja˛ uczciwości rynku, czyli
definicja,˛ która jest spójna matematycznie i odpowiada intuicjom. W podrozdziale 1.2 podejmuj˛e ten
temat. Okazuje si˛e, że modele prezentowane w pracach Jouini, Napp [12], Napp [20], Jouini, Napp,
Schachermayer [13] maja˛ poważne wady. Wynikiem tych rozważań jest powstanie dodatkowych modeli, zaprezentowanych w podrozdziałach 1.4 i 1.5.
Rozdział 1 kończy si˛e rozważaniami na temat wyceny instrumentów pochodnych i zwiazku
˛
deflatorów z tym zagadnieniem. Przedstawione rezultaty sa˛ podobne do tych z pracy Napp [20], lecz
dowody sa˛ krótsze i bardziej elementarne.
Rozdział 2 prezentuje tematyk˛e całkowicie nowa,˛ nigdzie dotychczas w literaturze nie poruszana.˛
Zawiera materiały przeznaczone do publikacji w najbliższej przyszłości. Poświecony jest zagadnieniu
wyceny opcji amerykańskich w modelach podobnych do opisywanych powyżej. W powszechnym
podejściu dana strategia zabezpiecza wypłat˛e amerykańska,˛ jeśli w każdym momencie stopu wartość
portfela jest nie mniejsza niż żadana
˛
wypłata. Modele z przepływami nie daja˛ informacji o tym, jaka
jest wartość portfela w danym momencie. Sprawdzenie wartości portfela jest równoważne z jego
sprzedaża,˛ likwidacja.˛ Stad
˛ konieczność skonstruowania modelu, który posiadajac
˛ wszystkie zalety
modeli z przepływami, umożliwiałby rozważanie opcji amerykańskich.
Niech A(t) t∈[0,T ] , T > 0, opisuje wypłat˛e amerykańska.˛ Na rynku Blacka-Scholesa cena zabezpieczenia takiej opcji jest równa
sup cena zabezpieczenia wypłaty europejskiej A(τ ) o dacie zapadalności τ ,
τ ∈S
gdzie S jest zbiorem momentów stopu o wartościach w [0, T ]. A zatem zabezpieczanie wypłaty amerykańskiej redukuje si˛e do zabezpieczenia odpowiedniej wypłaty europejskiej, czyli dowolność momentu wykonania nie powoduje wzrostu ceny. Podrozdział 2.3 poświ˛econy jest udowodnieniu, że podobna własność jest prawdziwa w skonstruowanym modelu, jeśli na rynku nie ma kosztów transakcji.
A zatem ograniczenia na zawartość portfela, dywidendy i inne niedoskonałości rynku nie wpływaja˛ na ta˛ własność. Wskazuje to na szczególne znaczenie kosztów transakcji w modelowaniu rynków
finansowych.
Dalsza cz˛eść pracy poświ˛econa jest optymalizacji portfela papierów wartościowych przy wykorzystaniu techniki sterowania impulsowego. W ta˛ tematyk˛e wprowadził mnie prof. Jerzy Zabczyk, któremu należa˛ si˛e wyrazy najgł˛ebszej wdzi˛eczności. Owocem współpracy z prof. Zabczykiem jest praca
[23]. Zainspirowała ona rozważania rozdziału 4, które składaja˛ si˛e na prac˛e [22], napisana˛ wspólnie
z prof. Łukaszem Stettnerem.
Zagadnienia optymalizacji w finansach interesowały naukowców i praktyków od wielu lat. W 1952
roku Harry Markowitz [18] rozwinał
˛ teori˛e statycznej optymalizacji, tzw. analizy portfelowej. Poj˛ecie
statyczny odnosiło si˛e do tego, że portfel inwestycji nie ulegał zmianie od poczatku
˛ inwestycji aż do jej
końca, ustalonego momentu T > 0. Celem było znalezienie w momencie zerowym takiego portfela,
który spełniałby zadane kryterium optymalizacyjne bazujace
˛ na stopie zwrotu i ryzyku ponoszonym
w okresie trwania inwestycji. W latach 1969-71 zagadnienie optymalizacji portfelowej doczekało si˛e
wersji dynamicznej, tzn. takiej, gdy portfel może si˛e zmieniać w każdym momencie w czasie inwestycji (patrz np. Merton [19]). Otworzyło to drog˛e do wielu interesujacych
˛
zagadnień portfelowych.
Uogólnieniem zadania Markowitza jest maksymalizacja oczekiwanej użyteczności wartości portfela
na końcu okresu inwestycji. Użyteczność to inaczej miara zadowolenia z posiadanych dóbr. Innym
7
problemem, inspirowanym długoterminowymi działaniami inwestorów, jest szukanie strategii inwestowania i konsumowania, najlepszej w sensie uzyskanej użyteczności. Ogromna˛ rol˛e odegrało tu
podejście martyngałowe i tzw. metody dualne. Metody te przestaja˛ si˛e sprawdzać, gdy dopuścimy
istnienie kosztów transakcji. Szczególnych trudności przysparza struktura kosztów ze składnikiem
stałym. Eliminuje ona strategie polegajace
˛ na ciagłej
˛
poprawie portfela, gdyż koszty takiego post˛epowania byłyby nieskończone. Stad
˛ odwołanie si˛e do strategii o charakterze impulsowym. Eastham
i Hastings [10] prezentuja˛ zastosowanie metodologii impulsowego sterowania stochastycznego (patrz
Bensoussan, Lions [1]) do rozwiazania
˛
problemu optymalnego inwestowania i konsumpcji przy stałych i proporcjonalnych kosztach transakcji. Specyfika˛ optymalizacji w finansach jest to, że zwykle
koszty impulsów nie wchodza˛ bezpośrednio jako składnik w optymalizowanej wielkości, lecz sa˛ niejako schowane w strukturze dost˛epnych strategii inwestycyjnych. Przyczynia si˛e to do znacznego
utrudnienia rozważanych zagadnień i cz˛esto do niemożliwości bezpośredniego zastosowania istnieja˛
cych twierdzeń (patrz np. twierdzenie 4.10).
W rozdziale 4 przedstawiony jest problem optymalnego inwestowania w celu maksymalizacji średniej użyteczności portfela, a dokładniej
Z ∞
e−αt F N (t), S(t) dt,
E
0
gdzie S(t) jest wielowymiarowym procesem cen, N (t) jest liczba˛ akcji każdego z papierów wartościowych w portfelu, czyli jego składem, α jest stopa˛ dyskonta, zaś F jest funkcja˛ mierzac
˛ a˛ użyteczność lub zadowolenie z portfela. Transakcje sa˛ obarczone kosztami o dość ogólnej formie, np.
suma˛ kosztów proporcjonalnych i stałych. Ponadto zakładamy, że istnieje dodatkowy proces X(t),
który jest obserwowany przez inwestora i reprezentuje zewn˛etrzne czynniki ekonomiczne. Czynniki
te wpływaja˛ na dynamik˛e cen akcji, lecz same nie opisuja˛ kwotowań instrumentów, w które można inwestować. Moga˛ to być wskaźniki inflacji, długu publicznego, bezrobocia, konsumpcji różnych
dóbr, kwotowań niedost˛epnych instrumentów finansowych (np. obligacji stałokuponowych na rynku mi˛edzybankowym) itp. Czynnikiem koniecznym, by stosować teori˛
e sterowania impulsowego jest
markowski charakter modelu. Żadamy
˛
wi˛ec, by proces S(t), X(t) był procesem Markowa. Widać
zatem, że proces X(t) odgrywa rol˛e znaczna,˛ zwi˛ekszajac
˛ możliwości modelowania cen akcji. Ponadto, pozwala lepiej specyfikować w szczegółach i później kalibrować model do rynku. Dokładniejsze
rozważania na ten temat znajduja˛ si˛e w pracy Bieleckiego i Pliski [4].
Oryginalność rozdziału 4 polega na zastosowaniu technik punktu stałego i przestrzeni Banacha
do wykazania istnienia i formy strategii optymalnej wspomnianego problemu optymalizacyjnego dla
szerokiej klasy funkcji użyteczności F i struktury kosztów transakcji. Publikowane prace z dziedziny
optymalizacji w finansach, takie jak Eastham, Hastings [10], Korn [16], Pliska [24], Bielecki, Pliska
[4], stosowały techniki różniczkowe, które nie pozwalały na uzyskanie wyników w takiej ogólności.
Na podkreślenie zasługuje fakt, że uzyskane wyniki pokrywaja˛ przypadek nieograniczonej funkcji
F przy dość słabych założeniach dotyczacych
˛
modelu. Dowodem na to sa˛ podane w podrozdziale 4.5
przykłady obejmujace
˛ wi˛ekszość pojawiajacych
˛
si˛e w literaturze modeli.
Podzi˛ekowania. Chciałbym goraco
˛ podzi˛ekować wszystkim, którzy przyczynili si˛e do powstania
tej pracy. W szczególności składam podzi˛ekowania promotorowi prof. Łukaszowi Stettnerowi oraz
prof. Jerzemu Zabczykowi, którzy poświ˛ecili mi wiele swojego czasu. Wiele zawdzi˛eczam też prof.
Tomaszowi Bojdeckiemu, którego wykłady rozbudziły we mnie zainteresowania probabilistyka.˛ Nie
może tutaj także zabraknać
˛ wyrazów wdzi˛eczności do prof. E. Jouiniego i prof. W. Schachermayera za uwagi dotyczace
˛ pracy [21], które były impulsem do dużej cz˛eści rozważań przedstawionych
w rozdziale 1.
Rozdział 1
Modelowanie rynku za pomoca˛
przepływów pieni˛eżnych
W modelowaniu rynków finansowych szeroko stosowane jest podejście, polegajace
˛ na wzorowaniu
si˛e na funkcjonowaniu lub też postrzeganiu tego rynku przez inwestorów. Skupia si˛e ono z jednej
strony na jak najlepszym oddaniu dynamiki cen akcji, zaś z drugiej – na określeniu dost˛epnych możliwości inwestycyjnych. Podział ten jest podyktowany spojrzeniem inwestora: widzi on rynek, przez
który rozumie ewolucj˛e cen akcji, i swoje możliwości inwestowania. Ta dwudzielność spojrzenia, tak
naturalna, stwarza znaczne problemy, gdy chcemy rozważać koszty transakcji, ograniczenia na skład
portfela i inne tzw. niedoskonałości rynku. Co wi˛ecej, łaczne
˛
rozważanie kilku niedoskonałości jest
praktycznie niemożliwe. Aby posunać
˛ si˛e do przodu, trzeba dokonać rewizji podstaw modelowania.
Zamiast podziału na strategie i ceny akcji, dokonujemy ich połaczenia.
˛
Wynik strategii inwestycyjnej
opisywany jest przy pomocy przepływów pieni˛eżnych. Jeśli kupimy jedna˛ akcj˛e za 5 PLN w momencie 1, zaś sprzedamy ja˛ za 6 PLN w momencie 3, to z naszego punktu widzenia odbyły si˛e dwa
przepływy pieni˛eżne: jeden, ujemny, gdy płaciliśmy za akcj˛e, drugi, dodatni, gdy ja˛ sprzedaliśmy.
Zanotujemy to w nast˛epujacy
˛ sposób:
−5δ1 + 6δ3 .
Podobnie, jeśli S(t) t∈R+ opisuje losowa˛ ewolucj˛e cen akcji, to
−S(τ )δτ + S(σ)δσ ,
gdzie τ ≤ σ sa˛ momentami stopu, reprezentuje przepływy pieni˛eżne zwiazane
˛
z zakupem jednej akcji
w momencie τ i jej sprzedaża˛ w momencie σ. Dalsze przykłady to
−2S(1)δ1 + S(2)δ2 + 1A S(3)δ3 + 1Ac S(4)δ4 ,
gdzie A jest zdarzeniem losowym, lub
θ − S(τ )δτ + S(σ)δσ ,
gdzie θ jest zmienna˛ losowa.˛ Każdy sposób inwestowania opisany jest za pomoca˛ przepływów, które
generuje. Nie ma informacji o użytej strategii, czy procesie cen. Aby dodatkowo umotywować to
twierdzenie, rozważmy nast˛epujace
˛ możliwości inwestowania:
−S 1 (0)δ0 + S 1 (1)δ1 ,
S 1 (1)
− S 2 (1)δ1 + S 2 (2)δ2 .
2
S (1)
9
10
ROZDZIAŁ 1. MODELOWANIE RYNKU ZA POMOCA˛ PRZEPŁYWÓW PIENIE˛ŻNYCH
Jeśli zdecydujemy si˛e na wykorzystanie obu możliwości, to przepływy finansowe zwiazane
˛
z naszym
post˛epowaniem zredukuja˛ si˛e do
−S 1 (0)δ0 +
S 1 (1)S 2 (2)
δ2 .
S 2 (1)
Zatraciliśmy zatem informacj˛e o tym, jak inwestowaliśmy.
Rynek finansowy opiszemy tylko zapomoca˛ możliwości inwestycyjnych, wyrażonych przez przepływy finansowe. Niech Ω, F, (Ft ), P b˛edzie przestrzenia˛ probabilistyczna˛ z filtracja,˛ która spełnia
normalne warunki prawostronnej ciagłości
˛
i zupełności. Przez L0 (Ω, Ft ) oznaczmy przestrzeń zmiennych losowych rzeczywistych Ft -mierzalnych. Niech D(I), I ∈ B(R+ ), b˛edzie zbiorem wyrażeń
postaci
γ1 δτ1 + γ2 δτ2 + · · · + γn δτn ,
gdzie n ∈ N, γi ∈ L0 (Ω, Fτi ), zaś τi jest momentem stopu o wartościach w I, i = 1, . . . , n. Zbiór
czasów I może być odcinkiem [0, T ], cała˛ półprosta˛ R+ lub dowolnym innym zbiorem, np. I = Q.
Jeśli nie b˛edzie to powodować niejasności, zamiast D(I) b˛edziemy pisać D.
DEFINICJA 1.1. Rynkiem nazywamy podzbiór J ⊆ D, który jest dodatnim, wypukłym stożkiem,
tzn.
i) x1 + x2 ∈ J, jeśli x1 , x2 ∈ J,
ii) αx ∈ J, jeśli x ∈ J, α ≥ 0.
Elementy J nazywane sa˛ możliwościami inwestycyjnymi, ponieważ wyrażaja˛ przepływy pieni˛eżne
zwiazane
˛
z dost˛epnymi strategiami inwestowania. Warunek wypukłości J oddaje możliwość skorzystania na raz z wielu możliwości inwestycyjnych dost˛epnych na rynku, jak zilustrowaliśmy powyżej.
Zakładamy nieskończona˛ podzielność inwestycji, czyli warunek, że J jest dodatnim stożkiem. Jest to
założenie techniczne, powszechnie stosowane w matematyce finansowej.
Zwróćmy uwag˛e, że rozważane możliwości inwestycyjne, czy też strategie inwestycyjne, które za
nimi stoja,˛ maja˛ charakter impulsowy. Jest to cecha rzeczywistych rynków, na których nie można
dokonywać transakcji w sposób ciagły,
˛
lecz poszczególne transakcje sa˛ od siebie odległe w czasie.
Przedstawimy szereg przykładów zbiorów możliwości inwestycyjnych reprezentujacych
˛
rynek.
Rynek doskonały
Niech S(t) t≥0 b˛edzie d-wymiarowym adaptowanym procesem stochastycznym o ściśle dodatnich
trajektoriach. Opisuje on ewolucj˛e cen d aktywów. Rozważmy możliwości inwestycyjne postaci
θ − S i (τ )δτ + S i (σ)δσ , i = 1, . . . , d,
gdzie θ ∈ L∞ (Ω, Fτ ∧σ ), zaś τ , σ sa˛ momentami stopu. Rynek J(S) jest generowany przez powyższe
możliwości inwestycyjne, czyli składa si˛e ze wszystkich ich kombinacji liniowych o nieujemnych
współczynnikach. Nie zakładamy, że τ ≤ σ, jednak przyj˛ecie takiego warunku nie zmieniłoby zbioru
J(S).
11
Ograniczenia na skład portfela
Rozważmy proces cen S(t) t≥0 jak powyżej. Dodatni wypukły stożek C ⊆ Rd ujmuje ograniczenia
na skład portfela. W przypadku rynku bez ograniczeń C = Rd , natomiast C = [0, ∞)d odpowiada
brakowi krótkiej sprzedaży. Rynek JCon (S, C) jest generowany przez możliwości inwestycyjne
d
X
θi − S i (τ )δτ + S i (σ)δσ ,
i=1
gdzie θ ∈ L∞ (Ω, Fτ ∧σ ; C), zaś τ , σ sa˛ momentami stopu.
Proporcjonalne koszty transakcji
Zaproponowane podejście do modelowania rynków finansowych pozwala na uwzgl˛ednienie uogólnionych kosztów proporcjonalnych. Ze wzgl˛edu na konieczność zapisania zbioru przepływów pieni˛eżnych zwiazanych
˛
z możliwościami inwestycyjnymi jako stożka, nie możemy rozważać kosztów
stałych. Koszty
proporcjonalne
zakodowane sa˛ w dwóch d-wymiarowych adaptowanych procesach
cen S(t) t≥0 i S 0 (t) t≥0 , które spełniaja˛ warunek
P 0 ≤ S i (t) ≤ S 0i (t) ∀t ≥ 0 = 1, i = 1, . . . d.
Wartość S 0 rozumiemy jako cen˛e, po której możemy dokonać zakupu waloru, zaś S - jako cen˛e, po
której możemy sprzedać walor. Zatem rynek Jcost (S, S 0 ) jest generowany przez
θ − S 0i (τ )δτ + S i (σ)δσ , i = 1, . . . , d,
θ S i (τ )δτ − S 0i (σ)δσ , i = 1, . . . , d,
gdzie θ ∈ L∞ (Ω, Fτ ; [0, ∞)), zaś τ , σ sa˛ momentami stopu spełniajacymi
˛
nierówność τ ≤ σ p.n.
Pierwsza z zaprezentowanych inwestycji polega na zakupie i późniejszej sprzedaży waloru, zaś druga
na krótkiej sprzedaży i późniejszym odkupieniu waloru.
Proporcjonalne koszty z ograniczeniami na zawartość portfela
Zaprezentujemy, jak w prosty sposób opisać rynek, który b˛edzie zawierał obie przedstawione wyżej
niedoskonałości. Niech zatem C, S, S 0 b˛eda˛ dane jak wyżej. Wtedy rynek Jcon,cost (S, S 0 , C) dany jest
jako najmniejszy dodatni wypukły stożek generowany przez możliwości inwestycyjne
d X
θi 1θi ≥0 − S 0i (τ )δτ + S i (σ)δσ − θi 1θi <0 S i (τ )δτ − S 0i (σ)δσ ,
i=1
gdzie θ ∈ L∞ (Ω, Fτ ; C), zaś τ , σ sa˛ momentami stopu, spełniajacymi
˛
τ ≤ σ p.n.
Dotychczas nie narzuciliśmy żadnych technicznych ograniczeń na możliwości inwestycyjne, nie
zakładaliśmy nawet całkowalności. W nast˛epnym podrozdziale zajmiemy si˛e sprecyzowaniem założeń i zastanowimy si˛e nad poj˛eciem uczciwości rynku. Pokażemy, że uczciwość rynku w ogromnym
stopniu zależy od przyj˛etych założeń, w szczególności od topologii zadanej na przestrzeni możliwości
inwestycyjnych.
12
1.1.
Arbitraż
Podstawowy rezultat w matematyce finansowej, czasami nazywany podstawowym twierdzeniem wyceny, mówi, że uczciwość rynku doskonałego zwiazanego
˛
z wielowymiarowym procesem cen
S(t) t≥0 jest tożsama istnieniu równoważnej miary martyngałowej. Wciaż
˛ jednak pozostaje określenie, czym jest uczciwość rynku. Zależy to od warunków narzuconych na proces cen i dopuszczalne
strategie inwestycyjne. Załóżmy, że proces cen jest cádlág i jest całkowalny z p-ta˛ pot˛ega,˛ p ≥ 1.
Określmy horyzont czasowy T i połóżmy
Z T
h(t)dS(t) : h(t) - ograniczony, prognozowalny proces prosty}.
K={
0
Prognozowalnym procesem prostym nazwiemy proces postaci
h(t) =
N
−1
X
λi 1(ti ,ti+1 ] (t),
i=1
dla N ∈ N, momentów 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tN ≤ T i wektora (λ1 , . . . , λN −1 ), odpowiednio
Fti -mierzalnych zmiennych losowych, dla których całka w definicji K jest dobrze określona.
Rynek uznamy za uczciwy, jeśli K − B+ ∩ Lp (Ω, FT ) = {0}, gdzie B+ = Lp+ (Ω, FT ) ∩
L∞ (Ω, FT ). Uczciwość ta jest równoważna istnieniu równoważnej miary martyngałowej o g˛estości
całkowalnej z q-ta˛ pot˛ega,˛ przy czym p i q sa˛ liczbami sprz˛eżonymi (patrz praca Strickera [31]).
Natomiast Delbaen i Schachermayer [7] definiuja˛ zbiór strategii


Z T





h(t) - ograniczony, S-całkowalny proces, lim
h(t)dS(t) istnieje p.n.


T →∞ 0
H= h: Z T






h(t)dS(t) > a p.n. dla T ≥ 0


0
dla pewnej stałej a ∈ R i kłada˛
K=
nZ
∞
h(t)dS(t) :
o
h(t) ∈ H .
0
Zakładaja˛ również, że proces cen S(t) jest lokalnie ograniczonym semi-martyngałem. Dowodza˛ wtedy, że uczciwość rynku, zapisana jako C ∩ L∞
ecie jest w topologii L∞ ,
0 (Ω, F) = {0}, gdzie domkni˛
zaś C = (K − L0+ (Ω, F)) ∩ L∞ (Ω, F), jest tożsama istnieniu równoważnej miary probabilistycznej,
przy której proces cen jest martyngałem lokalnym.
Jeszcze inaczej prezentuja˛ si˛e wyniki w czasie dyskretnym. Widzimy zatem, że na postać uczciwości rynku maja˛ znaczny wpływ zarówno założenia dotyczace
˛ rozważanych strategii inwestycyjnych,
jak i procesu cen. Stricker ograniczał si˛e do strategii prostych, natomiast Delbaen i Schachermayer
dopuścili strategie dowolne, lecz musieli wtedy dodatkowo wprowadzić ograniczenie na minimalna˛
wartość bogactwa portfela. Także ich wyniki sa˛ różne. W jednym przypadku istnieje miara martyngałowa, zaś w drugim taka, przy której proces cen jest tylko martyngałem lokalnym.
Naszym celem w bieżacym
˛
podrozdziale b˛edzie rozszerzenie powyższych pomysłów na przypadek
rynków opisanych przez przepływy pieni˛eżne. Zajmowali si˛e tym już Jouini, Napp [12] oraz Jouini,
Napp, Schachermayer [13].
DEFINICJA 1.2. Modelem rynku jest para (Γ, τ ), gdzie Γ jest podprzestrzenia˛ liniowa˛ D, a τ jest
lokalnie wypukła˛ topologia˛ na Γ.
13
1.1. ARBITRAŻ
Niech J b˛edzie rynkiem zanurzonym w modelu (Γ, τ ). Połóżmy
Γ+ =
N
nX
γi δτi ∈ Γ :
o
γi ≥ 0, i = 1, . . . , N .
i=1
Naturalne poj˛ecie braku arbitrażu można zapisać jako
(NA) J ∩ Γ+ = {0}.
Łatwo zauważyć, że NA jest równoważne (J − Γ+ ) ∩ Γ+ = {0}. Podobnie jak w powyższych
przykładach, to poj˛ecie jest niewystarczajace.
˛ Proponujemy silniejsza˛ własność, zwana˛ uogólnionym
brakiem arbitrażu (ang. no free lunch)
(NFL) J − Γ+ ∩ Γ+ = {0}, gdzie domkni˛ecie jest dokonywane w topologii τ .
W warunku wyst˛epuje wyrażenie J −Γ+ . Zauważmy, że −Γ+ reprezentuje wszystkie możliwe strategie konsumpcji. Zatem przed dokonaniem domkni˛ecia rozszerzamy możliwości inwestycyjne o konsumpcj˛e.
Topologia τ odgrywa kluczowa˛ rol˛e w definicji uogólnionego arbitrażu. Przy niektórych topologiach rynek może spełniać warunek NFL, zaś przy innych nie. Poprzemy to przykładami, które
pojawia˛ si˛e w nast˛epnych podrozdziałach. A zatem wybranie właściwej topologii wydaje si˛e ważnym
zagadnieniem. Dobrym wyznacznikiem jakości topologii jest jej zgodność z intuicjami, które wypływaja˛ z zachowania rynków finansowych. Problemem tym zajmiemy si˛e w nast˛epnym podrozdziale.
Teraz skupimy si˛e na sformułowaniu analogu fundamentalnego twierdzenia wyceny. Pokażemy, że
brak uogólnionego arbitrażu jest równoważny istnieniu funkcjonału liniowego y na Γ, który oddziela
rynek J od zbioru strategii arbitrażowych Γ+ , tzn. y jest niedodatni na J i ściśle dodatni dla x ∈
Γ+ \ {0}. Głównym narz˛edziem, które b˛edziemy wykorzystywać jest słynne twierdzenie Yana, a
dokładniej jego wersja z pracy [13], która˛ musimy nieznacznie uogólnić.
Niech (X, τX ) b˛edzie lokalnie wypukła˛ liniowa˛ przestrzenia˛ topologiczna.˛ Przez Y oznaczmy
przestrzeń liniowa˛ do niej dualna.˛ Załóżmy, że Y rozdziela punkty X, tzn. dla dowolnych różnych
punktów x1 , x2 ∈ X istnieje y ∈ Y , taki że hx1 , yihX,Y i 6= hx2 , yihX,Y i . Jest to równoważne warunkowi mówiacemu,
˛
że dla dowolnego x ∈ X, x 6= 0, istnieje y ∈ Y spełniajacy
˛ hx1 , yihX,Y i 6= 0.
Załóżmy, że model (Γ, τ ) ma takie zanurzenie w (X, τX ), że obraz Γ jest podprzestrzenia˛ liniowa˛ X,
zaś obraz topologii τ jest zgodny z τX na Γ. Możemy zatem traktować Γ jako podprzestrzeń X. W
przestrzeni dualnej Y wyróżniamy dwa zbiory. Przestrzeń funkcjonałów nieujemnych na Γ+ oznaΓ
Γ
Γ
czona jest przez Y+ + , tj. y ∈ Y+ + ≡ ∀x ∈ Γ+ hx, yihX,Y i ≥ 0. Natomiast przez Y+++ oznaczamy
Γ
przestrzeń funkcjonałów dodatnich na Γ+ , tj. y ∈ Y+++ ≡ ∀x ∈ Γ+ \ {0} hx, yihX,Y i > 0.
Sformułujemy dwa podstawowe założenia dotyczace
˛ przestrzeni X, Y , Γ:
Założenie
˛ (yn )∞
˛ ściśle dodatnich liczb (αn )∞
n=1 ∈ Y istnieje ciag
n=1 , taki że
P∞ C. Dla każdego ciagu
edem topologii σ(Y , X).
n=1 αn yn zbiega w Y wzgl˛
Γ
Założenie L. Dla dowolnej rodziny (yα )α∈I ⊂ Y+ + istnieje przeliczalny podzbiór (yαn )∞
n=1 , taki że
jeśli x ∈ Γ+ i hx, yα i > 0 dla pewnego α ∈ I, to istnieje n, takie że hx, yαn i > 0.
TWIERDZENIE 1.3. Załóżmy, że założenia C i L sa˛ spełnione. Dla dowolnego rynku J zawartego
w modelu (Γ, τ ) warunek braku uogólnionego arbitrażu jest równoważny istnieniu funkcjonału
Γ
y ∈ Y+++ spełniajacego
˛
y J ≤ 0.
14
Dowód. Oznaczmy C = J − Γ+ , gdzie domkni˛ecie wykonane jest w topologii τ . Udowodnimy najpierw prawa˛ implikacj˛e. Wiemy, że C ∩ Γ+ = {0}. Łatwo widzimy, że C ∩ Γ+ = {0}, gdy domkni˛ecie bierzemy w przestrzeni (X, τX ). Na mocy twierdzenia Hahna-Banacha o oddzielaniu (patrz
[8] V.2.12), dla dowolnego x ∈ Γ+ \ {0} istnieje ciagły
˛ funkcjonał liniowy yx ∈ Y na (X, τ ), taki
że hx, yx i > 1 i yx |C ≤ 1. Co wi˛ecej, yx |C ≤ 0, ponieważ C jest dodatnim stożkiem. Z faktu, że
Γ
C ⊇ −Γ+ , wynika, że yx |−Γ+ ≤ 0, czyli yx |Γ+ ≥ 0 i yx ∈ Y+ + .
Rozważmy rodzin˛e (yx )x∈Γ+ \{0} . Na mocy założenia L możemy znaleźć przeliczalna˛ rodzin˛e
˛ hx, yxn i > 0. Założenie
(yxn )∞
n spełniajace
n=1 , taka˛ że dla dowolnego x ∈ Γ+ \ {0} istnieje yx
P
∞
C daje nam ciag
˛ ściśle dodatnich liczb αn o tej własności, że n=1 αn yxn → y w topologii σ(Y , X).
Γ
Oczywiście y ∈ Y+++ i y|C ≤ 0, co kończy ta˛ cz˛eść dowodu.
≤ 0 i y ∈ Y Γ+ daje nam
Implikacja
przeciwna
jest
natychmiastowa.
Najpierw
zauważamy,
że
y
++
J
y C ≤ 0. Weźmy dowolne x ∈ Γ+ ∩ C. Z faktu, że x ∈ C dostajemy hx, yi ≤ 0. Lecz x ∈ Γ+ , a
wi˛ec hx, yi ≥ 0. Łacz
˛ ac
˛ oba wyniki dostajemy hx, yi = 0, skad
˛ x = 0.
Funkcjonał, którego istnienie pokazaliśmy w powyższym twierdzeniu, nazywamy deflatorem dla
Γ
rynku J. Twierdzenie 1.3 dowodzi, że zbiór potencjalnych deflatorów Y+++ może służyć jako równoważne wprowadzenie topologii na przestrzeni Γ. W nast˛epnym podrozdziale skupimy si˛e na analizie
topologii z perspektywy zbioru deflatorów.
1.2.
Topologie
Bieżacy
˛ podrozdział poświ˛ecimy na badanie własności różnych topologii z punktu widzenia poj˛ecia
uogólnionego arbitrażu z nimi zwiazanego.
˛
Dla uproszczenia notacji przyjmiemy, że zbiór momentów transakcji I = R+ . Ograniczymy si˛e do takich modeli rynku, dla których przestrzeń sprz˛eżona
Y , lub inaczej przestrzeń deflatorów, jest podprzestrzenia˛ liniowa˛ przestrzeni procesów mierzalnych
L0 (R+ × Ω, B(R+ ) ⊗ F; R) z dualnościa˛ zadana˛ wzorem
hx, yi = E
N
X
γi y(τi ),
(1.1)
i=1
PN
gdzie x =
i=1 γi δτi jest pewnym elementem Γ, zaś y = y(t) t≥0 jest procesem mierzalnym.
Jest to najszersza możliwa przestrzeń deflatorów, które pozwalaja˛ na stosowanie teorii procesów stochastycznych do ich analizy. Ponadto wszystkie dotychczas rozważane modele z przepływami (patrz
Jouini, Napp [12], Jouini, Napp, Schachermayer [13] i Palczewski [21]) maja˛ powyższa˛ struktur˛e.
Zauważmy, że model (Γ, τ ) i przestrzeń Y musi być tak dobrana, aby wyrażenie (1.1) było dobrze
zdefiniowane. Jeśli spełnione jest założenie
(S1) {δτ : τ jest ograniczonym momentem stopu} ⊆ Γ
to zmienne y(τ ), dla ograniczonych momentów stopu τ , y ∈ Y , sa˛ całkowalne. Możemy wi˛ec skonstruować opcjonaln
a˛ projekcj˛e o y procesu y na mocy twierdzenia 5.1 z monografii He, Wang, Yan
P
[11]. Weźmy x = N
i=1 γi δτi ∈ Γ i zauważmy
hx, yi = E
N
X
i=1
=E
N
X
i=1
γi y(τi ) = E
N
X
E (γi y(τi ) | Fτi )
i=1
γi E (y(τi ) | Fτi ) = E
N
X
i=1
(1.2)
γi o y(τi ).
15
1.2. TOPOLOGIE
Zatem, gdy spełnione jest założenie S1, to Y możemy traktować jako podprzestrzeń przestrzeni procesów opcjonalnych.
Udowodnimy dalsze własności zbioru deflatorów. Oznaczmy
Γ̃ =
N
X
γi δτi ∈ D :
γi ∈ L1 (Ω, Fτi ), i = 1, . . . , N .
i=1
LEMAT 1.4. Niech Γ = Γ̃. Dla dowolnego momentu stopu τ
i)
o y(τ )
∈ L∞ (Ω, Fτ , R) dla y ∈ Y ,
ii)
o y(τ )
> 0 p.n. dla y ∈ Y+++ .
Γ
Dowód. i) Oczywiście {γδτ : γ ∈ L1 (Ω, Fτ , R)} ⊆ Γ. Zatem o y(τ )γ ∈ L1 (Ω, Fτ , R) dla dowolnego γ ∈ L1 (Ω, Fτ , R), czyli o y(τ ) jest ograniczona. Załóżmy przeciwnie, że o y(τ ) nie jest ograniczona. Bez straty ogólności możemy przyjać,
˛ że dodatnia cz˛eść o y(τ ) jest nieograniczona.
Połóżmy
P
o
An = {n ≤ y(τ ) < n + 1}, pn = P(An ), an = n21pn i zdefiniujmy γ ∗ = ∞
1
a
.
Ponieważ
n=1 An n
P∞
P∞ −2
P∞
∗ ∈ L1 (Ω, F , R), lecz E γ ∗o y(τ ) ≥
a
p
=
n
<
∞,
dostajemy
γ
n
n
τ
n=1
n=1
n=1 nan pn =
P∞ −1
= ∞, co prowadzi do sprzeczności.
n=1 n
ii) Weźmy x = 1A δτ , gdzie A = {o y(τ ) ≤ 0} i załóżmy, że P(A) > 0. Ponieważ x ∈ Γ+ \ {0},
dostajemy E o y(τ )1A > 0. Jednak, E o y(τ )1A ≤ 0 z wyboru A, co daje sprzeczność.
Zastanówmy si˛e teraz, czy proste zbiory funkcjonałów, takie jak wszystkie lewostronnie ciagłe
˛ lub
wszystkie prawostronnie ciagłe
˛ adaptowane procesy ograniczone, sa˛ dobrymi przykładami przestrzeni
Y , tzn. czy topologia, która˛ wyznaczaja,˛ jest zgodna z intuicjami. Dla naszych rozważań potrzebny
b˛edzie prosty lemat, którego dowód można znaleźć w pracy Jouini, Napp [12].
LEMAT 1.5. Niech S(t) t≥0 b˛edzie d-wymiarowym procesem spełniajacym
˛
S(τ ) ∈ L1 (Ω, Fτ )
dla dowolnego ograniczonego momentu stopu τ . Na rynku doskonałym J(S) nie ma możliwości
Γ
uogólnionego arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje deflator y ∈ Y+++ , taki że o y(t)S(t) t≥0
jest martyngałem.
W tym celu rozważmy rynek doskonały J(S) dla procesu cen S(t) t≥0 spełniajacego
˛
S(τ ) ∈
1
L (Ω, Fτ ) dla dowolnego ograniczonego momentu stopu τ . Łatwo można dowieść (patrz [12]), że
Γ
J(S) spełnia założenie
uogólnionego arbitraży wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje deflator y ∈ Y+++
taki, że o y(t)S(t) t≥0 jest martyngałem.
Lewostronna ciagłość.
˛
Podamy przykład procesu cen S, dla którego rynek J(S) jest intuicyjnie pozbawiony arbitrażu, lecz dla żadnego adaptowanego, ograniczonego procesu y o lewostronnie
ciagłych
˛
trajektoriach y(t)S(t) nie jest martyngałem. Weźmy jako S(t) całkowicie nieciagły
˛ proces
Levyego ze skokami wi˛ekszymi co do wartości bezwzgl˛ednej niż > 0 i załóżmy, że filtracja (Ft )t≥0
jest przez niego generowana. Niech τ b˛edzie momentem pierwszego skoku. Ograniczenie dolne na
wielkość skoków gwarantuje nam, że moment τ b˛edzie dobrze określony i wi˛ekszy od zera p.n. Filtracja jest trywialna aż do momentu τ −, czyli każdy adaptowany proces musi być stały na [0, τ ). Z
lewostronnej ciagłości
˛
y dostajemy, że y jest stały na [0, τ ]. Z warunku martyngałowości wynika, że
E S(τ )y(τ ) = S(0)y(0), co w połaczeniu
˛
z własnościa˛ y(τ ) = y(0), daje E S(τ ) = S(0). A zatem
w tym modelu rynek J(S) jest pozbawiony uogólnionego arbitrażu tylko wtedy, gdy proces S(t) jest
martyngałem.
Prawostronna ciagłość.
˛
Pokażemy, że przestrzeń Y składajaca
˛ si˛e ze wszystkich adaptowanych
ograniczonych procesów prawostronnie ciagłych
˛
jest zbyt duża, tzn. generuje zbyt słaba˛ topologi˛e na
16
Γ, by objać
˛ intuicyjne rozumienie uczciwości rynku. Rozważmy proces cen S(t) = 1 + 1t≥1 . Wtedy
y(t) = 1 − 21 1t≥1 jest deflatorem dla rynku J(S). Zatem
1
δ 1 + S(1)δ1 ∈ J(S)
φn = −S 1 −
n 1− n
nie zbiega do δ1 . Rozważmy teraz rynek J(S 0 ), gdzie S 0 (t) = 1 + 1t>1 (S 0 jest lewostronnie ciagły
˛
w 1). Jest to symetryczny odpowiednik powyższego przykładu. Wtedy ciag
˛
1
Ψn = −S 0 (1)δ1 + S 0 1 +
δ 1
n 1+ n
zbiega do δ1 , możliwości arbitrażu. Jest to przypadek niesymetrii, który jest niekorzystny i niewytłumaczalny z finansowego punktu widzenia, a jest powodowany zbytnim bogactwem zbioru Y .
Ciagłość.
˛
Połaczeniem
˛
powyższych przypadków jest rozważanie Y jako zbioru wszystkich cia˛
głych, ograniczonych, mierzalnych procesów. Projekcja procesu ciagłego
˛
jest procesem cádlág (patrz
lemat VI.7.8 w ksiażce
˛
Rogersa, Williamsa [26]), jednak rzut Y nie wypełnia całej przestrzeni ograniczonych procesów cádlág. A zatem topologia generowana przez Y jest bogatsza niż w przypadku
procesów prawostronnie ciagłych
˛
i uboższa niż w przypadku procesów lewostronnie ciagłych.
˛
Nie
przejawia ponadto podanych powyżej wad.
Powyższe, wst˛epne rozważania pokazuja,˛ że znalezienie dobrej topologii, gdy patrzymy z punktu
widzenia przestrzeni funkcjonałów Y , nie jest łatwe. W dwóch pierwszych, narzucajacych
˛
sie przykładach wykazaliśmy ich niedoskonałości, natomiast w trzecim trudno przekonać si˛e o jego intuicyjnej
poprawności. Zastanowimy si˛e teraz nad własnościami, których powinniśmy wymagać od topologii τ
określonej na Γ, zapisanymi w j˛ezyku zbieżności.
(CV) Dla dowolnego monotonicznego ciagu
˛ momentów stopu σn → σ p.n. i dowolnego ciagu
˛ zmiennych losowych Zn zbieżnego do Z w L1 (Ω, F), takich że (Zn δσn ) ⊆ Γ i Zδσ ∈ Γ,
Zn δσn → Zδσ
w topologii τ , co jest równoważne
E Zn y(σn ) → E Zy(σ)
dla każdego y ∈ Y .
(R) Zbiór funkcjonałów liniowych Y może być reprezentowany jako rodzina adaptowanych procesów cádlág .
Założenie R jest techniczne. Znaczenie CV stanie si˛e jasne, gdy przedstawimy przykład. Załóżmy, że
ciag
˛ możliwości inwestycyjnych
Φn = −Zn δσn + Z̃δσ
jest zawarty w Γ, Zn zmierza do Z w L1 (Ω, F), σn zbiega do σ. Intuicyjnie, Φn daży
˛ do (Z̃ − Z)δσ .
Założenie CV uściśla właśnie t˛e intuicj˛e.
LEMAT 1.6. Jeśli spełnione sa˛ założenia CV i R, Γ = Γ̃, to dowolny proces y ∈ Y jest ograniczony
na przedziale [0, η], gdzie η jest dowolnym momentem stopu.
1.2. TOPOLOGIE
17
Dowód. Dowód przeprowadzimy przez sprzeczność. Załóżmy, że proces y jest nieograniczony na
pewnym przedziale [0, η]. Ponieważ y jest procesem cádlág, to losowe momenty dojścia σn = inf{t ≤
η : y(t) ≥ n} ∧ η, gdzie inf ∅ = ∞, sa˛ momentami stopu tworzacymi
˛
niemalejacy
˛ ciag.
˛ Ponadto,
σ = limn→∞ σn jest momentem stopu. Niech an = P(yσn ≥ n). Proces y jest nieograniczony na
[0, η] wtedy i tylko wtedy, gdy an > 0 dla każdego n ∈ N. Rozważmy dwa przypadki:
1) an → 0
√
Weźmy Zn = 1yσn ≥n (an n)−1 . Oczywiście E Zn = n−1/2 , wi˛ec Zn ∈ L1 (Ω, Fσn , P) i
√
Zn → 0 w L1 (Ω, Fσ , P). Jednak hy, Zn δσn i = E Zn y(σn ) ≥ n → ∞, co przeczy CV.
2) an > > 0
Weźmy Zn = 1 i obliczmy hy, Zn δσn i = E y(σn ) ≥ n → ∞ oraz hy, δσ i = E y(σ) < ∞. To
także przeczy CV.
Ustosunkujemy si˛e teraz do rozważanych wcześniej zbiorów Y . Powinno to rzucić wi˛ecej światła
na założenia CV i R.
LEMAT 1.7. Załóżmy, że Γ = Γ̃ i topologia generowana jest przez przestrzeń funkcjonałów liniowych Y b˛edac
˛ a˛ przestrzenia˛ mierzalnych, ograniczonych i ciagłych
˛
procesów. Wtedy spełnione sa˛
założenia R i CV.
Dowód. Przestrzeń Y może zostać zastapiona
˛
przestrzenia˛ Y ∗ opcjonalnych projekcji procesów z Y .
Jak wspomnieliśmy, opcjonalna projekcja procesów ciagłych
˛
jest cádlág, czyli spełniony jest warunek
R. Aby wykazać CV rozważmy ciag
˛ Zn , σn jak w definicji. Z ciagłości
˛
y(σn ) zbiega punktowo do
zmiennej losowej y(σ). Ograniczoność y pozwala zastosować twierdzenie o zbieżności zmajoryzowanej
E Zn y(σn ) → E Zy(σ).
LEMAT 1.8. Załóżmy, że Γ = Γ̃, zaś topologia jest generowana przez przestrzeń funkcjonałów
b˛edacych
˛
przestrzenia˛ funkcji ograniczonych, adaptowanych i cádlág . Wtedy nie jest spełnione
założenie CV.
Dowód. Wskażemy ciagi
˛ Zn , σn i y ∈ Y , takie że warunek CV nie b˛edzie spełniony. Niech y(t) =
1t≥η dla pewnego prognozowalnego momentu stopu η. Weźmy Zn = Z = 1 i niemalejacy
˛ ciag
˛
momentów stopu σn zbieżny do η, σn < η. Wtedy E Zn y(σn ) = 0, lecz E Zy(η) = 1.
Podobnie możemy pokazać, że zbiór Y procesów lewostronnie ciagłych,
˛
adaptowanych i ograniczonych generuje topologi˛e na Γ̃ nie spełniajac
˛ a˛ założenia CV. Jeśli porzucimy założenie o ograniczoności procesów w Y , to topologia ulegnie wzbogaceniu, a zbiór ciagów
˛
zbieżnych uszczupleniu.
Takie modele nie b˛eda˛ również spełniały założenia CV.
Na koniec rozważmy istniejace
˛ modele. W pracy Jouini, Napp, Schachermayer [13] autorzy rozważaja˛ duża˛ grup˛e modeli. Niestety, skupiaja˛ si˛e tylko na dwóch różnych zbiorach Y : procesów adaptowanych, prawo- i lewostronnie ciagłych.
˛
Jak pokazaliśmy powyżej, nie maja˛ one dobrych własności
finansowych. W pracy Palczewskiego [21] zbudowany został model, który spełnia założenie CV, gdy
momenty stopu zbiegaja˛ dostatecznie szybko.
Poniżej przedstawimy trzy modele, które spełniaja˛ założenia twierdzenia 1.3 i posiadaja˛ dobre
własności finansowe.
18
1.3.
Lipschitzowskie deflatory
Praca Jouini, Napp [12] wprowadziła pomysł modelowania rynków za pomoca˛ przypływów pieni˛eżnych w sposób przedstawiony w tym rozdziale. Niestety, autorom udało si˛e stworzyć model, który
pozwalał na transakcje tylko w deterministycznych momentach. To podejście zostało rozszerzone w
pracy Napp [20], gdzie transakcje mogły odbywać si˛e w momentach stopu o przeliczalnej liczbie
wartości. Uogólnieniem tego wyniku była praca Palczewskiego [21], w której zbudowano model zezwalajacy
˛ na transakcje w dowolnych momentach stopu. Wszystkie powyższe podejścia wymagały
niestety technicznego założenia nakładanego na rynek J, aby udowodnić twierdzenie 1.3. Nie były
natomiast konieczne założenia C i L. Poniżej przedstawimy konstrukcj˛e modelu z pracy autora [21]
i pokażemy, jak wzorujac
˛ si˛e na artykule Jouini, Napp, Schachermayer [13] pozbyć si˛e technicznego
założenia. Ważna˛ cecha˛ tego modelu jest to, że spełnia on założenia twierdzenia 1.3 przy topologii
normowej, co nie miało miejsca w przypadku modeli zaprezentowanych we wspomnianej pracy [13].
Konstrukcja przestrzeni
Definiujemy przestrzeń liniowa˛ M
M ={
N
X
αi δti :
dla pewnych N ∈ N, (αi ) ⊂ R, (ti ) ⊂ R+ }.
i=1
Wprowadzimy na niej norm˛e. Niech A b˛edzie zbiorem funkcji Lipschitzowskich z wykładnikiem 1
i ograniczonych przez 1, tj.
A = {f : R+ → R :
∀ t, s ∈ R+ |f (t)| ≤ 1 , |f (t) − f (s)| ≤ |t − s|} .
Definiujemy funkcjonał na M wzorem
X
N
kµkM = sup f (ti )αi :
f ∈A ,
i=1
PN
dla µ = i=1 αi δti ∈ M . Jeśli potraktujemy M jako przestrzeń miar, gdzie δt jest miara˛ skupiona˛
w {t}, to k · kM jest norma˛ Fortet-Mouriera, równoważna˛ słabej zbieżności miar. A zatem
LEMAT 1.9. (M , k · kM ) jest przestrzenia˛ z norma.˛
Obliczymy teraz normy prostych elementów.
LEMAT 1.10. Niech α, β ≥ 0, t, s ∈ R+ , t 6= s.
(1) kαδt + βδs kM = α + β
(2) kαδt − βδs kM
(
|α − β| + |t − s|(α ∧ β) |t − s| ≤ 2
=
α+β
|t − s| > 2
Dowód. Cz˛eść (1) jest oczywista, gdy weźmiemy f = 1 ∈ A. Dowód (2) jest bardziej złożony.
Oznaczmy = |t − s|. Jeśli > 2, to istnieje funkcja f ∈ A, taka że f (t) = 1 i f (s) = −1. Realizuje
ona supremum w definicji normy i daje kαδt − βδs kM = α + β.
19
1.3. LIPSCHITZOWSKIE DEFLATORY
Niech ≤ 2. Załóżmy, że α ≥ β. Podamy równoważna˛ charakteryzacj˛e normy kαδt − βδs kM ,
zauważajac,
˛ że interesuja˛ nas tylko wartości funkcji z A w punktach s, t. Weźmy zbiór Ã = {(a, b) :
|a| ≤ 1, |b| ≤ 1, |a − b| ≤ }. Wtedy kαδt − βδs kM = sup(a,b)∈Ã |aα − bβ|. Funkcja b 7→ a0 α − bβ
jest malejaca,
˛ wi˛ec
F (a0 ) :=
sup |a0 α − bβ|
(a0 ,b)∈Ã
= max a0 α − (a0 − ) ∨ −1 β , a0 α − (a0 + ) ∧ 1 β .
Stad
˛ kαδt − βδs kM = supa∈[−1,1] F (a) i dostajemy kαδt − βδs kM = α − β + β.
Zauważmy, że wielopunktowa wersja (1) z powyższego lematu P
ma identyczny dowód. Pozwoli
ona wykazać, że M nie jest przestrzenia˛ zupełna.˛ Weźmy ciag
˛ µn = ni=1 21i δ2i . Spełnia on warunek
P
Cauchy’ego: kµn − µm kM = ni=m 21i dla n > m, lecz jego granica nie leży w M .
DEFINICJA 1.11. (M, k · kM ) jest uzupełnieniem przestrzeni (M , k · kM ).
Oznaczmy przez M0 przestrzeń funkcjonałów liniowych ciagłych
˛
na M. Pokażemy, że jest ona
tożsama z przestrzenia˛ funkcji lipschitzowskich i ograniczonych z dualnościa˛ dana˛ wzorem
hf , µi =
N
X
αi f (ti ),
i=1
gdzie µ =
PN
i=1 αi δti
∈ M, zaś f jest funkcja˛ lipschitzowska,˛ ograniczona.˛
LEMAT 1.12. Niech µ∗ ∈ M0 . Funkcja f (t) = hµ∗ , δt i jest ograniczona i lipschitzowska ze stała˛
C, tzn. istnieje stała C, taka że |f (t)| ≤ C i |f (t) − f (s)| ≤ C|t − s|. W szczególności, powyższe
oszacowanie zachodzi dla C = kµ∗ kM0 .
Dowód. Aby dowieść ograniczoności, wykorzystamy ciagłość
˛
µ∗ . Dla t ∈ R+
|f (t)| = |hµ∗ , δt i| ≤ kµ∗ kM0 kδt kM = kµ∗ kM0 .
Ustalmy t, s ∈ R+ . W podobny sposób dostajemy
|f (t) − f (s)| = |hµ∗ , δt − δs i| ≤ kµ∗ kM0 kδt − δs kM .
Na mocy lematu 1.10 otrzymujemy kδt − δs kM = |t − s| ∧ 2 ≤ |t − s|, co kończy dowód z C =
kµ∗ kM0 .
LEMAT 1.13. Niech f : R+ → R b˛edzie funkcja˛ ograniczona˛ i lipschitzowska,˛ czyli |f (t)| ≤ C
i |f (t) − f (s)| ≤ C|t − s| dla pewnej stałej C. Istnieje wtedy dokładnie jeden funkcjonał liniowy
ciagły
˛ µ∗ ∈ M0 , taki że hµ∗ , δt i = f (t). Ponadto, kµ∗ kM0 ≤ C.
Dowód. Na poczatek
˛ zauważmy, że możemy ograniczyć si˛e do przypadku C = 1. Rozważmy funkcj˛e
f (t)
˜
f (t) = C , która jest ograniczona przez 1 i spełnia warunek Lipschitza ze stała˛ 1. Niech µ̃∗ b˛edzie
funkcjonałem liniowym zwiazanym
˛
z f˜(t). Wtedy µ∗ = C µ̃∗ jest funkcjonałem liniowym, takim że
∗
∗
hµ , δt i = f (t) i kµ kM0 ≤ C. Z jedyności µ̃∗ dostajemy jedyność µ∗ .
20
Załóżmy teraz, że C = 1. Zdefiniujmy µ∗ na przestrzeni rozpi˛etej przez (δt )t∈R+ (tj. przestrzeni
M ) jako hµ∗ , δt i = f (t). Pokażemy, że µ∗ jest liniowy i ciagły
˛
na tej przestrzeni. Liniowość jest
oczywista. Aby wykazać ciagłość
˛
zauważmy, że f jest elementem A, czyli dla dowolnego µ ∈ M
|hµ∗ , µi| = |
X
µ(t)f (t)| ≤ sup |
X
h∈A t∈R
+
t∈R+
µ(t)h(t)| = kµkM .
Zatem kµ∗ kM 0 ≤ 1. Rozszerzamy µ∗ na cała˛ przestrzeń M jako ciagły
˛ funkcjonał liniowy z norma˛
1. To rozszerzenie jest jednoznaczne, gdyż M jest uzupełnieniem M .
Wprowadzimy teraz przestrzeń zmiennych losowych o wartościach w przestrzeni Banacha M,
całkowalnych w sensie Bochnera. Dla jasności przedstawimy zarys konstrukcji, która˛ znaleźć można w monografiach Danforda, Schwarza [8] lub Yosidy [32]. Funkcja X : Ω → M jest zmienna˛ losowa˛ prosta,˛ jeśli jest mierzalna i ma skończona˛ liczb˛e wartości, tzn. istnieje N ∈ N, ciag
˛
(µ
˛
mierzalnych zbiorów (An )n=1,...,N , takich że An ∈ F,
PN N rozłacznych
SNn )n=1,...,N ⊂ M oraz
µ
1
.
Funkcj˛
e X nazwiemy silnie mierzalna,˛ jeśli istnieje ciag
˛ zmienA
=
Ω
i
X
=
n=1 n An
n=1 n
nych losowych prostych zbieżnych do X w normie M dla prawie każdego ω ∈ Ω. Przestrzeń zmiennych silnie mierzalnych, dla których skończona jest wartość oczekiwana E kXkM , oznaczamy przez
L1P (Ω, M). Jest ona przestrzenia˛ Banacha z norma˛
kXkL1 (Ω,M) = E kXkM
P
LEMAT 1.14. Jeśli τ jest nieujemna˛ zmienna˛ losowa,˛ Y ∈ L1 (Ω, F), to Y δτ ∈ L1P (Ω, M).
Dowód. Wskażemy ciag
˛ zmiennych losowych prostych Xn ∈ L1P (Ω, M) zbieżny do Y δτ . Niech
Yn b˛edzie ciagiem
˛
zmiennych losowych prostych zbieżnych do Y p.n. Ustalmy n ∈ N i połóżmy
kn (k+1)n
Ak = τ ∈ [ n2 , n2 ) dla k = 0, . . . , (n2 − 1). Niech
Xn =
2 −1
nX
Yn 1Ak δ kn .
k=0
n2
Wtedy Xn zbiega do Y δτ p.n. na mocy lematu 1.10.
Korzystajac
˛ z pracy Schwartza ([28]) konstruujemy przestrzeń dualna˛ do L1P (Ω, M). Funkcja
Φ : Ω → M0 , gdzie M0 jest przestrzenia˛ sprz˛eżona˛ do M, nazywa si˛e *-słabo mierzalna, jeśli
dla każdego x ∈ M funkcja ω 7→ hΦ(ω), xi jest mierzalna jako funkcja z Ω do R. Niech L∞ (Ω, M0 )
b˛edzie przestrzenia˛ wszystkich *-słabo mierzalnych funkcji Φ, dla których
inf{K ≥ 0 : kΦkM0 ≤ K p.n.} < ∞.
Wprowadzamy relacj˛e równoważności w zbiorze L∞ (Ω, M0 ): Φ ∼ Ψ, gdy ∀x ∈ M hΦ, xi = hΨ, xi
p.n. Połóżmy
0
∞
0
L∞
∗ (Ω, M ) = L (Ω, M )/ ∼
i zdefiniujmy funkcjonał
kΦkL∞
0 = inf kφkL∞ (Ω,M0 ) = inf{K ≥ 0 : kΦkM0 ≤ K p.n.}.
∗ (Ω,M )
φ∼Φ
21
0
TWIERDZENIE 1.15. ([28]) Przestrzeń (L∞
0 ) jest przestrzenia˛ Banacha. Jest
∗ (Ω, M ), k · kL∞
∗ (Ω,M )
1
ona przestrzenia˛ sprz˛eżona˛ do LP (Ω, M) z dualnościa˛ zadana˛ wzorem:
= E hΨ, XihM0 ,Mi ,
L1P (Ω, M) 3 X 7→ hΨ, XihL∞
1
0
∗ (Ω,M ),L (Ω,M)i
P
0
gdzie Ψ ∈ L∞
∗ (Ω, M ).
0
Przestrzeń L∞
∗ (Ω, M ) może być postrzegana jako przestrzeń mierzalnych procesów stochastycznych y : R+ × Ω → R (tzn. mierzalnych jako P
funkcja dwóch zmiennych), ograniczonych i lipschitzowsko ciagłych.
˛
Na elementach postaci X = N
i=1 γi δτi dualność jest dana wzorem
hy, Xi = E
N
X
γi y(τi ).
i=1
0
TWIERDZENIE 1.16. Element Ψ ∈ L∞
∗ (Ω, M ) może być postrzegany jako mierzalny proces stochastyczny y(t)(ω) : R+ × Ω → R zadany przez y(t) = hδt , ΨihM,M0 i , jednoznaczny z dokładnościa˛ do nieodróżnialności, o trajektoriach ograniczonych przez kΨkL∞
0 i lipschitzowsko
∗ (Ω,M )
ciagłych
˛
ze stała˛ kΨkL∞
0 dla prawie wszystkich ω ∈ Ω.
∗ (Ω,M )
0
Dowód. Najpierw pokażemy, że Ψ ∈ L∞
∗ (Ω, M ) definiuje proces y o podanych własnościach. Zauważmy najpierw, że zmienna losowa y(t) zdefiniowana w twierdzeniu jest mierzalna dla dowolnego
t ∈ R+ , ponieważ Ψ jest *-słabo mierzalne. Dla dowolnego ω ∈ Ω funkcja t → hδt , Ψ(ω)ihM,M0 i
spełnia warunek Lipschitza i jest ograniczona przez stała˛ kΨ(ω)kM . Stad
˛ y(t)t∈R+ jest procesem
mierzalnym (patrz np. Uwaga 1.14 w Karatzas [14]).
Weźmy Φ, inny element z klasy abstrakcji Ψ i zdefiniujmy z(t) = hδt , ΦihM,M0 i . Wiemy, że dla
dowolnego µ ∈ M mamy hµ, ΨihM,M0 i = hµ, ΦihM,M0 i p.n., wi˛ec z(t) jest modyfikacja˛ y(t), lecz
dla procesów ciagłych
˛
jest to równoważne nieodróżnialności.
Ostatnie stwierdzenie wynika z definicji normy k · kL∞
0 .
∗ (Ω,M )
Teraz wykażemy przeciwna˛ implikacj˛e. Niech y(t, ω) b˛edzie procesem spełniajacym
˛
warunki
twierdzenia. Pokażemy, że jednoznacznie definiuje on funkcjonał liniowy na L1P (Ω, M). Niech H
b˛edzie podprzestrzenia˛ liniowa˛ L1P (Ω, M) rozpi˛eta˛ przez zmienne losowe postaci 1A δt , A ∈ Ft ,
t ∈ R+ . Definiujemy funkcjonał liniowy Ψ na H wzorem: h1A δt , Ψi = E 1A y(t). Liniowość jest
oczywista,
pozostaje tylko wykazać ciagłość.
˛
Weźmy Y ∈ H. Możemy zapisać Y w postaci Y =
PK
α
1
δ
dla
pewnych
K,
A
∈
F
,
t
∈ R+ , αk ∈ R, k = 1, . . . , K. Zatem
t
t
A
k
k
k
k
k
k
k=1
Ψ(Y ) =
K
X
αk h1Ak δtk , Ψi =
k=1
K
X
=E
k=1
K
X
αk E 1Ak y(tk )
k=1
αk 1Ak y(tk ) =
Z X
K
αk 1Ak (ω)y(tk )(ω)dP(ω).
Ω k=1
Dla prawie wszystkich ω ∈ Ω, y(t)(ω) jako funkcja t ∈ R+ jest lipschitzowsko ciagła
˛ z pewna˛ stała˛
L i ograniczona przez L. Ustalmy ωP∈ Ω. Na mocy lematu 1.13 y(t)(ω) definiuje funkcjonał liniowy
ciagły
˛ na M z norma˛ L. Ponieważ K
k=1 αk 1Ak (ω)δtk ∈ M dostajemy
X
X
K
K
α
1
(ω)y(t
)(ω)
≤
L
α
1
(ω)δ
t
A
A
k
k
k
k
k
k
k=1
k=1
M
= LkY (ω)kM .
22
Zatem
Z X
Z K
K
X
hY , Ψi = αk 1Ak (ω)y(tk )(ω)dP(ω)
αk 1Ak (ω)y(tk )(ω)dP(ω) ≤
Ω k=1
Ω
Z k=1
LkY (ω)kM dP(ω) = LkY kL1 (Ω,M)
≤
P
Ω
Rozszerzamy teraz Ψ na cała˛ przestrzeń L1P (Ω, M) jako funkcjonał liniowy ciagły
˛
(Yosida [32],
twierdzenie IV.5.1). Zauważmy, że h1A δτ , Ψi = E 1A y(τ ) dla dowolnego momentu stopu τ i zbioru A ∈ Fτ . Niech τn b˛edzie ciagiem
˛
momentów stopu o skończonej liczbie wartości zbiegajacych
˛
M
do τ prawie na pewno. Na mocy lematu 1.10 1A δτn −→ 1A δτ p.n. i z twierdzenia o zbieżności
zmajoryzowanej 1A δτn → 1A δτ w L1P (Ω, M). Stad
˛ h1A δτn , Ψi → h1A δτ , Ψi. Z drugiej strony
E 1A y(τn ) → E 1A y(τ ) z twierdzenia z zbieżności zmajoryzowanej (y(t) jest ograniczone przez
L). Czyli h1A δτ , Ψi = E 1A y(τ ). Identyczne rozumowanie prowadzi do wniosku, że dla dowolnego
Θ ∈ L1 (Ω, Fτ , P) mamy hΘ δτ , Ψi = E Θy(τ ).
Dowód własności C i L
0
Powróćmy do notacji z podrozdziału 1.1. Połóżmy X = L1P (Ω, M), Y = L∞
∗ (Ω, M ). Rozważmy
model (Γ, τ ), gdzie
Γ=
N
X
γi δτi ∈ D :
γi ∈ L1 (Ω, Fτi ), i = 1, . . . , N ⊆ L1P (Ω, M),
i=1
zaś τ jest indukowana˛ topologia˛ z L1P (Ω, M). Na mocy twierdzenia 1.16 przestrzeń Y możemy
identyfikować
ze zbiorem procesów mierzalnych, ograniczonych i lipschitzowsko ciagłych.
˛
Dla µ =
PN
∞
0
i=1 γi δτi ∈ Γ i y ∈ L∗ (Ω, M )
hµ, yihL1 (Ω,M),L∞
=E
0
∗ (Ω,M )i
P
N
X
γi y(τi ) = E
i=1
N
X
γi o y(τi ).
i=1
Wykażemy teraz, że spełnione sa˛ założenia twierdzenia 1.3. Zauważmy, że z faktu, że X i Y sa˛
przestrzeniami Banacha w dualności normowej wynika, że X jest przestrzenia˛ lokalnie wypukła,˛ zaś
Y oddziela punkty X. Założenie C jest bezpośrednim wnioskiem z tego, że topologia σ(Y , X) jest
−1
−n ,
równoważna topologii zadanej przez norm˛e k · kL∞
0 : jeśli weźmiemy αn = kyn kL∞ (Ω,M0 ) 2
∗ (Ω,M )
∗
to ciag
˛
X
n
αn yn
i=1
n>0
0
jest ciagiem
˛
Cauchy’ego w L∞
∗ (Ω, M ) i tym samym jest zbieżny. Wystarczy zatem udowodnić
TWIERDZENIE 1.17. Model (Γ, τ ) spełnia warunek L.
Dowód. W dowodzie wykorzystamy pomysły z pracy Jouini, Napp, Schachermayer [13]. Niech
Γ
(yα )α∈I ⊂ Y+ + b˛edzie dana˛ rodzina˛ funkcjonałów. Skonstruujemy ciag
˛ (αn ) ⊂ I, o którym później
pokażemy, że spełnia warunki założenia L. W dowodzie b˛edziemy szeroko używać opcjonalnych projekcji procesów, które b˛edziemy oznaczać o y. Przypomnijmy, że o y jest procesem cádlág dla y ∈ Y .
23
Γ
Zauważmy także, że y ∈ Y+ + wtedy i tylko wtedy, gdy o y(t) ≥ 0 dla każdego t ∈ R+ (patrz dowód
lematu 1.4). Niech (Ui )∞
edzie rodzina˛ wszystkich otwartych przedziałów w R+ z wymiernymi
n=1 b˛
końcami. Kładziemy
Ai,α = {ω :
o
yα (t)(ω) > 0 ∀t ∈ Ui } , i ∈ N, α ∈ I.
˛ S(niekoniecznie jedyny) (αn (i))∞
Ustalmy i ∈ N. Możemy znaleźć ciag
n=1 ⊂ I, taki że Ai,α ⊆ Ai
A
.
Jednym
ze
sposobów
na otrzymanie tego ciagu
˛
p.n. dla dowolnego α ∈ I, gdzie Ai = ∞
n=1 i,αn (i)
αn (i) jest iteracyjna konstrukcja: gdy już znajdziemy go dla n < N , kładziemy
αN (i) ∈ α : P(Ai,α \ BN (i)) ≥ sup P(Ai,α0 \ BN (i)) − 2−N ,
α0 ∈I
gdzie BN (i) =
SN −1
i=1
Ai,αn (i) . Definiujemy
Sα = {(t, ω) :
o
yα (t)(ω) > 0}, α ∈ I,
Sα (ω) = {t :
o
Lα (ω) = {t :
∃ > 0
yα (t)(ω) > 0}, α ∈ I,
o
yα (s)(ω) > 0 dla s ∈ (t, t + ) oraz o yα (t)(ω) = 0}, α ∈ I
oraz
S = {(t, ω) :
∃n, i
o
yαn (i) (t)(ω) > 0},
o
S(ω) = {t : ∃n, i yαn (i) (t)(ω) > 0},
[
L(ω) =
Lαn (i) (ω).
n,i∈N
Z konstrukcji (αn (i))∞
Sα (ω) ⊇ Ui , S(ω) ) Ui ) = 0 dla każdego
n=1 dostajemy, że P(ω :
α ∈ I, i ∈ N. Stad
˛ Sα (ω) \ S(ω) ⊆ L(ω)
S p.n. Musimy znaleźć przeliczalny zbiór funkcjonałów,
który S
pokryje zbiór L. Pokażemy,Sże L = ω∈Ω {ω} × L(ω) jest zbiorem opcjonalnym. Oczywiście
L = n,i∈N Lαn (i) , gdzie Lα = ω∈Ω {ω} × Lα (ω). Wystarczy wi˛ec wykazać, że Lα jest zbiorem
opcjonalnym. Momenty kolejnych skoków procesu o yα z 0 do jakiegoś dodatniego poziomu sa˛ dobrze zdefiniowanymi momentami stopu (prawostronna ciagłość
˛
gwarantuje, że sa˛ dodatnie odległości
pomi˛edzy kolejnymi skokami. Wykresy momentów stopu sa˛ zbiorami opcjonalnymi, wi˛ec Lα jako
suma przeliczalnej rodziny zbiorów opcjonalnych jest zbiorem opcjonalnym. Podobnie, L jako suma
przeliczalnej podrodziny (Lα )α∈I jest zbiorem opcjonalnym. Ponadto, L(ω) jest przeliczalnym podzbiorem R+ . Jeśli L jest nieodróżnialny od zbioru pustego, to nic nie musimy robić. W przeciwnym
przypadku, na mocy twierdzenia o opcjonalnym podziale (VI.5.1 w monografii Davis, Williams [26])
istnieje ciag
˛ momentów stopu Tk , taki że
L=
∞
[
{(ω, Tk (ω)) :
Tk < ∞}
k=1
z dokładnościa˛ do nieodróżnialności. Post˛epujemy identycznie jak w konstrukcji Ai,α i Ai , aby dostać
Bk,α = {ω :
Tk (ω) < ∞ oraz o yα (Tk )(ω) > 0}
S
i ciag
˛ (βn (k))n∈N spełniajacy
˛ Bk,α ⊆ Bk p.n. dla dowolnego α ∈ I, gdzie Bk = n∈N Bk,βn (k) .
Łatwo sprawdzamy, że rodzina (yαn (i) )i,n∈N ∪ (yβn (k) )k,n∈N spełnia założenia warunku L. Weźmy
x ∈ Γ+ i α ∈ I, takie że hx, yα i > 0. Pokażemy, że hx, yαn (i) i > 0 dla pewnych n, i. Zapisujemy
24
PN
1
x w postaci x =
i=1 γi δτi , dla pewnych N ∈ N, γi ∈ L (Ω, Fτi , R+ ) i momentów stopu τi .
Bezpośrednio z definicji
hx, yα i = E hx, yα ihM,M0 i = E
N
X
γi yα (τi ).
i=1
Zatem, wystarczy udowodnić, że jeśli hγδτ , yα i > 0 dla γ ∈ L1 (Ω, Fτ , R+ ) i pewnego α ∈ I, to
hγδτ , yαn (i) i > 0 dla pewnego n, i. Połóżmy D = {(t, ω) : γ(ω) > 0, τ (ω) = t}. Warunek
hγδτ , yα i = E γyα (τ ) > 0 gwarantuje nam, że Sα ∩ D nie jest zbiorem nieodróżnialnym od zbioru
pustego. Stad
˛ (S ∪ L) ∩ D jest nieodróżnialny od zbioru pustego. Istnieja˛ wi˛ec n, i, takie że (Sαn (i) ∪
Lαn (i) ) ∩ D jest nieodróżnialny od zbioru pustego i E γyαn (i) (τ ) > 0.
Możemy zatem sformułować twierdzenie 1.3 w j˛ezyku procesów stochastycznych.
TWIERDZENIE 1.18. Na rynku J nie ma możliwości uogólnionego arbitrażu wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje proces y(t)(ω) i stała M spełniajace
˛
i) y(t) jest procesem mierzalnym,
ii) P(|y(t)| ≤ M ∀t ∈ I) = 1,
iii) P(|y(t) − y(s)| ≤ M |t − s|) = 1 (lipschitzowska ciagłość),
˛
iv) P(o y(t) > 0 ∀t ∈ I) = 1,
P
PN
v) E N
i=1 γi y(τi ) ≤ 0 dla dowolnego
i=1 γi δτi ∈ J.
Warunkowa własność Lipschitza
0
∞
0
Przestrzeń Γ nie oddziela punktów w L∞
∗ (Ω, M ), tzn. dwa różne elementy L∗ (Ω, M ) moga˛ działać
0
na Γ w ten sam sposób. Jest to spowodowane tym, że moga˛ istnieć dwa funkcjonały w L∞
∗ (Ω, M ) o
tej samej opcjonalnej projekcji. A jak już pokazaliśmy, działanie funkcjonału na Γ zależne jest tylko
od jego opcjonalnej projekcji. Powinniśmy zatem przyjrzeć si˛e własnościom opcjonalnych projekcji
lipschitzowsko ciagłych
˛
i ograniczonych procesów mierzalnych. Sformułujemy warunki konieczne,
0
by dany adaptowany proces był opcjonalna˛ projekcja˛ elementu L∞
∗ (Ω, M ).
DEFINICJA 1.19. Adaptowany proces (Xt )t∈I o trajektoriach cádlág nazywany jest warunkowo
lipschitzowskim ze stała˛ K, jeśli istnieje wersja cádlág procesu (E (Xs | Ft ))s≥t , która spełnia
warunek Lipschitza ze stała˛ K niezależna˛ od wyboru t ∈ I.
Wszystkie wersje cádlág procesu (E (Xs | Ft ))s≥t rozważanego w powyższej definicji sa˛ nieodróżnialne. Proces spełnia warunek Lipschitza, jeśli prawie wszystkie trajektorie sa˛ funkcjami lipschitzowskimi.
Zakładamy, że wszystkie procesy sa˛ zdefiniowane dla t ∈ I, gdzie I = [0, T ] or I = [0, ∞).
LEMAT 1.20. Jeżeli (Xt ) jest procesem mierzalnym o trajektoriach spełniajacych
˛
warunek Lipschit1
o
za ze stała˛ K oraz X0 ∈ L (Ω, F), to jego opcjonalna projekcja ( Xt ) jest warunkowo lipschitzowska ze stała˛ K.
Dowód. Ustalmy t ∈ I i zauważmy, że
o
E ( Xs | Ft ) − E (o Xs | Ft ) = E (Xs | Ft ) − E (Xs | Ft ) = E (Xs − Xs | Ft )
2
1
2
1
2
1
≤ E |Xs − Xs | Ft ≤ K|s2 − s1 |.
2
1
25
TWIERDZENIE 1.21. Niech (Zt )t∈[0,T ] b˛edzie adaptowanym procesem cádlág, warunkowo lipschitzowskim ze stała˛ K, o trajektoriach ograniczonych przez K. Istnieje wtedy mierzalny proces
(Xt )t∈[0,T ] , taki że
i) (Xt ) jest ograniczony przez KT ,
ii) (Xt ) spełnia warunek Lipschitza ze stała˛ K,
iii) (Zt ) jest nieodróżnialny od o Xt .
Dowód. Zdefiniujmy
n
i
T :
2n
D =
[
D=
Dn .
n
i = 0, . . . , 2
,
n∈N
Dla dowolnego n ∈ N skonstruujemy ograniczony i lipschitzowski proces Xtn określony na D i taki
że E (Xtn | Ft ) = Zt p.n. dla t ∈ Dn . Znajdziemy nast˛epnie podciag
˛ X n zbiegajacy
˛ prawie wsz˛edzie
na D × Ω do X i taki że E (Xt | Ft ) = Zt p.n. dla t ∈ D oraz X ograniczony i lipschitzowski.
Nast˛epnie rozszerzymy X na cały odcinek [0, T ] przez ciagłość
˛
i pokażemy, że Zt jest nieodróżnialny
od o Xt .
Rozpocznijmy zatem od konstrukcji Xn . W tym celu wykorzystamy prosty lemat
LEMAT 1.22. Niech G1 ⊆ G2 b˛eda˛ dwoma σ-ciałami. Dla dowolnych zmiennych losowych Z1 ∈
L1 (Ω, G1 ), Z2 ∈ L1 (Ω, G2 ) spełniajacych
˛
|E (Z2 | G1 ) − Z1 | ≤ K możemy znaleźć zmienna˛
losowa˛ H ∈ L1 (Ω, G2 ), taka˛ że |H − Z2 | ≤ K oraz Z1 = E (H | G1 ).
Dowód lematu. Weźmy H = Z2 − E (Z2 | G1 ) − Z1 .
Oznaczmy punkty w Dn przez rosnacy
˛ ciag
˛ (ti )i=0,...,2n ⊆ Dn . Kładziemy XTn = ZT . Na mocy
powyższego lematu indukcyjnie obliczamy Xtn2n −1 , Xtn2n −2 , . . . , X0n :
Xtni−1 = Xtni − E (Xtni | Fti−1 ) − Zti−1 , i = 2n , 2n − 1, . . . , 1.
Rozszerzamy X n do całego D przez liniowa˛ interpolacj˛e. Otrzymany proces jest mierzalny, ograniczony przez KT i spełnia warunek Lipschitza ze stała˛ K.
Znajdziemy teraz podciag
˛ X n zbiegajacy
˛ prawie wsz˛edzie na D × Ω do procesu X spełniajacego
˛
E (Xt | Ft ) = Zt p.n. dla t ∈ D. Ustalmy dowolna˛ miar˛e probabilistyczna˛ µ na D kładac
˛ a˛ niezerowa˛
mas˛e na każdym z punktów D i rozważmy przestrzeń L2 (D × Ω, µ ⊗ P). Wszystkie procesy X n sa˛
elementami tej przestrzeni, ponieważ sa˛ ograniczone przez KT .
LEMAT 1.23. Istnieje X ∈ L2 (D × Ω, µ ⊗ P) i ciag
˛ H n ∈ conv(X n , X n+1 , . . .) zbieżny do X p.n.
Dowód lematu. Lemat ten wykorzystywany jest w wielu pracach. Pełny jego dowód znajduje si˛e w
pracy Delbaena i Schachermayera [7]. My przedstawimy tylko szkic. Na mocy twierdzenia BanachaAlaoglu, kula o promieniu KT jest słabo zwarta w L2 (D × Ω, µ ⊗ P), czyli istnieje podciag
˛ Xnk
zbieżny słabo do pewnego X. Nast˛epnie z twierdzenia Hahna-Banacha o oddzielaniu dostajemy, że
X należy do domkni˛ecia otoczki wypukłej (Xn )n∈N , a także do otoczki wypukłej (Xn )n≥N dla dowolnego N . Stad
˛ istnieje ciag
˛ H n ∈ conv(X n , X n+1 , . . .) zbiegajacy
˛ do X p.n. (wzi˛ety jako podciag
˛
2
ciagu
˛ zbieżnego w L ).
26
Wszystkie elementy conv(X n , X n+1 , . . .) sa˛ ograniczone przez KT i spełniaja˛ warunek Lipschitza ze stała˛ K. Te własności zachowuje też punktowa granica. Ponadto, na mocy twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej
E (Xt | Ft ) = lim E (Xtn | Ft ) = Zt , t ∈ D.
n→∞
Rozszerzamy X do całego odcinka [0, T ] przez ciagłość.
˛
Wtedy (o Xt ) = (Zt ) z dokładnościa˛
do nieodróżnialności na mocy prawostronnej ciagłości
˛
(Zt ) i równości E (Xt | Ft ) = Zt na g˛estym
podzbiorze [0, T ].
Powyższe twierdzenie, ze wzgl˛edu na wzrost ograniczenia na trajektorie procesu wraz z T , pozwala na zastosowanie dla skończonego horyzontu czasowego.
TWIERDZENIE 1.24. Załóżmy, że I = [0, T ], T < ∞. Na rynku J nie ma możliwości uogólnionego arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje proces adaptowany (y(t))t∈[0,T ] o trajektoriach
cádlág i stała M , takie że
i) P(0 < y(t) ≤ M ∀t ∈ R+ ) = 1,
ii) y(t) jest warunkowo lipschitzowski,
PN
P
iii) E N
i=1 γi y(τi ) ≤ 0 dla dowolnego
1.4.
Ciagłe
˛ deflatory
Poniższy model, podobnie jak nast˛epny, b˛edzie prezentował drog˛e konstrukcji zapowiedziana˛ w podrozdziale 1.2. Ustalmy przestrzeń
X=Γ=
N
X
γi δτi ∈ D :
γi ∈ L1 (Ω, Fτi ), i = 1, . . . , N
i=1
i określmy na niej topologi˛e τ poprzez podanie zbioru funkcjonałów liniowych. Niech Y b˛edzie przestrzenia˛ wszystkich ograniczonych, mierzalnych procesów o ciagłych
˛
trajektoriach. Dualność zadajemy wzorem
N
X
hx, yihX,Y i = E
γi y(τi ).
i=1
Przyjmujemy τ = σ(X, Y ). Wykażemy, że model (Γ, τ ) spełnia założenia twierdzenia 1.3.
TWIERDZENIE 1.25. Model (Γ, τ ) spełnia założenia twierdzenia 1.3, tzn.
i) Y separuje punkty Γ,
ii) τ jest lokalnie wypukła˛ topologia,˛
iii) spełnione sa˛ założenia C i L.
Dowód. Wykażemy najpierw i). Zauważmy, że elementy Y działaja˛ na x ∈ Γ w ten sam sposób, co
0
∞
0
elementy L∞
˛
∗ (Ω, M ). Ponadto, Y zawiera L∗ (Ω, M ), ponieważ procesy lipschitzowskie sa˛ ciagłe.
∞
0
Wykazaliśmy, że L∗ (Ω, M ) oddziela punkty Γ, wi˛ec przestrzeń Y też. Na mocy lematu V.3.3 z monografii Dunforda, Schwarza [8] wynika, że topologia σ(Γ, Y ) jest lokalnie wypukła. Założenia L
27
1.5. DOBRY ZBIÓR DEFLATORÓW
dowodzimy w podobny sposób jak w twierdzeniu 1.17 biorac
˛ opcjonalne projekcje elementów z Y .
Wykazanie założenia C wymaga spojrzenia na Y jako na podprzestrzeń L∞ (Ω × R+ , F ⊗ B(R+ ),
P ⊗ | · |). Topologia L∞ na Y jest silniejsza niż σ(Y , X): jeśli kyn − ykL∞ → 0, to E γyn (σ) →
E γy(σ) dla dowolnego momentu stopu σ i γ ∈ L1 (Ω, Fσ , R) na mocy twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej (majoranta˛ jest γM dla pewnej stałej M ). A zatem założenie C jest spełnione, gdyż jest
ono trywialnie spełnione w przestrzeni Banacha L∞ (Ω × R+ , F ⊗ B(R+ ), P ⊗ | · |).
Jako wniosek z twierdzenia 1.3 dostajemy
LEMAT 1.26. Na rynku J nie ma możliwości uogólnionego arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje proces mierzalny y(t)(ω) i stała M , takie że
i)
ii)
iii)
iv)
P(|y(t)| ≤ M ∀t ∈ R+ ) = 1,
prawie wszystkie trajektorie y(t) sa˛ ciagłe,
˛
o
P( y(t) > 0 ∀t ∈ R+ ) = 1,
P
PN
E N
i=1 γi y(τi ) ≤ 0 dla dowolnej inwestycji
Jeśli filtracja jest quasi-lewostronnie ciagła,
˛
tzn. Fσ = Fσ− dla dowolnego prognozowalnego momentu stopu σ, to możemy ograniczyć przestrzeń Y do procesów adaptowanych, ciagłych.
˛
LEMAT 1.27. Załóżmy, że filtracja jest quasi-lewostronnie ciagła.
˛
Na rynku J nie ma możliwości
uogólnionego arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje proces adaptowany y(t)(ω) o ciagłych
˛
trajektoriach i stała M , takie że
i) P(0 < y(t) ≤ M ∀t ∈ R+ ) = 1,
PN
P
ii) E N
Dowód. Lewa implikacja jest oczywista na mocy lematu 1.26. Wykażemy teraz implikacj˛e w druga˛
stron˛e. Na mocy lematu 1.26 istnieje proces g ∈ Y . Niech y = o g b˛edzie opcjonalna˛ projekcja˛ g,
zaś z = p g – prognozowalna˛ projekcja.˛ Wtedy proces y jest cádlág , zaś proces z jest cáglád, czyli
lewostronnie ciagły
˛ z prawostronnymi granicami (patrz podrozdział VI.7 w Rogers, Williams [26]).
Zauważmy, że dla dowolnego prognozowalnego momentu stopu σ
yσ 1σ<∞ = E (gσ 1σ<∞ | Fσ ) = E (gσ 1σ<∞ | Fσ− ).
Zatem y jest także projekcja˛ prognozowalna.˛ Jednak zarówno projekcja opcjonalna jak i projekcja
prognozowalna jest zdefiniowana z dokładnościa˛ do nieodróżnialności. Stad
˛ proces y jest nieodróżnialny od z, czyli jest procesem ciagłym.
˛
1.5.
Dobry zbiór deflatorów
Niech
Γ = {Φ ∈ Γ̃ :
Φ ma reprezentacj˛e
N
X
γi δτi , gdzie τi – ograniczony moment stopu}.
i=1
Ustalmy na Γ najmniejsza˛ topologi˛e τ spełniajac
˛ a˛ założenia R i CV. Przyj˛eliśmy, że założenie CV
jest koniecznym elementem dobrego modelu. Tutaj wybieramy najmniejsza˛ topologi˛e spełniajac
˛ a˛ to
28
założenie lub, inaczej, najmniejszy zbiór funkcjonałów Y . Na mocy założenia R wiemy, że Y jest podprzestrzenia˛ adaptowanych procesów cádlág . Zwróćmy uwag˛e, że zbiór Y składa si˛e ze wszystkich
adaptowanych procesów cádlág , które spełniaja˛ warunek CV tzn.
E Zn y(σn ) → E Zy(σ)
dla ciagów
˛
Zn i σn jak w definicji CV. Ze wzgl˛edu na definicj˛e Γ rozważamy jedynie ograniczone
momenty σn . Z dowodu lematu 1.6 wynika, że każdy proces y ∈ Y jest ograniczony na zbiorach
zwartych (w tym przypadku wystarczy, by Γ była jak powyżej).
Udowodnimy, że model (Γ, τ ) spełnia założenia twierdzenia 1.3. Głównym problemem b˛edzie
wykazanie założenia C.
TWIERDZENIE 1.28. Na rynku J nie ma możliwości uogólnionego arbitrażu wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje proces stochastyczny y spełniajacy
˛ nast˛epujace
˛ warunki
i)
ii)
iii)
iv)
y jest adaptowany i cádlág,
y spełnia warunek CV,
P(y(t) > 0 ∀t ∈ R+ ) = 1,
P
PN
E N
Dowód. Równoważność zaprezentowana w twierdzeniu jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia
1.3. Musimy zatem udowodnić założenia tego twierdzenia. Kładziemy X = Γ. Zauważmy najpierw,
0
˛
wi˛ec
że przestrzeń L∞
∗ (Ω, M ) jest zawarta w Y (ograniczone i lipschitzowskie procesy sa˛ ciagłe,
0 ) oddziela punkty Γ, czyli Y również
spełniaja˛ warunek CV na mocy lematu 1.7) oraz L∞
(Ω,
M
∗
oddziela punkty Γ. Zatem topologia τ = σ(X, Y ) jest lokalnie wypukła.
Założenie L dowodzimy identycznie jak w twierdzeniu 1.17 pomijajac
˛ jedynie operacj˛e opcjonalnej projekcji, gdyż opcjonalna projekcja procesu adaptowanego jest nieodróżnialna od niego samego.
Wykazanie założenia C wymaga lokalizacji. Niech (yn )n∈NP
b˛edzie rodzina˛ procesów w Y . Skonstruujemy ciag
˛ dodatnich liczb αn o tej własności, że szereg N
i=1 αi yi jest zbieżny w (Γ, τ ). Jak
wspomnieliśmy, dowolny y ∈ Y jest jednostajnie ograniczony przez stała˛ na każdym przedziale
[0, T ], T ≥ 0. Połóżmy ynT (t) = yn (t)1t≤T , n ∈ N. Rodzina (ynT )n∈N może być traktowana jako
podzbiór L∞ (Ω × [0, T ], F ⊗ B([0, T P
]), P ⊗ | · |). Na mocy zupełności tej przestrzeni konstruujemy
T
T T
T
ciag
˛ liczb dodatnich (αn )n∈N , taki że N
i=1 αi yi zbiega do pewnego y , gdy N → ∞. Oczywiście
T
y jest procesem adaptowanym i cádlág jako jednostajna granica.
Do znalezienia globalnego
ciagu
˛ (αn ) użyjemy metody przekatniowej.
˛
Zauważmy najpierw, że jeP
T y S jest zbieżny w L∞ (Ω×[0, S], F ⊗B([0, S]), P⊗|·|). Prowadzi nas to
śli T > S, to szereg N
α
i=1 i i
do spostrzeżenia, P
że właściwym kandydatem na ciag
˛ jest αn = αnn , n ∈ N. Oznaczmy przez zn sumy
n
cz˛eściowe: zn = i=1 αi yi . Ciag
˛ zn (t)1t≤T jest zbieżny w L∞ (Ω × [0, T ], F ⊗ B([0, T ]), P ⊗ | · |).
T
Niech z b˛edzie jego granica,˛ która z definicji przestrzeni i ciagłości
˛
procesów zn (t) jest zadana z dokładnościa˛ do nieodróżnialności. Oczywiście, (z T (t)1t≤S ) jest nieodróżnialne od (z S (t))
dla 0 ≤ S ≤ T . Zatem istnieje dokładnie jeden proces z, taki że (z T (t)) jest nieodróżnialny od
(z(t)1t≤T ). Musimy jeszcze pokazać, że z ∈ Y . Warunki adaptowalności i cádlág sa˛ trywialnie spełnione. Musimy skoncentrować si˛e jedynie na CV. Weźmy ciagi
˛ (Zn ), (σn ) jak w definicji CV, przy
czym, jak zaznaczyliśmy przed twierdzeniem, momenty σn , σ sa˛ ograniczone. Co wi˛ecej sa˛ one ograniczone przez wspólna˛ stała.˛ Jeśli ciag
˛ jest niemalejacy,
˛ to stała˛ ta˛ wyznacza σ. Jeśli jest nierosnacy,
˛ to
T
stała˛ wyznacza σ1 . Oznaczmy ja˛ przez T . Z warunku, że z jest jednostajnie ograniczony dostajemy
E z(σn )Zn = E z T (σn )Zn → E z T (σ)Z = E z(σ)Z,
1.6. WYCENA
29
Podobnie wykorzystujemy ograniczoność z T dla T ≥ 0 do wykazania, że zn zbiega do z w topologii
τ . Wystarczy zauważyć, że E zn (σ)γ = E z(σ)γ dla dowolnego ograniczonego momentu stopu σ
i γ ∈ L1 (Ω, Fσ , P), co jest wnioskiem z twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej (ograniczeniem
jest γM dla pewnego M ∈ R+ ). To kończy dowód warunku C.
1.6.
Wycena
Dotychczas zajmowaliśmy si˛e budowaniem modeli i analizowaniem ich z punktu widzenia finansowego. Głównym problemem, z którym si˛e borykaliśmy, było wykazanie założeń twierdzenia 1.3,
które dawało warunek równoważny brakowi uogólnionego arbitrażu, wyrażony w j˛ezyku funkcjonałów liniowych na przestrzeni (Γ, τ ). W rozważanych przykładach funkcjonały te zadane były przez
procesy stochastyczne. Tutaj pokażemy, dlaczego procesy te sa˛ ważne i jak zwiazane
˛
sa˛ z wycena˛
instrumentów pochodnych.
Ustalmy model (Γ, τ ), w którym przestrzeń funkcjonałów liniowych ciagłych
˛
może być reprezentowana przez przestrzeń Y procesów stochastycznych z dualnościa˛ (1.1). B˛edziemy zakładać, że zbiór
Γ jest dostatecznie bogaty, aby rozważać w nim instrumenty, które wprowadzimy poniżej. Możemy
za Γ wziać
˛ przestrzeń liniowa˛ generowana˛ przez γδη , gdzie η jest (ograniczonym) momentem stopu,
zaś γ ∈ L1 (Ω, Fη ). Ustalmy także rynek J, na którym nie ma możliwości uogólnionego arbitrażu.
Oznaczmy przez GJ zbiór wszystkich deflatorów dla rynku J, czyli
Γ
y ∈ GJ
⇐⇒
y ∈ Y+++ , y J ≤ 0.
Zauważmy, że zbiór ten jest wypukłym ściśle dodatnim stożkiem, tzn. jeśli y1 , y2 ∈ GJ , to y1 + y2 ∈
GJ oraz αy1 ∈ GJ dla α > 0.
DEFINICJA 1.29. Instrumentem pochodnym (opcja)
˛ nazywamy par˛e (Z, η), gdzie η jest momentem stopu, zaś Z ∈ L1 (Ω, Fη ; R+ ) jest nieujemna˛ zmienna˛ losowa.˛
Jest to nieznaczna modyfikacja powszechnie używanego poj˛ecia; pozwalamy mianowicie, by moment wykonania był momentem stopu, a nie deterministyczna˛ chwila.˛ Ponadto, dalsze rozumowania
możemy także przeprowadzić dla instrumentów pochodnych b˛edacych
˛
suma˛ skończonej liczby instrumentów zdefiniowanych powyżej. Pozwala to na rozszerzenie zakresu wycenianych opcji poza opcje
europejskie do np. obligacji komercyjnych i wielu innych skomplikowanych kontraktów. Zauważmy
także, że nasza definicja instrumentu pochodnego obejmuje opcje zależne od trajektorii, czyli opcje
azjatyckie i barierowe. Wycena˛ opcji amerykańskich zajmiemy si˛e w nast˛epnym rozdziale, gdyż zagadnienie to okaże si˛e bardzo skomplikowane.
Spośród wielu metod wyceny opcji skupimy si˛e na dwóch: wycenie arbitrażowej i cenie zabezpieczenia. Znacznie szersze rozważania dotyczace
˛ tej tematyki można znaleźć w pracy Napp [20]. Jednak
zaprezentowane tutaj dowody sa˛ bardziej elementarne i krótsze. Ponadto zajmujemy si˛e przypadkiem
dowolnego modelu (Γ, τ ), a nie ustalonego, jak w pracy [20].
B˛edziemy zakładać, że F0 jest uzupełnieniem trywialnego σ-ciała, czyli cena opcji w momencie 0
jest liczba.˛
Wycena arbitrażowa
Naturalnym podejściem do wyceny instrumentu pochodnego jest podejście wykorzystujace
˛ poj˛ecie
arbitrażu. Mówimy, że cena C jest uczciwa˛ cena˛ opcji, jeśli rozszerzenie rynku o dodatkowe możliwości inwestycyjne zwiazane
˛
z kupnem lub sprzedaża˛ opcji nie prowadzi do powstania uogólnionego
30
arbitrażu. Wykażemy, że zbiór uczciwych cen jest przedziałem i scharakteryzujemy go za pomoca˛
zbioru deflatorów GJ .
Z opcja˛ (Z, η) o cenie C ∈ R zwiażemy
˛
inwestycje, polegajace
˛ na zakupie lub sprzedaży tej opcji.
Połóżmy
Ψ(ξ,C,η,Z) = ξ(Cδ0 − Zδη ), ξ ∈ R.
Inwestycja Ψ(−1,C,τ ,Z) reprezentuje zakup jednej opcji (Z, η) w momencie 0 za cen˛e C. Sprzedaż to
Ψ(1,C,η,Z) . Notacja ta pozwala na sformułowanie definicji uczciwej ceny.
DEFINICJA 1.30. Cen˛e C nazywamy uczciwa,˛ jeśli rynek J opc generowany przez J i inwestycje
Ψ(±1,C,η,Z) spełnia warunek braku uogólnionego arbitrażu.
Jeśli zatem C jest uczciwa˛ cena,˛ to na mocy twierdzenia 1.3 istnieje proces deflatora, czyli zbiór GJ opc
jest niepusty. Oczywiście GJ opc ⊆ GJ . Zauważmy, że dla każdego y ∈ GJ opc
E Cy(0) − Zy(η) ≤ 0
E − Cy(0) + Zy(η) ≤ 0,
co daje E Cy(0)−Zy(η) = 0. Zatem C jest uczciwa˛ cena˛ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje y ∈ GJ ,
taki że C = E {y(η)Z}/ E y(0).
LEMAT 1.31. Jeśli C1 ≤ C2 sa˛ uczciwymi cenami opcji (Z, η), to każda cena z przedziału [C1 , C2 ]
jest uczciwa.
Dowód. Niech y 1 , y 2 b˛eda˛ deflatorami dla cen C1 i C2 . Ustalmy liczb˛e C ∈ [C1 , C2 ]. Niech a ∈ [0, 1]
1
2
b˛edzie liczba˛ spełniajac
˛ a˛ C = aC1 + (1 − a)C2 . Połóżmy y(t) = a Eyy1(t)
+ (1 − a) Eyy2(t)
. Wtedy
(0)
(0)
C=
E {y(η)Z}
E y(0) .
Z wypukłości GJ mamy y ∈ GJ .
Powyższy lemat pozwala na uzyskanie przedziału uczciwych cen. Niestety nie możemy nic powiedzieć o jego końcach, tzn. czy prowadza˛ one do uogólnionego arbitrażu, czy nie.
WNIOSEK 1.32. Niech
C h = sup
y∈GJ
E {y(η)Z}
,
E y(0)
C l = inf
y∈GJ
E {y(η)Z}
.
E y(0)
Każda cena z przedziału otwartego (C l , C h ) jest uczciwa, a każda cena spoza przedziału domkni˛etego [C l , C h ] jest nieuczciwa.
Dowód. Dla każdego C ∈ (C l , C h ) możemy znaleźć ceny uczciwe C1 ≤ C ≤ C2 . Lemat 1.31
stwierdza, że C jest uczciwa˛ cena.˛ Druga cz˛eść wniosku jest oczywista.
Cena zabezpieczenia
Wystawca opcji zainteresowany jest wiedza,˛ czy cena, która˛ zaproponował, pozwoli mu na znalezienie
strategii zabezpieczajacej
˛ wypłat˛e. Pytać si˛e może także o istnienie minimalnej ceny zabezpieczajacej.
˛
h
Wykażemy, że taka minimalna cena istnieje i jest równa wartości C z wniosku 1.32. Dla wygody
zapisu oznaczmy ΨC = Ψ(−1,C,η,Z) dla ustalonej opcji (Z, η).
DEFINICJA 1.33. Liczba C jest cena˛ zabezpieczenia opcji (Z, η), jeśli ΨC ∈ J − Γ+ , gdzie domkni˛ecie jest w topologii τ .
31
1.6. WYCENA
Istnieje wi˛ec ciag
˛ Ψn ∈ J − Γ+ zbieżny do ΨC . Każdy element Ψn jest inwestycja˛ dost˛epna˛ na
rynku J pomniejszona˛ o pewna˛ konsumpcj˛e. Istnieje wi˛ec ciag
˛ inwestycji z konsumpcja˛ zbieżny
do ΨC , czyli zabezpieczajacy
˛ opcj˛e. Zauważmy, że wyrażenie J − Γ+ wyst˛epuje także w definicji
uogólnionego arbitrażu.
˛
Połóżmy
Poruszyliśmy już temat istnienia minimalnej ceny zabezpieczajacej.
h = inf{b ≥ 0 :
b jest cena˛ zabezpieczenia}.
Wykażemy, że h
Niech bn b˛edzie ciagiem
˛
cen zabezpieczenia zbieżnym do
jest cena˛ zabezpieczenia.
b
h
b
n
n
h. Wtedy Ψ n∈N zbiega do Ψ w (Γ, τ ). Z Ψ ∈ J − Γ+ dostajemy Ψh ∈ J − Γ+ . Minimalna˛
cen˛e zabezpieczenia b˛edziemy nazywać cena˛ sprzedajacego
˛
i oznaczać C s . Okazuje si˛e, że jest ona
h
równa C z wniosku 1.32.
TWIERDZENIE 1.34. C s = C h
Dowód. Udowodnimy najpierw, że C s ≥ C h . Z faktu, że C s jest cena˛ zabezpieczenia wynika, że
s
ΨC ∈ J − Γ+ . Czyli dla każdego deflatora y ∈ GJ mamy E {Zy(η)} − C s E y(0) ≤ 0. Stad
˛
Cs ≥
E {Zy(η}
E y(0)
C s = ∞.
co daje C s ≥ supy∈GJ
E {Zy(η)}
E y(0)
dla dowolnego y ∈ GJ ,
= C h.
Jeśli C h = ∞, to
Możemy założyć, że C h < ∞. Pokażemy, że C h jest cena˛ zabezpieczenia. Przeprowadzimy rozumowanie przez sprzeczność. Przypuśćmy, że C h nie jest cena˛ zabezpieh
Γ
czenia, czyli ΨC ∈
/ J − Γ+ . Z twierdzenia Hahna-Banacha o oddzielaniu istnieje h ∈ Y+ + (patrz
dowód twierdzenia 1.3), taki że
E {Zh(η)} − C h E h(0) > 1,
h|J ≤ 0.
Definicja C h gwarantuje istnienie deflatora y ∈ GJ , takiego że C h −
y(t)
E y(0)
+ h(t). Oczywiście ỹ ∈
Γ
Y+++
1
2
(1.3)
≤
i ỹ ∈ GJ . Ponadto,
Ch ≥
E {Z ỹ(η)}
.
E ỹ(0)
Z drugiej strony, z (1.3) dostajemy
C h E ỹ(0) = C h + C h E h(0)
1
1
= (C h − ) + + C h E h(0)
2
2
E {Zy(η)} 1
≤
+ + C h E h(0)
E y(0)
2
E {Zy(η)} 1
+ + E {Zh(η)} − 1
<
E y(0)
2
1
= E {Z ỹ(η)} + − 1
2
1
< E {Z ỹ(η)} − .
2
Łacz
˛ ac
˛ dwie otrzymane nierówności dostajemy sprzeczność:
1
E {Z ỹ(η)} ≤ C h E ỹ(0) < E {Z ỹ(η)} − .
2
E {Zy(η)}
E y(0) .
Niech ỹ(t) =
Rozdział 2
Modelowanie i wycena opcji
amerykańskich
Niech I ⊆ R+ b˛edzie dowolnym zbiorem momentów. Rodzin˛e zmiennych losowych A(t) t∈I nazywamy opcja˛ amerykańska˛ ze zbiorem momentów wykonania I. Jeśli właściciel tej opcji zdecyduje
si˛e na jej wykonanie w momencie losowym τ , to jego wypłata wyniesie A(τ ). Opcja amerykańska
tym różni si˛e od rozważanych w poprzednim rozdziale opcji typu europejskiego, że nie specyfikuje
momentu wykonania, pozostawiajac
˛ dowolność jej posiadaczowi. Powoduje to znaczne komplikacje przy wycenie i zabezpieczaniu tego typu instrumentów. Jednak przy powszechnie stosowanym
podejściu z procesami cen i strategiami inwestycyjnymi (patrz np. Karatzas, Schreve [15]) nie ma
przynajmniej kłopotu z określeniem, co rozumiemy przez strategi˛e zabezpieczajac
˛ a.˛ Portfel zbudowany zgodnie z taka˛ strategia˛ musi w każdym momencie stopu τ majoryzować wypłat˛e, tzn. posiadać
bogactwo nie mniejsze niż A(τ ) w przypadku modeli bez kosztów transakcji lub zawierać określona˛
liczb˛e każdego z instrumentów podstawowych w przypadku modeli z kosztami transakcji. Rozważmy
model bez ograniczeń i kosztów transakcji, z rachunkiem bankowym o zerowej stopie procentowej i
oznaczmy przez Q zbiór miar martyngałowych dla procesów cen. Wtedy cena zabezpieczenia opcji
amerykańskiej wynosi
sup sup E P A(τ ),
τ ∈S P∈Q
gdzie S jest zbiorem momentów stopu o wartościach w I. Zauważmy zatem, że jeśli istnieje moment
τ ∈ S realizujacy
˛ supremum, to cena opcji amerykańskiej jest równa cenie opcji europejskiej o wypłacie A(τ ) w momencie τ . Nic zatem nie kosztuje to, że właściciel opcji może zażadać
˛ jej wykonania
w innym momencie.
W bieżacym
˛
rozdziale zajmiemy si˛e zbudowaniem modelu na bazie przepływów pozwalajacego
˛
na rozważanie opcji amerykańskich oraz określeniem warunków dostatecznych, by w modelu tym
wycena opcji amerykańskich polegała na wycenie kontraktu europejskiego o optymalnym momencie
wykonania. Pokażemy, że brak kosztów transakcji gwarantuje już ta˛ własność. Nie wpływa na nia˛
istnienie innych niedoskonałości rynku, jak wypukłe ograniczenia na zawartość portfela, możliwość
bankructwa firm i wystawców obligacji itp.
W modelach z przepływami, rozważanych w poprzednim rozdziale, nie istnieje poj˛ecie składu
portfela w dowolnym momencie. Możliwości inwestycyjne zdradzaja˛ tylko przepływy pieni˛eżne,
które wynikaja˛ z zastosowanej strategii. Nie można zatem bezpośrednio przenieść zaprezentowanego powyżej poj˛ecia strategii zabezpieczajacej.
˛
Zamiast tego, musimy stworzyć całkiem nowe podejście, które odpowiadałoby obserwacjom prawdziwego rynku i wpisywało si˛e w możliwości modeli z
33
34
ROZDZIAŁ 2. MODELOWANIE I WYCENA OPCJI AMERYKAŃSKICH
przepływami. Załóżmy, żezbiór momentów wykonania I jest przeliczalny. Strategia zabezpieczajaca
˛
opcj˛e amerykańska˛ A(t) t∈I musi zapewnić wypłat˛e A(t), jeśli posiadacz opcji wykona ja˛ w mo
mencie t ∈ I. Aby to osiagn
˛ ać
˛ rozważmy rodzin˛e inwestycji Π(t) t∈I . Inwestycja Π(t) odpowiada
sposobowi post˛epowania, gdy inwestor zdecyduje si˛e na wykonanie opcji w momencie t ∈ I. Strategie Π(s) i Π(t) nie moga˛ być jednak dowolne. Musza˛ si˛e one pokrywać na przedziale [0, t ∧ s).
Algorytm inwestowania jest nast˛epujacy:
˛ w każdym punkcie s ∈ I sprawdzamy, czy inwestor chce
wykonać opcj˛e. Jeśli nie, to post˛epujemy zgodnie z dowolna˛ strategia˛ Π(t) dla t > s. Jeśli tak, to kontynuujemy inwestowanie zgodnie z Π(s), co, mi˛edzy innymi, zapewni wypłacenie
inwestorowi A(s).
Rozumujac
˛ analogicznie do wyceny opcji europejskich, strategia Π = Π(t) t∈I zabezpieczajaca
˛
wypłat˛e A(t) t∈I ma postać
Π(t) = −Cδ0 + A(t)δt , t ∈ I.
Liczb˛e C nazwiemy cena˛ zabezpieczenia.
2.1.
Model rynku amerykańskiego
Uściślimy teraz sposób zapisu inwestycji na rynku amerykańskim. Ustalmy model (Γ, τ ). Załóżmy,
że ma on zanurzenie w przestrzeni Banacha X, czyli Γ jest podprzestrzenia˛ liniowa˛ X, zaś τ jest
obci˛eciem topologii normowej do Γ. Przykładem jest model z podrozdziału 1.3. Niech I b˛edzie dowolnym, co najwyżej przeliczalnym podzbiorem R+ . Ustalmy ciag
˛ liczb dodatnich a(t) t∈I o sumie
1. Niech N = L1 (I, 2I , µ; X), gdzie µ jest miara˛ probabilistyczna˛ µ({t}) = a(t), t ∈ I, b˛edzie przestrzenia˛ całkowalnych w sensie Bochnera funkcji o wartościach w przestrzeni Banacha X. Przestrzeń
N jest zatem przestrzenia˛ Banacha. Ze wzgl˛edu na wyjatkowo
˛
prosta˛ form˛e I możemy definicje i
fakty dotyczace
˛ przestrzeni N sformułować prosto i bezpośrednio dowieść. Przestrzeń N składa si˛e
z tych funkcji σ : I → X, dla których kσkN < ∞, gdzie
X
kσkN =
a(t)kσ(t)kX .
t∈I
Zauważmy, że jeśli ciag
˛ σn daży
˛ do σ w N , to σn (t) daży
˛ do σ(t) w X dla każdego t ∈ I. Prze∗
strzeń sprz˛eżona N skonstruowana jest w pracy Schwarza [28] (konstrukcja ta wspomniana jest
w podrozdziale 1.3), lecz ze wzgl˛edu na prostot˛e N pozwolimy sobie na przedstawienie jej tutaj wraz
z dowodem. Wcześniej jednak wprowadzimy notacj˛e, która˛ b˛edziemy stosować w poniższym lemacie
i w dalszej cz˛eści rozdziału. Dla γ ∈ X, t ∈ I wyrażenie
γζ(t)
symbolizuje element σ ∈ N , taki że σ(s) = 0, s 6= t i σ(t) = γ. Ponadto przez Y oznaczamy
przestrzeń dualna˛ do X.
LEMAT 2.1. Przestrzeń N ∗ możemy utożsamiać ze zbiorem
(Φ(t))t∈I ∈ Y I :
sup
t∈I
1
kΦ(t)kY < ∞
a(t)
z dualnościa˛ zadana˛ wzorem
hΦ, σihN ∗ ,N i =
X
t∈I
hΦ(t), σ(t)ihY ,Xi , Φ ∈ N ∗ , σ ∈ N .
35
2.1. MODEL RYNKU AMERYKAŃSKIEGO
Dowód. Niech σ ∗ ∈ N ∗ . Zdefiniujmy Φ(t) ∈ Y przez
hΦ(t), γihY ,Xi = hσ ∗ , γζ(t)ihN ∗ ,N i dla dowolnego γ ∈ X.
Funkcjonał Φ(t) ∈ Y , t ∈ I, jest jednoznacznie określony przez σ ∗ . Oznaczmy
M = sup a(t)−1 kΦ(t)kY .
t∈I
Wykażemy, że kσ ∗ kN ∗ = M . Zaczniemy od nierówności M ≤ kσ ∗ kN ∗ . Ustalmy > 0, t ∈ I.
Weźmy γ ∈ X o normie 1 i taki że
hΦ(t), γihY ,Xi ≥ kΦ(t)kY − a(t).
Niech σ = a(t)−1 γζ(t). Zauważmy, że kσkN = 1 oraz
1
1
kσ ∗ kN ∗ ≥ hσ ∗ , σihN ∗ ,N i = hΦ(t),
γi
kΦ(t)kY − ≥
a(t) hY ,Xi
a(t)
Z dowolności , t dostajemy kσ ∗ kN ∗ ≥ a(t)−1 kΦ(t)kY , t ∈ I, czyli
kσ ∗ kN ∗ ≥ M.
Aby uzyskać przeciwna˛ nierówność rozważmy
˛
Pnσ ∈ N z norma˛ 1. Niech {q1 , q2 , . . .} b˛edzie ciaσ(q
)ζ(q
)
b˛
e
dzie
obci˛
e
ciem
σ
do
n
pierwszych
giem wyczerpujacym
˛
zbiór I. Niech σn =
i
i
i=1
współrz˛ednych. Wtedy
∗
hσ , σn ihN ∗ ,N i =
n
X
hΦ(qi ), σ(qi )ihY ,Xi ≤
i=1
n
X
kΦ(qi )kY kσ(qi )kX
i=1
n
X
1
kΦ(qi )kY
a(qi )kσ(qi )kX
i=1,...,n a(qi )
≤ sup
i=1
≤M
n
X
a(qi )kσ(qi )kX .
i=1
Ponieważ σn zbiega do σ w N , gdy n → ∞, mamy
hσ ∗ , σihN ∗ ,N i ≤ M kσkN = M.
Wykażemy teraz przeciwna˛ implikacj˛e. Weźmy (Φ(t))t∈I ⊆ Y spełniajace
˛
M = sup a(t)−1 kΦ(t)kY < ∞.
t∈I
Zauważmy, że rodzina γζ(t), γ ∈ X, t ∈ I stanowi baz˛e N . Wystarczy zatem zdefiniować funkcjonał
liniowy σ ∗ na tej bazie:
hσ ∗ , γζ(t)ihN ∗ ,N i = hΦ(t), γihY ,Xi .
Pokażemy, że jest on ciagły.
˛
Wtedy jego rozszerzenie do całego N jest jedyne. Dla dowolnego γ ∈ X
it∈I
hσ ∗ , γζ(t)ihN ∗ ,N i = hΦ(t), γihY ,Xi ≤ kΦ(t)kY kγkX
1
kΦ(t)kY a(t)kγkX ≤ M kγζ(t)kN .
=
a(t)
36
Zdefiniujemy teraz rynek amerykański i poj˛ecie uogólnionego arbitrażu. Niech
Σ = σ ∈ N : σ(t) ∈ Γ, σ(s)[0,s) = σ(t)[0,s) ∀t, s ∈ I, s < t .
Czyli σ ∈ Σ, jeśli σ(s) i σ(t) reprezentuja˛ możliwości inwestycyjne identyczne na przedziale [0, s)
dla dowolnych s, t ∈ I, s < t. Zbiór Σ pełni taka˛ sama˛ rol˛e dla rynku amerykańskiego, jak zbiór Γ
dla europejskiego.
P RZYKŁAD 2.1 (Model ilustracyjny). Weźmy I = {0, 1, 2, 3},
X = L1 (Ω, F0 ) × L1 (Ω, F1 ) × L1 (Ω, F2 ) × L1 (Ω, F3 ),
gdzie (Ft )t∈I jest filtracja.˛ Na X ustalmy norm˛e l1 , tzn. norma (γ0 , γ1 , γ2 , γ3 ) ∈ X wynosi kγ0 k +
kγ1 k+kγ2 k+kγ3 k. Przyjmujemy Γ = X, czyli każda możliwość inwestycyjna może mieć przepływy
tylko w momentach z I i jest postaci
γ0 δ0 + γ1 δ1 + γ2 δ2 + γ3 δ3 .
Przestrzeń N jest identyczna z X I z norma˛
kσkN = kσ(0)kX + kσ(1)kX + kσ(2)kX + kσ(3)kX .
Dla dalszych rozważań przyjmijmy nast˛epujac
˛ a˛ reprezentacj˛e elementów σ ∈ N :
σ(i) = γ0i δ0 + γ1i δ1 + γ2i δ2 + γ3i δ3 , i ∈ I.
Zbiór Σ składa si˛e wtedy z elementów σ ∈ N , które spełniaja˛ warunki
• γ01 = γ02 = γ03 ,
• γ12 = γ13 ,
czyli np. strategie σ(2) i σ(3) zgadzaja˛ si˛e na przedziale [0, 2), tzn. w punktach 0 i 1.
Na powyższym prostym przykładzie możemy wskazać intuicje stojace
˛ za podana˛ forma˛ amerykańskich możliwości inwestycyjnych Σ. Rozważmy strategi˛e σ zabezpieczajac
˛ a˛ wypłat˛e amerykańska.˛
W momencie t = 0 inwestor może zażadać
˛
realizacji opcji lub zdecydować si˛e na oczekiwanie. Jeśli
inwestor zażada
˛ wypłaty, to post˛epujemy zgodnie ze strategia˛ σ(0). W przeciwnym przypadku rozpoczynamy inwestowanie zgodnie ze strategia˛ σ(1) lub σ(2) lub σ(3), bo wszystkie one sa˛ identyczne
w t = 0. W momencie t = 1 patrzymy, czy inwestor żada
˛ wypłaty. Jeśli tak, to strategia σ(1) pozwoli
na spełnienie tego żadania
˛
i odtad
˛ post˛epujemy zgodnie z jej wytycznymi. Jeśli nie, to post˛epujemy
zgodnie ze strategia˛ σ(2) lub σ(3), bo obie sa˛ identyczne w t = 1. Analogicznie robimy dla t = 2, 3.
Musimy jeszcze nadmienić, że w rzeczywistości równość przepływów dwóch możliwości inwestycyjnych na przedziale [0, t) nie gwarantuje tego, że strategie inwestycyjne, które je wygenerowały,
sa˛ identyczne na tym przedziale, gdyż wszelkie przepływy możemy niwelować inwestycjami w obligacje lub rachunek bankowy doprowadzajac
˛ do tego, że sumarycznie na przedziale [0, t) nie b˛eda˛ one
widoczne i ujawnia˛ si˛e dopiero później. Stad
˛ postać Σ jest tylko koniecznym warunkiem powyższej
interpretacji strategii, który b˛edzie jednak wystarczajacy
˛ do bieżacych
˛
rozważań. W dalszej cz˛eści
rozdziału uściślimy jeszcze postać możliwości inwestycyjnych na rynku amerykańskim.
37
2.1. MODEL RYNKU AMERYKAŃSKIEGO
DEFINICJA 2.2. Rynkiem amerykańskim nazywamy podzbiór J ⊆ Σ, który
• jest dodatnim wypukłym stożkiem,
• (COH1) dla dowolnego σ ∈ J, t ∈ I istnieje σ̃ ∈ J, taka że σ̃(s) = σ(t), s ∈ I.
Warunek (COH1) gwarantuje, że dla dowolnej możliwości inwestycyjnej σ ∈ J i dowolnego t ∈ I
istnieje strategia σ̃ ∈ J o każdej współrz˛ednej równej σ(t), czyli o strategii niezależnej od momentu
s ∈ I.
Strategia σ ∈ Σ daje możliwość arbitrażu, jeśli σ(t) gwarantuje arbitraż w sensie europejskim dla
pewnego t ∈ I, tzn. σ(t) ∈ Γ+ \ {0}. Naturalnym zbiorem możliwości arbitrażowych jest zatem
ΣA = {σ ∈ Σ :
∃ t ∈ I σ(t) ∈ Γ+ \ {0}}.
Ze wzgl˛edów technicznych ograniczymy si˛e jednak do zbioru mniejszego. Jak si˛e okaże, nie ma to
wpływu na ocen˛e uczciwości rynku (patrz lemat 2.3).
Σ+ = {σ ∈ Σ :
∀ t ∈ I σ(t) ∈ Γ+ }.
Powodem wprowadzenia zbioru Σ+ jest to, że Σ− = −Σ+ odpowiada konsumpcji, co b˛edzie grało
ważna˛ rol˛e w dalszych rozważaniach.
Powiemy, że rynek pozbawiony jest możliwości uogólnionego arbitrażu, jeśli
(NFL) J − Σ+ ∩ Σ+ = {0}, gdzie domkni˛ecie brane jest w topologii normowej N .
Założenie (COH1) w definicji rynku pozwoli pokazać, że powyższy warunek jest równoważny warunkowi J − Σ+ ∩ ΣA = ∅, gdzie za zbiór strategii arbitrażowych bierzemy ΣA . Zauważmy, że zbiór
ΣA jest znacznie wi˛ekszy od Σ+ \ {0}.
LEMAT 2.3. Niech J b˛edzie rynkiem amerykańskim, C = J − Σ+ . Wtedy
i) C spełnia (COH1),
ii) C ∩ Σ+ 6= {0} wtedy i tylko wtedy, gdy C ∩ ΣA 6= ∅
Dowód. Zauważmy, że J − Σ+ spełnia (COH1). Musimy
Pjedynie wykazać, że zachowane jest to po
domkni˛eciu. Ustalmy t ∈ I, σ ∈ C. Chcemy pokazać, że s∈I σ(t)ζ(s) ∈ C. Niech
Pσn ∈ J −Σ+ b˛edzie ciagiem
˛
zbieżnym
do
σ,
a
zatem
σ
(t)
zbiega
do
σ(t)
w
X.
Wiemy
także,
że
s∈I σn (t)ζ(s) ∈
P
P n
J − Σ+ oraz s∈I σn (t)ζ(s) → s∈I σ(t)ζ(s) w N , co kończy dowód i).
Ponieważ Σ+ \ {0} ⊆ ΣA , to wystarczy pokazać, że C ∩ Σ+ = {0} implikuje C ∩ ΣA = ∅.
Przypuśćmy przeciwnie. Załóżmy, że istnieje σ ∈ C ∩ ΣA , czyli σ(t) ∈ Γ+ \ {0} dla pewnego t ∈ I.
Na mocy i) istnieje σ̃ ∈ C postaci
X
σ(t)ζ(s),
σ̃ =
s∈I
co przeczy założeniu C ∩ Σ+ = {0}.
Zajmiemy si˛e teraz znalezieniem warunku równoważnego do (NFL) w duchu twierdzenia 1.3. Założymy najpierw, że model (Γ, τ ) wraz z zanurzeniem w przestrzeń Banacha X spełnia warunki C
i L twierdzenia 1.3. Przypomnijmy oznaczenia: Y jest przestrzenia˛ dualna˛ do X, a przestrzeń funkΓ
Γ
cjonałów nieujemnych na Γ+ jest oznaczona przez Y+ + , tj. y ∈ Y+ + ≡ ∀x ∈ Γ+ hx, yihX,Y i ≥ 0.
38
Γ
Γ
Natomiast przez Y+++ oznaczamy przestrzeń funkcjonałów dodatnich na Γ+ , tj. y ∈ Y+++ ≡ ∀x ∈
Γ+ \ {0} hx, yihX,Y i > 0. Podobne oznaczenia wprowadzimy dla modelu amerykańskiego. Niech
Σ∗ = {σ ∈ N :
∀ t ∈ I σ(t) ∈ Γ+ }.
Zauważmy, że Σ∗ jest zbiorem wi˛ekszym od Σ+ , dokładniej Σ+ = Σ∗ ∩ Σ. Przestrzeń funkcjonałów
nieujemnych na Σ∗ oznaczana jest przez Y+Σ∗ , tj. Φ ∈ Y+Σ∗ ≡ ∀σ ∈ Σ∗ hσ, ΦihN ,N ∗ i ≥ 0. Postać Σ∗
pozwala wnioskować, że
Y+Σ∗ = {Φ ∈ N ∗ :
Γ
Φ(t) ∈ Y+ + ∀t ∈ I}.
Σ∗
Σ∗
≡ ∀σ ∈ Σ∗ \
oznaczamy przestrzeń funkcjonałów dodatnich na Σ∗ , tj. Φ ∈ Y++
Przez Y++
{0} hσ, ΦihN ,N ∗ i > 0. Podobnie jak powyżej dostajemy
Σ∗
Y++
= {Φ ∈ N ∗ :
Γ
Φ(t) ∈ Y+++ ∀t ∈ I}.
TWIERDZENIE 2.4.
i) J − Σ∗ ∩ Σ∗ = {0} wtedy i tylko wtedy, gdy J − Σ+ ∩ Σ+ = {0}.
Σ∗
ii) Warunek (NFL)
dla rynku J jest równoważny istnieniu dodatniego funkcjonału Φ ∈ Y++ ,
takiego że ΦJ ≤ 0.
Dowód. Dowód i) jest podobny do dowodu lematu 2.3, jednak dla przejrzystości przeprowadzimy go
tutaj w całości. Niech C = J − Σ+ , D = J − Σ∗ . Zauważmy, że Σ+ ⊆ Σ∗ i C ⊆ D, czyli jeśli
D ∩ Σ∗ = {0}, to C ∩ Σ+ = {0}. Przypuśćmy teraz, że istnieje σ ∈ D ∩ Σ∗ \ {0}, tzn. istnieje t ∈ I,
takie że σ(t) ∈ Γ+ \ {0}. Wykażemy, że wtedy również C ∩ Σ+ zawiera niezerowy
element. Niech
P
σ
σn ∈ D b˛edzie ciagiem
˛
zbieżnym
do
σ.
Na
mocy
założenia
(COH1)
σ̃
=
n
s∈I n (t)ζ(s) ∈ C.
P
Ciag
˛ ten zbiega do σ̃ = s∈I σ(t)ζ(s), czyli σ̃ ∈ C. Ponadto σ̃ ∈ Σ+ \ {0}, co kończy dowód i).
Teza ii) jest wnioskiem z twierdzenia 1.3. Wystarczy zatem wykazać założenia tego twierdzenia.
Warunek C jest spełniony,
gdyż N ∗ jest przestrzenia˛ Banacha. Jedynie założenie L wymaga wi˛e
cej uwagi. Niech Φα α∈F ⊆ Y+Σ∗ b˛edzie rodzina˛ funkcjonałów liniowych. Wykażemy, że istnieje
przeliczalna podrodzina (Φαn )∞
n=1 o tej własności, że jeśli dla pewnego σ ∈ Σ∗ i α ∈ F zachodzi
hσ, Φα ihN ,N ∗ i > 0, to hσ, Φαn ihN ,N ∗ i > 0 dla pewnego n ∈ N.
Γ
Przypomnijmy, że Φ ∈ Y Σ∗ jest równoważne Φ(t)
≥ 0, czyli Φ(t) ∈ Y + dla dowolnego
+
Γ+
+
t ∈ I.
∞Na mocy założenia dla rynku europejskiego, dla dowolnego t ∈ I istnieje przeliczalna rodzina
αnt n=1 ⊆ F o tej własności, że jeśli x ∈ Γ+ i hx, Φα ihX,Y i > 0 dla pewnego α ∈ F , to istnieje
n ∈ N, takie że hx, Φαtn ihX,Y i > 0. Zatem przeliczalna rodzina (Φαtn )n∈N,t∈I spełnia wymogi warunku L. Weźmy dowolne σ ∈ Σ∗ , takie że hσ, Φα ihN ,N ∗ i > 0 dla pewnego α ∈ F . Zatem σ 6= 0
i hσ(t), Φα (t)ihX,Y i > 0 dla pewnego t ∈ I. Możemy wi˛ec znaleźć n ∈ N, dla którego
hσ(t), Φαtn (t)ihX,Y i > 0.
Ponadto
hσ(s), Φαsm (t)ihX,Y i ≥ 0 dla wszystkich m ∈ N, s ∈ I,
czyli hσ, Φαtn ihN ,N ∗ i > 0.
2.2. RYNEK EUROPEJSKI VS. RYNEK AMERYKAŃSKI
39
Przeliczalny model
Ważnym przykładem przestrzeni X, Y , na bazie których budujemy model rynku amerykańskiego,
sa˛ przestrzenie, które pozwalaja˛ na dokonywanie transakcji tylko w przeliczalnej liczbie momentów.
Niech T ⊆ R+ b˛edzie co najwyżej przeliczalnym zbiorem, przy czym
0 ∈ T . Zakładamy ponadto,
1
T
p
że I ⊆ T . Ustalmy p ≥ 1 i połóżmy X = L T , 2 , ν; L (Ω, F) , gdzie ν jest miara˛ liczac
˛ a,˛ czyli
dla γ ∈ X
X
1/p
kγkX =
E |γ(t)|p
.
t∈T
Stad
˛ dostajemy, że Y = X ∗ = L∞ T , 2ν , ν; Lq (Ω, F, P) , 1/p + 1/q = 1, z norma˛
kykY = sup{ky(t)kq :
t ∈ T }.
Przestrzeń N możemy zapisać jako N = L1 I ×T , 2I ⊗2T , µ⊗ν; Lp (Ω, F) . Wynika stad
˛ niezmiernie ważna obserwacja. Jeśli γn → γ w X, to γn (t) → γ(t) w Lp (Ω, F), t ∈ T . Jeśli σn → σ w N , to
σn (s)(t) → σ(s)(t) w Lp (Ω, F), s ∈ I, t ∈ T . Zauważmy także, że skonstruowany powyżej model
ilustracyjny jest szczególnym przypadkiem modelu przeliczalnego z I = T = {0, 1, 2, 3} i p = 1.
2.2.
Rynek europejski vs. rynek amerykański
Z rynkiem amerykańskim można w bardzo naturalny sposób zwiazać
˛ rynek europejski.
DEFINICJA 2.5. Rynkiem europejskim j zwiazanym
˛
z rynkiem amerykańskim J (j ∼ J) nazywamy zbiór
j = {σ(t) : σ ∈ J, t ∈ I} ⊆ Γ.
Zdefiniowany powyżej zbiór j jest rzeczywiście rynkiem w myśl definicji 1.1. Zawiera on wszystkie możliwości inwestycyjne dost˛epne dla gracza rynku amerykańskiego. Można go traktować jako
podzbiór rynku amerykańskiego, gdyż na mocy (COH1) zbiór J ∩ ΣH jest izometryczny z j, gdzie
ΣH = {σ ∈ Σ :
σ(t) = σ(s) ∀t, s ∈ I}
jest zbiorem tych inwestycji amerykańskich, które sa˛ identyczne dla wszystkich s ∈ I. Przypomnijmy,
że warunek braku uogólnionego arbitrażu (NFL) dla rynku europejskiego ma postać
j − Γ+ ∩ Γ+ = {0},
gdzie domkni˛ecie brane jest w normie przestrzeni X. Możemy zatem sformułować lemat mówiacy
˛
o tym, że brak uogólnionego arbitrażu na rynku amerykańskim jest równoważny brakowi uogólnionego arbitrażu na rynku europejskim z nim zwiazanym.
˛
Jest to fakt podstawowej wagi dla spójności
i poprawności modelu amerykańskiego.
LEMAT 2.6. Załóżmy, że j ∼ J.
j − Γ+ ∩ Γ+ = {0}
⇐⇒
J − Σ+ ∩ Σ+ = {0}.
Ponadto
J − Σ+ ∩ Σ+ = {0}
⇐⇒
J ∩ ΣH − Σ+ ∩ Σ+ = {0}.
40
Dowód. Rynek j jest izometryczny z podzbiorem rynku J, dokładnie z J ∩ ΣH , wi˛ec istnienie uogólnionego arbitrażu na j implikuje, że taka możliwość istnieje też na J. Udowodnijmy teraz przeciwna˛
implikacj˛e. Przypuśćmy, że istnieje możliwość uogólnionego arbitrażu na J, czyli istnieje ciag
˛ inwestycji amerykańskich (σn )n∈N ⊆ J zbiegajacych
˛
do σ ∈ Σ+ \ {0}. Z definicji Σ+ istnieje t ∈ I, takie
że σ(t) ∈ Γ+ \ {0}. Zbieżność w N implikuje zbieżność każdej współrz˛ednej w X, bo I jest zbiorem
przeliczalnym. Zatem σn (t) → σ(t) w X, co dowodzi istnienia możliwości uogólnionego arbitrażu.
2.3.
Wycena opcji amerykańskich
Od tego miejsca b˛edziemy zakładać, że przestrzeń X = L1P (Ω, M) i N jest rynkiem amerykańskim
zwiazanym
˛
z ta˛ przestrzenia˛ lub X = L1 T , 2T , ν; Lp (Ω, F) i N jest tzw. rynkiem przeliczalnym
dla dowolnego p ≥ 1. B˛edziemy też zakładać, że rozważany rynek amerykański J jest pozbawiony możliwości uogólnionego arbitrażu. Przez j b˛edziemy oznaczać zwiazany
˛
z J rynek europejski.
˛
Podamy definicje funkcjonałów cen zabezpieczenia opcji europejskich i amerykańskich, rozszerzajac
podejście z podrozdziału 1.6. Najpierw wprowadzimy notacj˛e
S = {τ − moment stopu :
S t = {τ ∈ S :
τ ∈ I p.n.},
τ ≥ t p.n.}, t ∈ I.
Opcja˛ europejska˛ nazwiemy par˛e (A, η), gdzie A ∈ L0 (Ω, Fη ) jest wypłata,˛ η ∈ S jest momentem
wykonania oraz Aδη ∈ Γ. Ten ostatni warunek nakłada dodatkowe ograniczenie na zmienna˛ A, zależne od przestrzeni Γ, np. A ∈ Lp (Ω, Fη ) dla ustalonego p ≥ 1 w przypadku rynku przeliczalnego. Nie
wymagamy, aby wypłata była zmienna˛ dodatnia,˛ co było konieczne w dowodzie twierdzenia 1.34.
DEFINICJA 2.7. Europejskim funkcjonałem ceny w momencie 0 nazywamy
Πe0 (A, η) = inf{c ∈ R :
−cδ0 + Aδη ∈ j − Γ+ },
gdzie domkni˛ecie bierzemy w normie X.
Przypomnijmy, że Πe0 (A, τ ) jest minimalna˛ cena˛ zabezpieczenia.
DEFINICJA 2.8. Opcja˛ amerykańska˛ nazywamy rodzin˛e A(t) t∈I , gdzie A(η)δη ∈ Γ dla dowolnego momentu stopu η ∈ S.
Tutaj, podobnie jak dla opcji europejskiej, warunek A(η)δη ∈ Γ nakłada ograniczenia zwiazane
˛
z mierzalnościa˛ i całkowalnościa,˛ tzn. A(η) ∈ Lp (Ω, Fη ) dla ustalonego p ≥ 1. Ponadto, w zależności od
Γ ograniczenia te moga˛ obejmować wi˛ecej warunków.
DEFINICJA 2.9. Amerykańskim funkcjonałem ceny w momencie 0 nazywamy
X
Πa0 (A) = inf{c ∈ R :
− cδ0 + A(t)δt ζ(t) ∈ J − Σ+ },
t∈I
gdzie domkni˛ecie bierzemy w normie N .
Tutaj podobnie jak w przypadku europejskim, Πa0 (A) jest cena˛ zabezpieczenia tzn.
X
− Πa0 (A) + A(t)δt ζ(t) ∈ J − Σ+ .
t∈I
41
2.3. WYCENA OPCJI AMERYKAŃSKICH
Zakładaliśmy, że filtracja jest trywialna w 0, czyli zarówno europejska jak i amerykańska cena zabezpieczenia sa˛ liczbami. Moga˛ one być ujemne, bo dopuszczamy ujemne wypłaty.
Ze wzgl˛edów arbitrażowych
cena opcji amerykańskiej musi być nie mniejsza niż cena każdej z wy
płat europejskich A(η), η , η ∈ S. Wykażemy teraz, że jest to prawdziwy fakt w naszym modelu.
W tym celu wprowadzimy dodatkowe założenie, które gwarantuje odpowiednie mieszanie strategii,
naturalne z punktu widzenia gracza rynkowego.
(COH2) Dla dowolnych t1 < t2 ∈ I, B ∈ Ft1 i σ ∈ J
X
σ(t)ζ(t) + 1B σ(t1 ) + 1B c σ(t2 ) ζ(t1 ) ∈ J.
t6=t1
Czyli dowolna˛ możliwość inwestycyjna˛ σ ∈ J możemy zmodyfikować zmieniajac
˛ σ(t1 ) na σ(t2 ) na
Ft1 -mierzalnym zdarzeniu, jeśli tylko t1 < t2 . Zauważmy, że dowolna taka zmiana nie wyprowadza
nas ze zbioru Σ.
LEMAT 2.10. Niech A(t) t∈I b˛edzie opcja˛ amerykańska,˛ zaś rynek J spełnia założenie (COH2).
Wtedy
sup Πe0 A(η), η ≤ Πa0 (A).
η∈S
Dowód. Pokażemy, że Πe0 A(η), η ≤ Πa0 (A) dla dowolnego η ∈ S. Zaczniemy od przypadku,
gdy η przyjmuje dwie wartości, łatwo rozszerzymy do dowolnej skończonej liczby wartości, by w
końcu w granicy dostać dla dowolnego η ∈ S, który, przypomnijmy,
ma przeliczalna˛ liczb˛
e wartości.
P
Oznaczmy c = Πa0 (A) i weźmy ciag
˛ σn ∈ J −Σ+ zbieżny do t∈I ζ(t) −cδ0 +A(t)δt . Oznaczmy
wartości przyjmowane przez η przez t1 ≤ t2 . Zdefiniujmy B = {η = t1 } oraz γn = 1B σn (t1 ) +
1B c σn (t2 ). Na mocy założenia (COH2) mamy γn ∈ j dla każdego n ∈ N. Ponadto
γn → −cδ0 + 1B A(t1 )δt1 + 1B c A(t2 )δt2 ,
wi˛ec c ≥ Πe0 A(η), η . Podobnie pokazujemy ta˛ nierówność dla η o dowolnej skończonej liczbie
wartości.
Weźmy η ∈ S o przeliczalnej i nieskończonej liczbie wartości {q1 , q2 , q3 , . . .}. Niech qn∗ =
max(q1 , . . . , qn ), n ∈ N. Konstruujemy ciag
˛ momentów stopu ηn ∈ S, które sa˛ obci˛eciem η do
n pierwszych wartości. Cała˛ mas˛e z pozostałych wartości przenosimy na qn∗ :
ηn =
n
X
i=1
1η=qi qi +
∞
X
1η=qi qn∗ , n ∈ N.
i=n+1
Możemy skorzystać
z poprzednich wyników, gdyż ηn ma skończona˛ liczb˛e wartości. Mamy wi˛ec
e
a
Π0 A(ηn ), ηn ≤ Π0 (A) dla
n ∈ N. Połóżmy
An = A(ηn )1η6=q1 ,...qn i zauważmy, że An jest Fηn mierzalna oraz Πe0 An , ηn ≤ Πe0 A(ηn ), ηn . Niech an = Πe0 An , ηn . Ciag
˛ (an )n∈N jest rosnacy
˛
i ograniczony z góry, gdyż An = An+1 na supp An . A zatem istnieje granica a, która spełnia
−an δ0 + An δηn → −aδ0 + A(η)δη
w X.
Zbieżność ta jest wynikiem tego, że (An ) jest majoryzowany przez
A(η) (jest obci˛eciem A(η) do
podzbiorów Ω). Zatem −aδ0 + A(η)δη ∈ j oraz a ≥ Πe0 A(η), η . Oczywiście a ≤ Πa0 (A), gdyz
an ≤ Πa0 (A). Stad
˛
Πe0 A(η), η ≤ Πa0 (A).
42
Nasze dalsze badania skupia˛ si˛e na tym, aby podać warunki dostateczne, by zachodziła równość
sup Πe0 A(η), η = Πa0 (A).
η∈S
Rynek rozszerzony
Ograniczymy si˛e teraz tylko do rozważania rynku przeliczalnego N dla p ≥ 1. Wprowadzimy amerykańskie i europejskie funkcjonały ceny dla dowolnych t ∈ I. B˛edzie to wymagało rozszerzenia
istniejacego
˛
modelu rynku, gdyż obecny model nie pozwala na wyróżnienie tych inwestycji, które
zaczynaja˛ si˛e po ustalonym momencie t. To, że inwestycja ma zerowe przepływy przed t nie znaczy
wcale, że decyzja o jej rozpocz˛eciu nie została podj˛eta przed t. Wyobraźmy sobie, że w momencie
s < t pożyczamy z banku pieniadze
˛
i inwestujemy je w akcje. W t sprzedajemy akcje i oddajemy
pożyczk˛e. Jedyny przepływ pieni˛eżny dokonany został w t, lecz już dużo wcześniej rozpocz˛eliśmy
inwestycj˛e.
Dla każdego momentu t ∈ I ∗ = I ∪ {0} określimy, jakie inwestycje rozpoczynaja˛ si˛e po t.
DEFINICJA 2.11. Rodzin˛e J s s∈I ∗ nazywamy amerykańskim rozszerzonym rynkiem, jeśli
i) J s jest rynkiem amerykańskim dla s ∈ I ∗ ,
ii) J t ⊆ J s dla s, t ∈ I ∗ , s ≤ t,
S
iii) s∈I ∗ J s = J 0 = J,
iv) σ(t)
= 0 ∀σ ∈ J s , ∀t ∈ I ∗ ,
[0,s)
v) J s spełnia założenie (COH2), s ∈ I ∗ ,
vi) (COH3) ∀s, s̃, t ∈ I ∗ s ≤ t ∀σ, σ̃ ∈ J t
σ + σ̃(s̃) − σ(s) ζ(s) ∈ J t .
Zauważmy, że decyzja, czy zastosować strategi˛e σ(s) dla s < t jest podj˛eta przed t. Zatem współrz˛edne o numerach mniejszych od t sa˛ niezależne od siebie i moga˛ być zmieniane niezależnie od
pozostałych współrz˛ednych. Wynika to z definicji przestrzeni Σ. Warunek (COH3) jest zatem tylko
rozszerzeniem warunku (COH1) i jest odpowiedzialny za mieszanie strategii.
Z rozszerzonym
rynkiem amerykańskim wiażemy
˛
odpowiedni
rozszerzony rynek europejski. Ro
dzina J s s∈I ∗ definiuje rodzin˛e rynków europejskich j s s∈I ∗ . Na rozszerzonych rynkach definiujemy zbiory strategii arbitrażowych
Σs+ = {σ ∈ Σ+ : σ(t)[0,s) = 0 ∀t ∈ I},
Γs+ = {γ ∈ γ+ : γ [0,s) = 0}.
Zauważmy, że rodzina J s − Σs+
zanym z J s − Σs+ jest j s − Γs+ .
s∈I ∗
spełnia warunki i) – vi) definicji 2.11. Ponadto rynkiem zwia˛
DEFINICJA 2.12. Europejskim funkcjonałem ceny w chwili s ∈ I ∗ opcji (A, η) dla η ∈ S s ,
nazywamy
Πes (A, η) = essinf C ∈ Lp (Ω, Fs ) : −Cδs + Aδη ∈ j s − Γs+ ,
stosujac
˛ konwencj˛e essinf ∅ = ∞.
43
DEFINICJA 2.13. Amerykańskim funkcjonałem ceny w chwili s ∈ I ∗ opcji A(t) t∈I nazywamy
X
Πas (A) = essinf C ∈ Lp (Ω, Fs ) :
− Cδs + A(t)δt ζ(t) ∈ J s − Σs+
t∈I∩[s,∞)
stosujac
˛ konwencj˛e essinf ∅ = ∞.
W dalszym ciagu
˛ rozdziału b˛edziemy zakładać, że spełniony jest warunek
(BND) cena Πes (A, η) jest nieskończona albo należy do Lp (Ω, Fs ) dla każdej opcji europejskiej
(A, η) i s ∈ I, takiego że s ≤ η p.n.
Całkowalność ceny nie jest ograniczajaca,
˛ ponieważ zapewnia ona, że nie można wziać
˛ nieskończop
nego (w sensie przestrzeni L ) kredytu pod zastaw skończonej przyszłej wypłaty. Wykażemy teraz,
że Πes (A, η) jest cena˛ zabezpieczenia opcji (A, η). Najpierw udowodnimy pomocniczy lemat
LEMAT 2.14. Dla dowolnych γ1 , γ2 ∈ j s − Γs+ , B ∈ Fs
1B γ1 + 1B c γ2 ∈ j s − Γs+ .
Dowód. Z definicji zwiazanego
˛
rynku europejskiego wynika, że
X
X
σ1 =
γ1 ζ(t) ∈ J s − Σs+
oraz
σ2 =
γ2 ζ(t) ∈ J s − Σs+ .
t∈I
t∈I
Na mocy (COH3)
σ3 =
X
γ2 ζ(t) + γ1 ζ(s) ∈ J s − Σs+ .
t6=s
Na mocy (COH2)
σ=
X
γ2 ζ(t) + 1B γ1 + 1B c γ2 ζ(s) ∈ J s − Σs+ .
t6=s
Zatem σ(s) ∈ j s −
Γs+ .
LEMAT 2.15. Niech s ∈ I ∗ i niech (A, η) b˛edzie opcja˛ europejska,˛ której moment wykonania spełnia warunek η ∈ S s . Cena Πes (A, η), jeśli jest skończona, jest cena˛ zabezpieczenia, tzn.
−Πes (A, τ )δs + Aδη ∈ j s − Γs+ .
Dowód. W dowodzie wykorzystujemy fakt, że rodzina
A = C ∈ Lp (Ω, Fs ) : −Cδs + Aδη ∈ j s − Γs+
jest scentrowana w dół. Aby to udowodnić, weźmy C1 , C2 ∈ A i połóżmy C = min(C1 , C2 ). Na
mocy lematu 2.14
1C1 ≤C2 − C1 δs + Aδη + 1C2 <C1 − C2 δs + Aδη ∈ j s − Γs+ .
Zatem C ∈ A.
Istnieje zatem ciag
˛ nierosnacy
˛ (Cn )n∈N ⊆ A zbieżny punktowo do C = essinf A. Z ograniczoności (z góry C1 , z dołu C), zbieżność ta zachodzi również w Lp (Ω, Fs , P). Czyli −Cn δs + Aδη zbiega
w X do −Cδs + Aδη , co dowodzi, że C ∈ A, czyli jest cena˛ zabezpieczenia.
Można także pokazać, że Πas (A) jest cena˛ zabezpieczenia opcji amerykańskiej, lecz nie b˛edziemy
potrzebowali tego faktu w dalszych rozważaniach.
44
Brak kosztów transakcji
Na rynku zupełnym dowodzi si˛e, że cena opcji amerykańskiej jest równa supη∈S E Q A(η), gdzie Q
jest jedyna˛ miara˛ martyngałowa˛ dla zdyskontowanych procesów cen. Tutaj wykażemy analogiczna˛
własność
sup Πe0 A(τ ), τ = Πa0 (A)
τ ∈S
pod warunkiem, że na rynku nie ma kosztów transakcji. Nasze rozumowanie jest podobne do wyprowadzenia ceny opcji amerykańskiej w zupełnym modelu z czasem dyskretnym.
DEFINICJA 2.16. Rozszerzony rynek amerykański (J s )s∈I ∗ spełnia założenie NTC (brak kosztów
transakcji), jeśli dla każdego t, s ∈ I ∗ , t ≥ s oraz σ ∈ J s − Σs+ istnieja˛ σ1 ∈ J s − Σs+ i σ2 ∈
J t − Σt+ , takie że
σ = σ1 + σ2
oraz
σ1 (r)(t,∞) = 0 ∀r ∈ I ∗ .
Własność NTC od razu wymusza podobne zachowanie zwiazanego
˛
rozszerzonego rynku europej∗
s
s
skiego: dla dowolnych t, s ∈ I , t ≥ s i γ ∈ j − Γ+ istnieja˛ γ1 ∈ j s − Γs+ i γ2 ∈ j t − Γt+ takie
że
γ = γ1 + γ2
oraz
γ1 (t,∞) = 0.
TWIERDZENIE 2.17. Jeśli I jest zbiorem skończonym i rynek amerykański J s )s∈I ∗ spełnia NTC,
to
Πa0 (A) = sup Πe0 A(η), η
η∈S
dla dowolnej opcji amerykańskiej A(s) s∈I .
Dowód tego twierdzenia składa si˛e kilku lematów. Jeśli nie zostało to zaznaczone, to w lematach tych
nie b˛edziemy wymagać, by I było zbiorem skończonym.
LEMAT 2.18. Niech s ∈ I i η ∈ S s . Załóżmy, że rodzina zmiennych losowych (ξk )k∈θ ⊆ Lp (Ω, Fη )
jest scentrowana w gór˛e. Jeśli esssupk∈θ ξk ∈ Lp (Ω, Fη ) i cena Πes (esssupk∈θ ξk , η) jest skończona, to
Πes (esssup ξk , η) = esssup Πes (ξk , η).
k∈θ
k∈θ
Dowód. Przypomnijmy, że Πes jest przekształceniem niemalejacym,
˛
tzn. jeśli ξ, ξ 0 ∈ Lp (Ω, Fη ), ξ ≤ ξ 0
p.n., to Πes (ξ, η) ≤ Πes (ξ 0 , η) p.n. Oznaczmy ξ ∗ = esssupk∈θ ξk . Zauważmy, że ξk ≤ ξ ∗ , k ∈ θ.
Monotoniczność Πes daje
Πes (ξk , η) ≤ Πes (ξ ∗ , η) p.n.,
czyli
esssup Πes (ξk , η) ≤ Πes (ξ ∗ , η) p.n.
k∈θ
esssupk∈θ Πes (ξk , η)
Wiemy zatem, że
Wykażemy teraz, że
∈ Lp (Ω, Fs ).
Πes (ξ ∗ , η) ≤ esssup Πes (ξk , η) p.n.
k∈θ
Z faktu, że rodzina (ξk )k∈θ jest scentrowana w gór˛e wynika istnienie ciagu
˛ (kn )n∈N ⊆ θ, takiego że
ξkn % ξ ∗ punktowo i w Lp (Ω, Fη ) z twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej. Stad
˛ Cn = Πes (ξkn , η)
45
jest niemalejacym
˛
ciagiem
˛
zmiennych losowych majoryzowanych przez esssupk∈θ Πes (ξk , η). A zatem Cn jest zbieżny punktowo i, na mocy twierdzenia o zbieżności majoryzowanej, w Lp (Ω, Fs ).
Dostajemy
−Cn δs + ξkn δη → − lim Cn δs + ξ ∗ δη w X.
n→∞
Czyli
Πes (ξ ∗ , η) ≤ lim Cn ≤ esssup Πes (ξk , η).
n→∞
k∈θ
LEMAT 2.19. Załóżmy, że rozszerzony rynek amerykański spełnia założenie NTC. Dla s, t ∈ I ∗ ,
t ≤ s, η ∈ S t i A ∈ Lp (Ω, Fη ), takich że Πet (A, η) jest skończone,
Πet A, η = Πet 1η<s A + Πes (1η≥s A, η ∨ s), η ∧ s .
Dowód. Oznaczmy C = Πet A, η . Na mocy definicji ceny zabezpieczenia, z warunku, że C jest
skończone wynika, że C ∈ Lp (Ω, Ft ). Na mocy lematu 2.15 mamy −Cδt + Aδη ∈ j s − Γs+ . Na
mocy założenia NTC istnieje W ∈ Lp (Ω, Fs ), takie że −Cδt + Aδη = γ1 + γ2 , gdzie
γ1 = −Cδt + 1η<s Aδη + 1η≥s W δs ∈ j t − Γt+ ,
γ2 = 1η≥s − W δs + Aδη
∈ j s − Γs+ .
Stad
˛ W ≥ Πes 1η≥sA, η ∨ s . Możemy zatem wziać
˛ W = Πes 1η≥s A, η ∨ s . Z lematu 2.14 wynika,
że Πes 1η≥s A, η ∨ s = 1η≥s Πes 1η≥s A, η ∨ s .
Z definicji funkcjonału ceny i z postaci γ1 mamy
C ≥ Πet 1η<s A + 1η≥s W , η ∧ s .
Oznaczmy
C1 = Πet 1η<s A + 1η≥s W , η ∧ s
i zauważmy, że
− C1 δt + 1η<s Aδη + 1η≥s W δs + 1η≥s − W δs + Aδη = −C1 δt + Aδη ,
co dowodzi C1 = C, z definicji C.
∗
LEMAT 2.20. Załóżmy, że rozszerzony
rynek amerykański spełnia założenie NTC. Dla s, t ∈ I ,
t ≤ s i opcji amerykańskiej A(t) t∈I połóżmy
Â(r) ≡ Y (r), r < s,
Â(s) = esssup Πes A(η), η .
η∈S s
Jeśli Â(s) ∈ Lp (Ω, Fs ) i Πes Â(ϑ), ϑ < ∞ dla ϑ ∈ S t , ϑ ≤ s, to
esssup Πet A(η), η = esssup Πes Â(ϑ), ϑ .
η∈S t
ϑ∈S t ,ϑ≤s
46
Dowód. Ustalmy η ∈ S t i oznaczmy C = Πet A(η), η . Z lematu 2.19 wynika, że
C = Πet 1η<s A(η) + Πes 1η≥s A(η), η ∨ s , η ∧ s .
Wiemy, że Πes A(η), η ∨ s ∈ Lp (Ω, Fs ), bo Πes A(η), η ∨ s ≤ Â(s). Z lematu 2.14 wynika, że
Πes 1η≥s A(η), η ∨ s = 1η≥s Πes A(η), η ∨ s .
Zatem C ≤ Πet Â(η), η , co daje nam nierówność w jedna˛ stron˛e:
esssup Πet A(η), η ≤ esssup Πes Â(ϑ) .
η∈S t
ϑ∈S t ,ϑ≤s
t
Do dowodu
nierówności w druga˛ stron˛
e ustalmy ϑ ∈ S , ϑ ≤ s i rozważmy rodzin˛e momentów stopu
t
θ = η ∈ S : η ≡ ϑ na {ϑ < s} . Dla dowolnego η ∈ θ z lematu 2.19 dostajemy
Πet A(η), η = Πet 1η<s A(η) + Πes 1η≥s A(η), η ∨ s , η ∧ s
= Πet 1ϑ<s A(ϑ) + Πes 1ϑ=s A(η), η ∨ s , η ∧ s .
Podobnie jak powyżej, z lematu 2.14 dostajemy
Πes 1ϑ=s A(η), η ∨ s = 1ϑ=s Πes A(η), η ∨ s .
Zauważmy także, że η ∧ s = ϑ. Na mocy lematu 2.18
esssup Πet 1ϑ<s A(ϑ) + 1ϑ=s Πes A(η), η ∨ s , ϑ
η∈θ
= Πet 1ϑ<s A(ϑ) + 1ϑ=s esssup Πes A(η), η ∨ s , ϑ = Πet Â(ϑ), ϑ .
η∈θ
Zatem
Πet Â(ϑ), ϑ = esssup Πet A(η), η ≤ esssup Πet A(η), η .
η∈S t
η∈θ
Dowód twierdzenia 2.17. Na mocy lematu 2.10 zachodzi nierówność
Πa0 (A) ≥ sup Πe0 A(η), η .
η∈S
Jeśli prawa strona jest nieskończona, to lewa również i dostajemy równość. Skupimy si˛e zatem na
e
przypadku, gdy prawa strona
jestpskończona. Wtedy Π0 A(η), ηs sa˛ jednostajnie ograniczone dla
e
η ∈ S. Ponadto Πs A(η), η ∈ L (Ω, Fs ) dla dowolnego η ∈ S , s ∈ I. Wynika to z zastosowania
lematu 2.19 dla t = 0 i A = A(η). Łatwo też zauważamy, że zmienne losowe typu
A = esssup Πes A(η), η
η∈S s
sa˛ w Lp (Ω, Fs ), ponieważ
A≤
X
t∈I,t≥s
Πes A(t), t
47
2.4. PRZYKŁAD
i ze skończoności I wynika, że suma po prawej stronie zawiera skończona˛ liczb˛e składników.
Dla jasności wywodu ograniczymy si˛e do przypadku, gdy I = {0, t1 , t2 }, 0 < t1 < t2 , lecz
rozumowanie analogicznie przeprowadza si˛e dla dowolnego skończonego zbioru I. Połóżmy
C1 = Πet1 A(t2 ), t2 ∨ A(t1 )
oraz
C0 = Πe0 C1 , t1 .
Z lematu 2.20 mamy C0 = supτ ∈S Πe0 A(τ ), τ . Skonstruujemy inwestycj˛e σ ∈ J − Σ+ , która
zabezpieczy wypłat˛e amerykańska˛ A(t) t∈I i jej cena w 0 b˛edzie równa C0 . Połóżmy
γ 1 = −C0 δ0 + C1 δt1 ∈ j 0 − Γ0+ ,
γ 2 = −C1 δt1 + A(t2 )δt2 ∈ j t1 − Γt+1 .
Niech γn1 ∈ j 0 − Γ0+ , γn2 ∈ j t1 − Γt+1 b˛eda˛ ciagami
˛
inwestycji europejskich zbieżnych odpowiednio
do γ 1 i γ 2 . Na mocy (COH3)
σn = γn1 ζ(t1 ) + (γn1 + γn2 )ζ(t2 ) ∈ J − Σ+ .
Stad
˛ σn → σ w N , gdzie
σ = − C0 δ0 + C1 δt1 ζ(t1 ) + − C0 δ0 + A(t2 )δt2 ζ(t2 ).
Dostaliśmy zatem zabezpieczenie amerykańskiej opcji (A(t))t∈I .
Zauważmy, że założenie NTC jest wymagane tylko do dowodu lematu 2.19. Możemy zatem zastapić
˛ je założeniem
(PD) Dla dowolnych s, t ∈ I ∗ , t ≤ s, η ∈ S t i A ∈ Lp (Ω, Fη )
Πet A, η = Πet 1η<s A + Πes (1η≥s A, η ∨ s), η ∧ s .
Zwróćmy też uwag˛e, że w dowodach przedstawionych powyżej faktów nie korzystaliśmy z założenia
o braku arbitrażu. Oznacza to, że nasze wyniki sa˛ prawdziwe nawet dla rynków, na których istnieje
możliwość arbitrażu. Nie było to możliwe do osiagni˛
˛ ecia w przypadku innych sposobów modelowania.
2.4.
Przykład
Niech T b˛edzie co najwyżej przeliczalnym podzbiorem [0, ∞), I dowolnym podzbiorem T , zaś p ≥
1. Ustalmy przestrzeń probabilistyczna˛ Ω, F, P) z filtracja˛ (Ft )t∈T . Ograniczymy si˛e do tzw. modelu
przeliczalnego dla p. Na rynku dana jest rodzina adaptowanych procesów stochastycznych (S α )α∈A ,
reprezentujacych
˛
ceny papierów wartościowych. Dyskusj˛e o możliwych papierach wartościowych
odłożymy na później. Tutaj wspomnijmy tylko, że nie dokonujemy żadnych założeń co do liczności
zbioru indeksów A. Zakładamy jedynie, że S α (η) ∈ Lp (Ω, Fη ) dla dowolnego α ∈ A, η ∈ S̃, gdzie
S̃ jest zbiorem momentów stopu o wartościach w T . Przez S̃ s , s ∈ I ∗ , oznaczymy zbiór momentów
stopu η ∈ S̃ nie mniejszych od s. Wprowadzamy ograniczenia na skład portfela poprzez wybranie
wypukłego dodatniego stożka C ⊆ RA . Zakładamy, że jedna transakcja może dotyczyć skończonej
liczby papierów.
Skonstruujemy rynek amerykański z ograniczeniami na skład portfela. Idea konstrukcji jest prosta,
jednak b˛edzie wymagała skomplikowanych oznaczeń. Niech Θ(η), gdzie η ∈ S̃, oznacza zbiór funkcji
θ : A → L∞ (Ω, Fη ) o nast˛epujacych
˛
własnościach:
48
i) θ(α) = 0 p.n. poza skończona˛ liczba˛ argumentów α ∈ A,
ii) θ(α), α ∈ A ∈ C p.n.
Jest to zbiór możliwych transakcji w momencie η.
Konstrukcj˛
e rynku z ograniczeniami J s podzielimy na dwie cz˛eści. Zgodnie z definicja,˛ jeśli σ ∈
s
˛
zaś współrz˛edne σ(t),
J , to σ [0,s) ≡ 0 i współrz˛edne σ(t), t ∈ I ∩ [0, s] nie sa˛ ze soba˛ zwiazane,
s
t ∈ I ∩ (s, ∞) sa˛ ograniczone wi˛ezami uj˛etymi w Σ. Zbiór Y odpowiada za pierwszy z powyższych
przypadków, zaś X s – za drugi.
Zbiór X s , s ∈ I ∗ , zawiera funkcje ∆ : I ∩ (s, ∞) → S̃ s × S̃ s × Θ(∞) o nast˛epujacych
˛
własnościach: przyjmujac
˛ oznaczenie współrz˛ednych ∆(u) = (ηu , ϑu , θu ), u ∈ I ∩ (s, ∞), dla
u, v ∈ I ∩ (s, ∞)
θu ∈ Θ(ηu ),
ηu < ϑu ,
ηu = ηv , θu = θv na {ηu < u} ∪ {ηv < u},
ϑu = ϑv na {ϑu < u} ∪ {ϑv < u}.
Z elementem zbioru X s zwiażemy
˛
amerykańska˛ możliwość inwestycyjna˛ σ, która na współrz˛ednej
t > s b˛edzie miała wynik strategii inwestycyjnej polegajacej
˛ na zakupie portfela θt w momencie ηt
i sprzedaży w momencie ϑt . Analogicznie b˛edziemy interpretować zbiór Y s , s ∈ I ∗ , który zawiera
funkcje ∆ : I ∩ [0, s] → S̃ s × S̃ s × Θ(∞) o nast˛epujacych
˛
własnościach: przyjmujac
˛ oznaczenie
współrz˛ednych ∆(u) = (ηu , ϑu , θu ), u ∈ I ∩ [0, s],
θu ∈ Θ(ηu ),
ηu < ϑu .
Rynek amerykański J s , s ∈ I ∗ , jest najmniejszym wypukłym dodatnim stożkiem zawierajacym
˛
inwestycje
X X
θ(t)(α) S α (ϑt )δϑt − S α (ηt )δηt ζ(t),
(ηt , ϑt , θt ) ∈ X s ,
t∈I∩(s,∞) α∈A
X
X
θ(t)(α) S α (ϑt )δϑt − S α (ηt )δηt ζ(t),
(ηt , ϑt , θt ) ∈ Y s .
t∈I∩[0,s] α∈A
P RZYKŁAD 2.2 (Model ilustracyjny c.d.). Jak wspomnieliśmy, model ilustracyjny jest identyczny
z modelem przeliczalnym T = I = {0, 1, 2, 3}. Przypomnijmy, że każda inwestycja amerykańska σ
w tym modelu ma zapis
σ(i) = γ0i δ0 + γ1i δ1 + γ2i δ2 + γ3i δ3 , i ∈ I.
Ustalmy także dla uproszczenia A = {1, 2} i dodatni wypukły stożek C ⊆ R2 . Rozszerzony rynek
amerykański składa si˛e z czterech cz˛eści: J 0 , J 1 , J 2 i J 3 . Ostatnia z nich jest trywialna, składa si˛e z
jednego elementu zerowego. Przedstawimy w detalach konstrukcj˛e J 1 . Odpowiednikiem inwestycji
generowanych przez X 1 jest zbiór σ ∈ Σ o nast˛epujacych
˛
własnościach:
γj0 = γj1 = 0, j = 0, 1, 2, 3,
γ12 = γ13 = −θ(1)S 1 (1) − θ(2)S 2 (1),
γk2 = γk3 = θ(1)S 1 (k) + θ(2)S 2 (k)
49
2.4. PRZYKŁAD
dla k ∈ {2, 3}, θ ∈ L∞ (Ω, F1 ; C) lub γji = 0, i, j ∈ I, poza
γ2k = −θ(1)S 1 (2) − θ(2)S 2 (2),
γ3k = θ(1)S 1 (3) + θ(2)S 2 (3)
dla k ∈ {2, 3}, θ ∈ L∞ (Ω, F2 ; C). Inwestycjom zwiazanych
˛
ze zbiorem Y 1 odpowiadaja˛ σ ∈ Σ
o wszystkich elementach zerowych poza
γki = −θ(1)S 1 (k) − θ(2)S 2 (k),
γli = θ(1)S 1 (l) + θ(2)S 2 (l)
dla k, l, i ∈ I, 1 ≤ k < l, θ ∈ L∞ (Ω, Fl ; C).
Jeśli I oraz A sa˛ zbiorami skończonymi, to rynek możemy zdefiniować prościej. Weźmy s ∈ I ∗ .
Wtedy J s jest najmniejszym wypukłym dodatnim stożkiem zawierajacym
˛
[
J t,
t∈I∩(t,∞)
γζ(t), γ ∈ Ξ(s), t ∈ I ∩ [0, s],
X
γζ(u), γ ∈ Ξ(s), t ≥ s,
u∈I∩(t,∞)
gdzie
Ξ(s) =
nX
θ(α) S α (ϑ)δϑ − S α (η)δη :
η, ϑ ∈ S̃ s , η < ϑ, θ ∈ L∞ (Ω, Fη , C) ,
α∈A
gdzie ograniczenie C traktujemy jako podzbiór przestrzeni euklidesowej
RA .
Oznaczmy skonstruowany powyżej model przez J (S α )α∈A , C . Model ten jest bardzo ogólny.
Obejmuje on instrumenty bazowe b˛edace
˛ akcjami lub obligacjami z ryzykiem bankructwa, rachunki bankowe. Możemy także uwzgl˛ednić inwestycje w opcje z możliwościa˛ ich sprzedaży lub nie.
Zauważmy też, że zaprezentowany model pozwala na rozważanie różnych stóp lokat i pożyczek bankowych.
LEMAT 2.21. Rodzina J (S α )α∈A , C jest rozszerzonym rynkiem amerykańskim.
Dowód tego faktu jest natychmiastowy. Udowodnimy teraz warunek (PD).
TWIERDZENIE 2.22. Jeśli ceny akcji sa˛ nieujemne oraz C ⊆ [0, ∞)A , to na rynku J (S α )α∈A , C
spełniony jest warunek (PD)
Πet A, η = Πet 1η<s A + Πes (1η≥s A, η ∨ s), η ∧ s , s, t ∈ I, s > t, η ∈ S t
dla wypłat o tej własności, że Πes (A, η) < ∞.
Dowód. Jeśli lewa strona warunku (PD) jest nieskończona, to równość jest natychmiastowa. Załóżmy
zatem, że Πet A, η jest skończona. W dowodzie b˛edziemy korzystać z tego, że działamy w modelu
przeliczalnym, w którym zbieżność γn do γ jest silnie zwiazana
˛
ze zbieżnościa˛ w Lp (Ω, Ft ) przepływów γn (t) w chwili t ∈ T inwestycji γn do γ(t).
50
Na podstawie dowodu lematu 2.19 widać, że w celu dowiedzenia (PD) konieczne jest udowodnienie warunku NTC dla inwestycji postaci −Cδt + Aδη . Ustalmy t ∈ T i s ∈ I ∗ , s > t, s ≤ η
˛
zbieżnym do γ. Możep.n. Niech γ = −Cδt + Aδη ∈ j s − Γs+ , zaś γn ∈ j s − Γs+ b˛edzie ciagiem
my znaleźć dekompozycj˛e γn na sum˛e φn + ψn spełniajac
˛ a˛ założenia podane w warunku NTC, tzn.
φn ∈ j t − Γt+ , ψn ∈ j s − Γs+ i φ|(s,∞) ≡ 0. Oznaczmy przez wn ∈ Lp (Ω, Fs ) przepływ pieni˛eżny
w chwili s w inwestycji φn , zaś przez vn ∈ Lp (Ω, Fs ) przepływ pieni˛eżny w chwili s w inwestycji
ψn . Oczywiście wn + vn jest równe przepływowi w chwili s strategii γn , czyli suma ta daży
˛ do 0 w
Lp (Ω, Fs ). Co wi˛ecej, vn jest zmienna˛ losowa˛ niedodatnia,˛ gdyż na mocy założeń na rynku nie ma
możliwości zadłużania si˛e.
Połóżmy v = −Πes (A, η) i B = {vn < v}. Inwestycja
ψn∗ = 1B (vδs + Aδη ) + 1B c γn
należy do j s − Γs+ . Jej przepływ w momencie s wynosi vn∗ = 1B v+1B c vn . Zmodyfikujmy inwestycje
φn kładac
˛
φ∗n = φn + (vn − vn∗ )δs .
Ponieważ vn − vn∗ ≤ 0, to φ∗n ∈ j t − Γt+ .
∗ , . . .)
Na mocy lematu A1.1 z pracy Delbaen, Schachermayer [7] istnieje ciag
˛ ṽn∗ ∈ conv(vn∗ , vn+1
zbieżny punktowo i w Lp (Ω, Fs ) do pewnej zmiennej losowej ṽ ∗ . Weźmy identyczne kombinacje
wypukłe strategii ψn∗ i φ∗n , i oznaczmy je odpowiednio przez ψ̃n∗ , φ̃∗n . Wtedy
ψ̃n∗ → ṽ ∗ δs + Aδη
(2.1)
oraz
φ̃∗n → −Cδt − v ∗ δs ,
bo przepływ w momencie s inwestycji φ∗n wynosi wn +vn −vn∗ , zaś wn +vn daży
˛ do zera w Lp (Ω, Fs ).
Zauważmy, że z powyższego dowodu wynika, iż ṽ ∗ = −Πes (A, η). Z konstrukcji wynika, że
0 ≥ vn∗ ≥ −Πes (A, η),
czyli ṽ ∗ spełnia te same nierówności. Jednak z (2.1) mamy ṽ ∗ ≤ −Πes (A, η).
Rozdział 3
Sterowanie impulsowe
Sterowanie impulsowe procesów Markowa zostało wprowadzone w pracy Bensoussana i Lionsa [2].
Jest ono jednym z najcz˛eściej stosowanych sposobów sterowania stochastycznego. Polega na zmianie
stanu sterowanego procesu Markowa Y (t) w momentach stopu τ1 , τ2 , . . .. Zmiana ta zależy tylko od
historii procesu. Celem sterowania jest maksymalizacja lub minimalizacja funkcjonału zależnego od
trajektorii procesu i sterowania. W tym rozdziale skupimy si˛e na jednym typie funkcjonału. Rozważania rozpocznijmy jednak od wprowadzenia poj˛eć.
3.1.
Procesy Markowa
Rozważmy przestrzeń mierzalna˛ (Ω, F), która b˛edzie pełnić rol˛e bazy dla kolekcji przestrzni probabilistycznych. W tej przestrzeni wprowadzamy filtracj˛e, czyli rosnac
˛ a˛ rodzin˛e σ-ciał zawartych w F.
Niech (E, E) b˛edzie przestrzenia˛ metryczna˛ ośrodkowa˛ z σ-ciałem zbiorów borelowskich oznaczanym E. Nazwiemy ja˛ przestrzenia˛ stanów.
DEFINICJA 3.1. Procesem Markowa nazywamy rodzin˛e Ω, F, Ft , X(t), θt , Px spełniajac
˛ a˛ nast˛epujace
˛ warunki:
i) X : R+ × Ω → E jest procesem adaptowanym,
ii) (Px )x∈E jest rodzina˛ miar probabilistycznych na (Ω, F),
iii) funkcja x 7→ Px X(t) ∈ B jest mierzalna dla dowolnego B ∈ E i t ∈ R+ ,
iv) θt : Ω → Ω, zwany operatorem przesuni˛ecia lub translacji, spełnia X(t) ◦ θh (ω) = X(t +
h)(ω) dla t, h ∈ R+ i ω ∈ Ω (jednorodność w czasie),
v) Px X(t + s) ∈ B|Ft = PX(t) X(s) ∈ B dla x ∈ E, B ∈ E oraz t, s ∈ R+ (własność
Markowa),
vi) F, (Ft ) sa˛ uniwersalnie zupełne.
Cz˛esto rozważana˛ baza˛ procesu Markowa jest przestrzeń Ω składajaca
˛ si˛e ze wszystkich funkcji RCLL
(prawostronnie ciagłych
˛
z lewostronnymi granicami) z R+ do Rd . Wtedy (E, E) = Rd , B(Rd ) oraz
X(t)(ω) = ω(t) dla (t, ω) ∈ R+ × Ω. Na Ω zadajemy filtracj˛e wzorem
Ft0 = σ ω(s) : s ≤ t , t ∈ R+
i uzupełniamy uniwersalnie
dostajac
˛ Ft . Oczywiście F jest uzupełnieniem uniwersalnym σ-ciała geS
nerowanego przez t∈R+ Ft .
51
52
ROZDZIAŁ 3. STEROWANIE IMPULSOWE
W dalszej cz˛eści rozdziału odwołujac
˛ si˛e do procesu Markowa nie b˛edziemy przytaczać całej rodziny obiektów, które go tworza,˛ lecz ograniczymy si˛e tylko do oznaczenia X(t).
Wprowadzimy teraz mocniejsza˛ wersj˛e własności Markowa.
DEFINICJA 3.2. Proces Markowa X(t) ma silna˛ własność Markowa, jeśli
Px X(τ + s) ∈ B|Fτ = PX(τ ) X(s) ∈ B
dla momentu stopu τ , liczby s ∈ R+ , x ∈ E oraz B ∈ E.
Wprowadźmy teraz kilka oznaczeń. Załóżmy, że E jest przestrzenia˛ metryczna.˛ Niech C(E),
Cb (E), C0 (E) oznaczaja˛ rodziny funkcji z E do R odpowiednio ciagłych,
˛
ciagłych
˛
ograniczonych
i ciagłych,
˛
ograniczonych, znikajacych
˛
w nieskończoności.
Z każdym procesem Markowa powiazana
˛
jest półgrupa przejścia. Z własności Markowa wynika,
że zdefiniowany poniżej operator ma rzeczywiście własność półgrupy.
DEFINICJA 3.3. Półgrupa przejścia (Pt )t∈R+ procesu Markowa X(t) dana jest wzorem
Pt f (x) = E x f X(t) , x ∈ E,
gdzie f : E → R jest ograniczona˛ funkcja˛ mierzalna,˛ zaś E x jest operatorem wartości oczekiwanej
zwiazanym
˛
z miara˛ Px .
Nast˛epna definicja wprowadza rodzin˛e procesów Fellera, którymi b˛edziemy zajmować si˛e w tym
rozdziale.
DEFINICJA 3.4. Procesem Fellera nazywamy taki proces Markowa, którego półgrupa przejścia
(Pt )t∈R+ przekształca C0 (E) w C0 (E) i jest C0 ciagła
˛ tzn.
kPt f − f k → 0, gdy t → 0, f ∈ C0 (E).
Fellerowskość jest rodzajem ciagłości
˛
procesu. Intuicyjnie, proces z dużym prawdopodobieństwem
zostaje w określonym otoczeniu punktu startowego przez krótki, ale deterministyczny czas.
Własność C0 ciagłości
˛
jest implikowana przez nieco słabszy warunek (patrz Rogers, Williams
[26], lemat III.6.7)
lim Pt f (x) = f (x), x ∈ E, f ∈ C0 (E).
t→0
Dowodu poniższego twierdzenia należy szukać w monografii Dynkina [9]. Znajduje si˛e on także w
Rogers, Williams [26] III.7 i III.11. Udowodnienie istnienia modyfikacji RCLL wymaga skorzystania
z zupełności filtracji.
TWIERDZENIE 3.5. Proces Fellera posiada modyfikacj˛e o trajektoriach RCLL, która
i) ma silna˛ własność Markowa,
ii) jest quasi-lewostronnie ciagła.
˛
W obliczu powyższego twierdzenia w dalszych rozważaniach b˛edziemy zakładać, że operujemy na
modyfikacji procesu Fellera z trajektoriami RCLL, tzn. każdy proces Fellera bedzie miał trajektorie RCLL. Zauważmy ponadto, że filtracja generowana przez proces Markowa b˛edzie prawostronnie
ciagła.
˛
53
3.2. STEROWANIE
3.2.
Sterowanie
W tym podrozdziale wprowadzimy poj˛ecie sterowania, funkcjonału celu i funkcji wartości. Ograniczymy si˛e do szczególnej postaci sterowania, dzi˛eki czemu nie b˛edziemy zmuszeni do żmudnych
konstrukcji procesu odpowiedzi na sterowanie (patrz Robin [25]). Nie b˛edzie to jednak wpływało na
ogólność prezentowanych wyników, a jedynie uprości
notacj˛e.
Ustalmy proces Markowa Ω, F, Ft , X(t), θt , Px . Nie b˛edziemy nim bezpośrednio sterować, znieniajac
˛ jego stan, jak to si˛e dzieje w ogólnym podejściu. Nasze sterowanie b˛edzie zewn˛etrznym elementem. Niech Y = (N , X) b˛edzie procesem Markowa, którego pierwsza współrz˛edna jest stała, zaś
druga jest równa X. Sterowanie b˛edzie dokonywało zmiany tylko pierwszej współrz˛ednej, która de
facto pełni funkcj˛e przechowywania ostatniej decyzji.
DEFINICJA 3.6. Sterowaniem Π nazywamy ciag
˛ par (Ni , τi )i∈N spełniajacych
˛
nast˛epujace
˛ warunki:
i) τi jest momentem stopu,
ii) τi ≤ τi+1 dla i ∈ N,
iii) limi→∞ τi = ∞ PX(0) -p.n.,
iii) Ni jest Fτi -mierzalna˛ zmienna˛ losowa˛ o wartościach w E,
iv) τ0 = 0, N0 jest deterministyczna˛ wartościa.˛
Zauważmy, że zbiór sterowań zależy od warunku poczatkowego
˛
X(0) dla procesu X.
Formalnie odpowiedzia˛ na sterowanie Π = (Ni , τi ) jest proces Y Π (t) = N (t), X(t) , t ∈ R+ ,
gdzie
∞
X
N (t) =
1[τi ,τi+1 ) (t)Ni .
i=0
Oczywiście jest on procesem Markowa. Oznaczmy wi˛ec przez Ẽ nowa˛ przestrzeń stanów E × E z
σ-ciałem produktowym Ẽ. W celu uproszczenia notacji b˛edziemy oznaczać przez Py , y = (η, x) ∈ Ẽ,
miar˛e Px .
Ograniczymy teraz zbiór sterowań, które b˛edziemy rozpatrywać. Z każdym punktem przestrzeni
stanów zwiażemy
˛
zbiór możliwych impulsów poprzez wprowadznie funkcji Γ : Ẽ → Ẽ. A zatem z
punktu y ∈ Ẽ możemy proces przesunać
˛ do dowolnego punktu ze zbioru Γ(y) i nigdzie indziej.
DEFINICJA 3.7. Sterowaniem dopuszczalnym Π = (Ni , τi ) dla y = (η, x) ∈ Ẽ nazywamy sterowanie, takie że N0 = η i
Py Ni ∈ Γ Ni−1 , X(τi ) = 1.
Zbiór wszystkich sterowań dopuszczalnych oznaczamy przez A. Zbiór sterowań dopuszczalnych dla
y ∈ Ẽ oznaczamy przez A(y). Dla ustalonego sterowania dopuszczalnego Π ∈ A(y) rozważamy
funkcjonał celu:
J(Π) = E y
nZ
0
∞
∞
X
o
e−αt f Y Π (t) dt +
e−ατi c Y Π (τi ), Ni ,
(3.1)
i=1
gdzie f : Ẽ → R+ i c : Ẽ × E → R+ sa˛ funkcjami mierzalnymi, nieujemnymi, zaś α ∈ R.
Funkcj˛e c rozumie si˛e jako koszt dokonania impulsu, zaś f odpowiedzialna jest za ocen˛e bieżacego
˛
54
stanu procesu. Zadanie optymalnego sterowania polega na znalezieniu strategii minimalizujacej
˛ lub
maksymalizujacej
˛ wartość funkcjonału J.
W dalszych rozważaniach ograniczymy si˛e tylko do opisu przypadku minimalizacji.
DEFINICJA 3.8. Funkcja˛ wartości nazywamy
v(y) =
inf
J(Π), y ∈ Ẽ.
Π∈A(y)
Jak wspomnieliśmy wcześniej, teoria sterowania optymalnego zajmuje si˛e odpowiedzia˛ na pytanie,
czy infinum znajdujace
˛ si˛e w definicji funkcji wartości jest osiagane.
˛
Ponadto poszukuje si˛e funkcji
wartości. Okazuje si˛e, że znalezienie funkcji wartości odpowiednio gładkiej pozwala na skonstruowanie sterowania optymalnego.
W dalszej cz˛eści wykładu podamy metody dowodzenia istnienia sterowania optymalnego i jego
znajdowania. Teraz jednak zwrócimy uwag˛e na bardzo ważny fakt. Jeśli b˛edziemy w stanie znaleźć
sterowanie optymalne, to b˛edzie to sterowanie stacjonarne i markowskie, tzn. takie, w którym decyzj˛e o dokonaniu impulsu b˛edziemy podejmować na podstawie bieżacej
˛ wartości procesu sterowanego
Y Π (t) i cel tego impulsu b˛edzie również zależał od wartości Y Π (t) w momencie dokonywania impulsu.
3.3.
Równanie Bellmana
W rozwiazaniach
˛
problemów sterowania optymalnego pojawia si˛e cz˛esto równanie Bellmana. W tym
rozdziale b˛edziemy dażyć
˛
do pokazania, że równianie to pełni pierwszorz˛edna˛ rol˛e w rozwiazaniu
˛
problemu sterowania optymalnego.
Na poczatek
˛ wprowadźmy operator impulsu dla funkcji u : Ẽ → R
M u(η, x) = inf c(η, x, ξ) + u(ξ) , (η, x) ∈ Ẽ.
ξ∈Γ(y)
Operatorem Bellmana b˛edziemy nazywać
nZ τ
o
y
Ku(y) = inf E
e−αt f Y (t) dt + e−ατ M u Y (τ ) , y ∈ Ẽ,
τ
(3.2)
0
gdzie u : Ẽ → R jest dowolna˛ funkcja,˛ taka˛ że M u jest funkcja˛ mierzalna.˛
Sformułujemy teraz twierdzenia pierwszorz˛ednej wagi dla naszego wykładu. Stwierdzaja˛ one, że
jeśli funkcja wartości spełnia równanie Bellmana
Kv = v,
(3.3)
jest ciagła
˛ i operator impulsu spełnia odpowiednie założenia, to istnieje strategia optymalna, która jest
markowska. Ponadto skonstruujemy t˛e strategi˛e bazujac
˛ na funkcji wartości v.
DEFINICJA 3.9. Odwzorowanie γ : Ẽ → Ẽ nazywamy ośrodkowym, jeśli
i) {(z, y) : y ∈ γ(z)} ∈ Ẽ ⊗ Ẽ,
ii) Ẽ zawiera przeliczalny g˛esty zbiór Ẽ 0 , taki że Ẽ 0 ∩γ(y) jest g˛esty w γ(y) dla każdego y ∈ Ẽ.
TWIERDZENIE 3.10. Załóżmy, że
55
3.3. RÓWNANIE BELLMANA
i) Γ(y) jest zbiorem zwartym dla każdego y ∈ Ẽ,
ii) v jest funkcja˛ ciagł
˛ a,˛
iii) istnieje ciag
˛ odwzorowań ośrodkowych γn : Ẽ → Ẽc , gdzie Ẽc to podrodzina Ẽ składajaca
˛
si˛e ze zbiorów zwartych, takich że γn (y) → Γ(y), y ∈ Ẽ
Istnieje wtedy funkcja mierzalna I : Ẽ → Ẽ, taka że
M v(y) = c y, I(y) + v I(y) .
Funkcj˛e t˛e nazwiemy funkcja˛ impulsu.
Dowód. Twierdzenie to jest szczególnym przypadkiem twierdzenia 2 z pracy Schäl’a [27].
Niech C b˛edzie dowolnym zbiorem otwartym w Ẽ, zwanym obszarem kontynuacji, zaś I funkcja˛
mierzalna.˛ Skonstruujemy sterowanie Π = (Ni , τi ), które zależeć b˛edzie od tych dwóch elementów.
Nie musi ono jednak spełniać punktu iii) definicji 3.6. Konstrukcja przebiegać b˛edzie indukcyjnie.
Ustalmy punkt y = (η, x) ∈ Ẽ i połóżmy N0 = η, τ0 = 0. Nast˛epnie dla i = 1, 2, . . . kładziemy
τi = inf{t ≥ τi−1 :
(Ni−1 , X(t)) ∈
/ C},
Ni = I Ni−1 , X(τi ) .
Ponieważ dopełnienie C jest zbiorem domkni˛etym, to τi jest momentem stopu.
Przypomnijmy, że f i c sa˛ funkcjami nieujemnymi - b˛edziemy z tego korzystać w poniższym
twierdzeniu. Ponadto niech h b˛edzie potencjałem:
Z ∞
y
h(y) = E
e−αt f Y (t) dt, y ∈ Ẽ.
0
i) funkcja wartości v spełnia równanie Bellmana Kv = v,
ii) M v i v sa˛ funkcjami ciagłymi,
˛
iii) istnieje mierzalna funkcja impulsu I.
Wtedy zbiór kontynuacji
C = {y ∈ Ẽ :
M v(y) > v(y)}
jest zbiorem otwartym. Niech y ∈ Ỹ i
Π = (N0 , τ0 ), (N1 , τ1 ), . . . ,
gdzie Ni i τi pochodza˛ z konstrukcji poprzedzajacej
˛ twierdzenie. Jeśli
i’) Py { lim τi < K} = 0,
i→∞
ii’) przy minimalizacji funkcjonału celu
E y e−ατi h Y Π (τi ) → 0,
gdy i → ∞,
przy maksymalizacji funkcjonału celu
E y e−ατi v Y Π (τi ) → 0,
gdy i → ∞,
to Π jest sterowaniem dopuszczalnym i optymalnym dla y.
56
Dowód. Jasne jest, że Π jest sterowaniem dopuszczalnym. Musimy tylko pokazać jego optymalność.
Niech Πi b˛edzie obci˛eciem Π do i pierwszych impulsów. Wystarczy zatem pokazać, że J(Πi ) zbiega
do v(y), gdzie y jest poczatkowym
˛
stanem procesu. Rozważmy najpierw przypadek minimalizacji
funkcjonału celu. Zauważmy, że
J(Πi ) − v(y) = J(Πi ) − Ki v(y) =
i
nZ ∞
X
o
e−αt f Y Πi (t) dt +
= Ey
e−ατk c Y Πi (τk ), Nk
0
− Ey
nZ
τi
k=1
i
X
e−αt f Y Πi (t) dt +
0
o
e−ατk c Y Πi (τk ), Nk + e−ατi v Y Πi (τi )
k=1
Warunkujemy wzgl˛edem F̃τi
n nZ
J(Πi ) − v(y) = E E y
∞
y
o
o
e−αt f Y Πi (t) dtF̃τi − e−ατi v Y Πi (τi )
τi
A zatem
J(Πi ) − v(y) ≤ E y e−ατi h Y Πi (τi )
wykorzystujac
˛ fakt, że v jest funkcja˛ nieujemna;
˛ wynika to z nieujemności f i c. Zatem na mocy
założenia ii’) mamy
lim J(Πi ) − v(y) = 0.
i→∞
Dowód dla przypadku maksymalizowania funkcjonału celu jest niemalże identyczny. Po przekształceniach dostajemy
v(y) − J(Πi ) ≤ E y e−ατi v Y Πi (τi ) ,
co na mocy założenia ii’) daży
˛ do zera.
WNIOSEK 3.12. Warunek ii’) twierdzenia 3.11 jest zb˛edny, gdy f jest funkcja˛ ograniczona.˛
Dowód. Niech F = supy∈Ẽ |f (y)|. Wtedy
F
E y e−ατi h Y Πi (τi ) ≤ E y e−ατi
=
α
F
E y e−ατi v Y Πi (τi ) ≤ E y e−ατi
=
α
F y −ατi
E e
→ 0,
α
F y −ατi
→ 0,
E e
α
gdyż z i’) i ze zbieżności zmajoryzowanej
E y e−ατi → 0.
Aby skorzystać w podanej powyżej teorii musimy wiedzieć, że funkcja wartości spełnia równanie
Bellmana i jest ciagła.
˛
Zaprezentujemy dwie metody rozwiazania
˛
tego problemu, które, jak si˛e okaże,
b˛eda˛ silnie ze soba˛ powiazane.
˛
Choc b˛eda˛ one niekonstruktywne, tzn. pozwola˛ jedynie dowieść istnienia rozwiazania,
˛
w przeciwieństwie do metod z zastosowaniem nierówności quasi-wariacyjnych, to
pozwola˛ na wykazanie istnienia rozwiazania
˛
optymalnego dla wi˛ekszej klasy problemów. Dla przejrzystości założymy, że f jest funkcja˛ ograniczona.˛
57
3.3. RÓWNANIE BELLMANA
Granica rozwiaza
˛ ń czastkowych
˛
Niech Ai (y) b˛edzie zbiorem tych sterowań dopuszczalnych, które maja˛ co najwyżej i impulsów tzn.
τi+1 = ∞ p.n. Oznaczmy
vi (y) = inf J(Π), y ∈ Ẽ.
Π∈Ai (y)
Zatem vi to funkcja wartości dla problemu z ograniczona˛ przez i liczba˛ dozwolonych impulsów.
Oczywiście ciag
˛ vi (y) jest nierosnacy
˛ i ograniczony z dołu przez 0 dla każdego y ∈ Ẽ. Ma zatem
granic˛e, która˛ oznaczamy przez v(y).
LEMAT 3.13. v jest funkcja˛ wartości.
Dowód. Ustalmy y ∈ E i oznaczmy przez u funkcj˛e wartości. Wtedy
u(y) =
inf
J(Π).
Π∈A(y)
Weźmy dowolny > 0 i Π ∈ A(y) takie, że J(Π) − u(y) < . Rozważmy nast˛epnie obci˛ecie Πi
sterowania Π do i pierwszych impulsów. Wtedy, podobnie jak w dowodzie twierdzenia 3.11, mamy
J(Πi ) − J(Π) ≤ E y e−ατi h Y Π (τi ) .
Na mocy wniosku 3.12 istnieje takie i, że J(Πi ) − J(Π) < . Stad
˛ J(Πi ) − u(y) < 2, czyli
vi (y) − u(y) < 2. A zatem vi (y) daży
˛ do u(y) z dowolności wyboru . Stad
˛ v = u.
Głównym problemem pozostaje pokazanie, że v, otrzymane jako granica vi , jest funkcja˛ ciagł
˛ a˛
i spełnia równanie Bellmana. Jeżeli f jest funkcja˛ ciagł
˛ a˛ oraz M przekształca funkcje ciagłe
˛ w cia˛
głe, to vi sa˛ funkcjami ciagłymi.
˛
Jeśli zatem pokażemy, że vi zbiegaja˛ do v jednostajnie na zbiorach
zwartych, to v b˛edzie funkcja˛ ciagł
˛ a.˛ Łatwo też wykażemy, że v spełnia równanie Bellmana.
Twierdzenie o punkcie stałym
Bardzo silnym narz˛edziem do poszukiwania rozwiazań
˛
równania Bellmana jest zastosowanie twierdzenia o punkcie stałym odwzorowania wkl˛esłego i monotonicznego. Ograniczymy si˛e tutaj do samego zacytowania ostatecznego wyniku bez jego dowodu. Niech h b˛edzie potencjałem
Z ∞
y
e−αt f Y (t) dt, y ∈ Ẽ.
h(y) = E
0
TWIERDZENIE 3.14 (Zabczyk [33]). Jeśli h ∈ Cb (Ẽ), γh ≤ M 0, gdzie 0 jest funkcja˛ zerowa,˛
zaś γ > 0 i M przekształca Cb (Ẽ) w Cb (Ẽ), to równanie Bellmana
v = Kv
ma dokładnie jedno rozwiazanie
˛
ṽ w zbiorze Cb (Ẽ). Ponadto dla dowolnego v0 ∈ Cb (Ẽ), v0 ≥ 0
Ki v0 → ṽ, i → ∞.
jednostajnie i wykładniczo szybko.
Twierdzenie powyższe stanie si˛e pełne, jeśli pokażemy, że rozwiazanie
˛
ṽ równania Bellmana jest
funkcja˛ wartości. W tym celu udowodnijmy
58
LEMAT 3.15. Jeśli istnieje funkcja impulsu dla M h, M vi , i = 1, 2, . . ., to
vi (y) = Ki h(y), i = 1, 2, . . . ,
gdzie h jest potencjałem.
Dowód. Oczywiste jest, że v0 = h. Ustalmy y ∈ Ẽ.
nZ ∞
o
e−αt f Y Π (t) dt + e−ατ1 c N0 , X(τ1 ), N1
v1 (y) = inf J(Π) = inf E y
Π∈A1 (y)
Π∈A1 (y)
0
n Z τ1
e−αt f Y Π (t) dt + e−ατ1 c N0 , X(τ1 ), N1
= inf E y
Π∈A1 (y)
0
nZ ∞
oo
e−αt f Y Π (t) dtF̃τ1
+ Ey
τ1
n Z τ1
o
e−αt f Y Π (t) dt + e−ατ1 c N0 , X(τ1 ), N1 + e−ατ1 h N1 , X(τ1 )
= inf E y
Π∈A1 (y)
0
nZ τ
o
e−αt f Y (t) dt + e−ατ M h Y (τ ) = Kv0 .
= inf E y
τ
0
Ostatnia równość wynika z istnienia funkcji impulsu. Bez tego mielibyśmy tylko górne oszacowanie.
Podobnie pokazujemy, że vi+1 = Kvi , co kończy dowód.
Na mocy twierdzenia 3.14 Ki h daży
˛ do ciagłego
˛
rozwiazania
˛
równania Bellmana. Na podstawie
lematów 3.13 i 3.15 ciag
˛ ten zbiega do funkcji wartości. Stad
˛ funkcja wartości spełnia równanie
Bellmana i jest ciagła,
˛
a zatem definiuje strategi˛e optymalna.˛
Rozdział 4
Problem portfelowy z kosztami za
transakcje
Na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) z filtracja˛ (Ft )t≥0 rozważmy rynek finansowy,
na którym ceny akcji modelowane sa˛ przez jednorodny w czasie proces Markowa S(t), X(t) t≥0 , gdzie
S(t) = S 1 (t), . . . , S d (t) ∈ (0, ∞)d opisuje ceny d aktywów, a X(t) ∈ Rm odpowiada m czynnikom ekonomicznym. Czynniki ekonomiczne moga˛ reprezentować poziom bezrobocia, deficyt budżetowy, stopy procentowe, optymizm konsumentów i ceny instrumentów, których nie możemy kupować.
Zauważmy, że dodanie procesu czynników ekonomicznych do opisu modelu powi˛eksza znacznie pole zachowań cen akcji. Sam proces S(t) t≥0 nie musi być procesem Markowa. Ponadto, patrzac
˛ z
punktu widzenia praktyka, poprawia jakość statystycznej estymacji parametrów modelu. Te argumen
ty sa˛ rozwini˛ete w pracy Bieleckiego, Pliski i Sherrisa [4]. Zakładamy, że proces S(t), X(t) t≥0
ma prawostronnie ciagłe
˛ trajektorie z lewostronnymi granicami (cádlág) i spełnia warunek Fellera,
tzn. zwiazana
˛
z nim półgrupa przekształca przestrzeń funkcji ciagłych
˛
ograniczonych, znikajacych
˛
w
nieskończoności w siebie.
Rozpoczynajac
˛ z ustalonego portfela dokonujemy inwestycji w akcje. Niech N i (t) określa liczb˛e
akcji aktywu i w portfelu w momencie t ≥ 0. Proces N (t) = N 1 (t), . . . , N d (t) opisuje cały portfel
w momencie t. Zakładamy, że N i (t) ∈ [0, ∞), i = 1, . . . , d, a wi˛ec krótka sprzedaż jest zabroniona.
Naszym celem jest maksymalizacja zdyskontowanego funkcjonału użyteczności z nieskończonym
horyzontem czasowym:
Z ∞
E
e−αs F Y (s) ds,
0
gdzie Y (s) = N (s), S(s), X(s) . Funkcja F mierzy użyteczność lub jakość portfela, zaś α > 0 jest
stopa˛ dyskonta. Intuicja, jaka stoi za użyciem funkcjonału w postaci całkowej, bazuje na spostrzeżeniu, że w ocenie przebiegu inwestycji ważne jest jej zachowanie w każdym momencie. Zarzadzaj
˛
acy
˛
funduszami inwestycyjnymi wiedza,˛ że notowania wartości jednostki uczestnictwa dost˛epne sa˛ inwestorom dla każdego dnia roboczego. Inwestorzy zaś zainteresowani sa˛ tym, by wartość ta rosła
stabilnie, bez nadmiernych spadków. Wtedy naturalne jest przyj˛ecie funkcji F zależnej od bogactwa
portfela:
F (η, s, x) = u(η · s),
gdzie η · s =
Pd
i=1 η
i si
jest iloczynem skalarnym w Rd , zaś u : R+ → R+ jest funkcja˛ użyteczności
59
60
ROZDZIAŁ 4. PROBLEM PORTFELOWY Z KOSZTAMI ZA TRANSAKCJE
np.
u(x) = ln(x),
u(x) = xβ , β ∈ (0, 1),
u(x) = x.
Zakładamy, że strategie inwestycyjne maja˛ charakter impulsowy. Podyktowane jest to istnieniem
kosztów transakcji, które posiadaja˛ składnik stały i zmienny. Koszty te opisane sa˛ przez funkcj˛e
c(η, η1 , s). Wartość c(η, η1 , s) odpowiada kosztowi dokonania zmiany zawartości portfela z η do η1 ,
gdy ceny akcji wynosza˛ s.
DEFINICJA 4.1. Funkcja c(η, η1 , s) : [0, ∞)d × [0, ∞)d × (0, ∞)d → R+ jest funkcja˛ kosztu, jeśli
c(η, η1 , s) = K + c̃(η, η1 , s) oraz
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
K > 0,
c̃(η, η1 , s) jest ciagła,
˛
c̃(η, η1 + γ, s) − c̃(η, η1 , s) ≤ βγs dla dowolnego γ ∈ [0, ∞)d i ustalonego β > 0,
c̃(αη, αη1 , s) ≤ αc̃(η, η1 , s) dla α ≥ 1,
c̃(η, η1 , s) ≥ 0,
c̃(η + γ, η1 + γ, s) ≤ c̃(η, η1 , s) dla γ ∈ [0, ∞)d .
Założenia i)-vi) sa˛ wbrew pozorom bardzo intuicyjne. Ciagłość
˛
funkcji kosztu wymusza to, że mała
zmiana transakcji nie może powodować dużej zmiany jej kosztu. Punkt iii) ustanawia górna˛ granic˛e kosztu: koszt transakcji polegajacej
˛ na dokupieniu γ akcji nie może przekraczać wielokrotności
wartości zakupu. Nie wymagamy przy tym, aby β była mniejsza od 1. Na rynku zarzadzanie
˛
dużym
portfelem jest zawsze nie droższe (w przeliczeniu na akcj˛e), a zwykle tańsze, niż małym portfelem.
Zostało to uchwycone w warunku iv). Podobna własność zapisana jest w warunku vi): połaczenie
˛
dwóch portfeli nie może spowodować zwi˛ekszenia kosztów transakcji.
Najprostszym przykładem funkcji kosztu jest suma kosztu stałego i proporcjonalnego do wolumenu transakcji. Niech zatem γ, γ̃ b˛eda˛ dwoma macierzami diagonalnymi o nieujemnych wyrazach.
Wtedy
c(η, η1 , s) = K + (η − η1 )+ γs + (η − η1 )− γ̃s,
gdzie η + jest cz˛eścia˛ dodatnia˛ każdej współrz˛ednej, zaś η − – cz˛eścia˛ ujemna,˛ spełnia założenia definicji 4.1.
Rozważane przez nas strategie inwestycyjne sa˛ samofinansujace.
˛ Wszystkie koszty ponoszone w
procesie inwestycyjnym musza˛ być pokrywane ze sprzedaży instrumentów, tzn. zakupy i koszty transakcji sa˛ finansowane ze sprzedaży. Jeśli zatem koszty transakcji sa˛ zbyt duże, to może si˛e okazać, że
jedynym dopuszczalnym sposobem post˛epowania jest niedokonywanie żadnych ruchów. Nie wyklucza to wszakże istnienia strategii optymalnej.
DEFINICJA 4.2. Π = (N0 , 0), (N1 , τ1 ), . . . jest strategia˛ dopuszczalna˛ dla (s, x) ∈ (0, ∞)d ×
Rm , jeśli
i) 0 ≤ τ1 ≤ τ2 · · · sa˛ momentami stopu,
ii) Ni jest Fτi mierzalne,
iii) Ni ∈ [0, ∞)d P(s,x) -p.n.,
61
4.1. WYNIKI WSTEPNE
˛
iv) Ni · S(τi ) + c Ni−1 , Ni , S(τi ) = Ni−1 · S(τi ) P(s,x) -p.n. (samofinansowanie),
v) P(s,x) (limn→∞ τn = ∞) = 1.
Zauważmy, że dopuszczalność strategii zależy od punktów startu (s, x) procesu modelujacego
˛
rynek.
Warunek iv) bardzo ogranicza możliwości manewru. Jednak jeśli tylko Ni · S(τ ) > K i c(0, 0, s) = 0,
to zbiór możliwych transakcji jest niepusty. Dzi˛eki ciagłości
˛
c mogliśmy napisać równość w warunku
iv) wiedzac,
˛ że istnieje punkt stały tego przekształcenia.
Z istnienia składnika stałego w funkcji kosztu wynika, że handlowanie w sposób ciagły
˛
nie jest
możliwe. Naturalna˛ odpowiedzia˛ jest wybór podejścia impulsowego, uj˛etego w definicji 4.2. Zauważmy jednak, że istnieje znaczna różnica pomi˛edzy klasycznym problemem sterowania impulsowego
(patrz poprzedni rozdział i Bensoussan, Lions [1]) a tym, który rozważamy w tym rozdziale. W podejściu klasycznym koszty impulsów wchodziły do funkcjonału celu jako składnik kary, zmniejszajacy
˛ jego wartość (patrz funkcjonał celu (3.1)). My, natomiast, odejmujemy te koszty od bogactwa
portfela, czyli kodujemy je w zbiorze dost˛epnych impulsów. Ten typ problemów obecny jest w literaturze od wielu lat. W pracach Eastham’a i Hastings’a [10] oraz Korn’a [16] autorzy rozważali
model bez czynników ekonomicznych i dowodzili istnienia strategii optymalnej w specjalnych przypadkach. Czynniki ekonomiczne pojawiły si˛e w pracy Bieleckiego, Pliski i Sherrisa [4]. Wspomniane
prace bazowały na wykorzystaniu nierówności quasi-wariacyjnych (patrz Bensoussan, Lions [1]). W
bieżacym
˛
rozdziale zastosujemy inne podejście, które pozwoli nam udowodnić istnienie markowskiej
strategii przy słabych założeniach nałożonych na mechanizm kosztów transakcji i proces cen aktywów. Zakończymy przedstawiajac
˛ dwa przykłady.
4.1.
Wyniki wst˛epne
Na poczatek
˛ wprowadźmy notacj˛e, która b˛edzie obecna w całym rozdziale. Niech E = [0, ∞)d ×
d
(0, ∞) × Rm . Dla y = (η,
˛
zaś (s, x) jest punktem
s, x) ∈ E, gdzie η jest portfelem poczatkowym,
startu procesu S(t), X(t) t≥0 , zdefiniujmy zbiór strategii A(y), które sa˛ dopuszczalne dla (s, x) i
startuja˛ z portfela η, tzn. jeśli (N0 , 0), (N1 , τ1 ), . . . ∈ A(y), to N0 = η. W celu uproszczenia
notacji b˛edziemy pisać Py majac
˛ na myśli miar˛e P(s,x) .
Nast˛epujace
˛ stwierdzenie jest kluczowym wynikiem używanym wielokrotnie w dalszej cz˛eści rozdziału. Pokazuje ono konstrukcj˛e wielokrotności strategii inwestycyjnej pozwalajac
˛ a˛ na kumulowanie
oszcz˛edności na kosztach transakcji w jednym z aktywów. Do jego udowodnienia kluczowe sa˛ warunki nałożone na funkcj˛e kosztu w definicji 4.1.
STWIERDZENIE 4.3. Niech Π = (N0 , τ0 ), (N1 , τ1 ), . . . b˛edzie strategia˛ dopuszczalna˛ dla (s, x)
i α > 1. Istnieje wtedy strategia Π̃ = (Ñ0 , τ0 ), (Ñ1 , τ1 ), . . . dopuszczalna dla (s, x) z Ñ0 =
αN0 , taka że
Ñi1 = αNi1 + γi ,
Ñik = αNik , k = 2, . . . , d,
gdzie
γi ≥ γi−1 +
zaś β jest stała˛ z definicji 4.1.
α−1
β+1 K
,
S 1 (τi )
62
Dowód. Szkic rozumowania jest nast˛epujacy.
˛ Rozpoczynamy z portfela Ñ0 = N0 . Transakcji dokonujemy w momentach τ1 , τ2 , . . .. Zawsze trzymamy co najmniej αNi akcji po i-tej transakcji. Struktura
kosztów transakcji pozwala nam na oszcz˛edności przy każdej transakcji oddzielone od zera stała.˛
Zainwestowane w S 1 kumuluja˛ si˛e.
Dokładniej, niech γi oznacza skumulowane oszcz˛edności wyrażone w liczbie akcji S 1 po i-tej
transakcji, i ∈ N, γ0 = 0. Konstruujemy Π̃ w taki sposób, że
Ñi − γi 1 = αNi ,
(4.1)
gdzie 1 = (1, 0, . . . , 0) ∈ Rd i γi jest Fτi -mierzalna˛ nieujemna˛ zmienna˛ losowa.˛
Konstruujemy strategi˛e Π̃ przez indukcj˛e. Na poczatku
˛ Ñ0 = αN0 . Definiujemy Ñ1 jako punkt
stały
Ñ0 S(τ1 ) = Ñ1 S(τ1 ) + c Ñ0 , Ñ1 , S(τ1 ) .
spełniajacy
˛ (4.1). A wi˛ec
αN0 S(τ1 ) = (αN1 + γ1 1 )S(τ1 ) + K + c̃ αN0 , αN1 + γ1 1 , S(τ1 ) = (#).
Z definicji
αN0 S(τ1 ) = αN1 S(τ1 ) + αc N0 , N1 , S(τ1 ) ≥ αN1 S(τ1 ) + αK + c̃ αN0 , αN1 , S(τ1 ) .
Zatem
(#) ≤ (αN1 + γ1 1 )S(τ1 ) + K + c̃ αN0 , αN1 , S(τ1 ) + βγ1 S 1 (τ1 )
= αN1 S(τ1 ) + αK + c̃ αN0 , αN1 , S(τ1 ) + γ1 S 1 (τ1 ) + (1 − α)K + βγ1 S 1 (τ1 )
= αN0 S(τ1 ) + γ1 S 1 (τ1 ) + (1 − α)K + βγ1 S 1 (τ1 )
= Ñ0 S(τ1 ) + (1 − α)K + (β + 1)γ1 S 1 (τ1 ).
Otrzymujemy wi˛ec dolne ograniczenie na γ1
(1 − α)K + (β + 1)γ1 S 1 (τ1 ) ≥ 0,
które przekształcamy do
γ1 ≥
α−1
β+1 K
.
S 1 (τ1 )
Dla jasności podajemy dalsze kroki indukcji, których myśl przewodnia została już przedstawiona,
lecz notacja jest bardziej skomplikowana. Niech Ñi b˛edzie punktem stałym
Ñi−1 S(τi ) = Ñi S(τi ) + c Ñi−1 , Ñi , S(τi )
spełniajacym
˛
(4.1). Zatem
(αNi−1 + γi−1 1 )S(τi ) = (αNi + γi 1 )S(τi ) + K + c̃ αNi−1 + γi−1 1 , αNi + γi 1 , S(τi ) = (##).
Z definicji
αNi−1 S(τi ) = αNi S(τi ) + αc Ni−1 , Ni , S(τi ) ≥ αNi S(τi ) + αK + c̃ αNi−1 , αNi , S(τi ) .
63
4.1. WYNIKI WSTEPNE
˛
Stad
˛
(##) ≤ (αNi + γi 1 )S(τi ) + K + c̃ αNi−1 + γi−1 1 , αNi + γi−1 1 , S(τi ) + β(γi − γi−1 )S 1 (τi )
= αNi S(τi ) + αK + c̃ αNi−1 , αNi , S(τi ) + γi S 1 (τi ) + (1 − α)K
+ c̃ αNi−1 + γi−1 1 , αNi + γi−1 1 , S(τi ) − c̃ αNi−1 , αNi , S(τi ) + β(γi − γi−1 )S 1 (τi )
≤ αNi S(τi ) + αK + c̃ αNi−1 , αNi , S(τi ) + γi S 1 (τi ) + (1 − α)K + β(γi − γi−1 )S 1 (τi )
= αNi−1 S(τi ) + γi−1 S 1 (τi ) + (γi − γi−1 )S 1 (τi ) + (1 − α)K + β(γi − γi−1 )S 1 (τi )
= Ñi−1 S(τi ) + (1 − α)K + (β + 1)(γi − γi−1 )S 1 (τi ).
Otrzymujemy dolne ograniczenie na γi
(1 − α)K + (β + 1)(γi − γi−1 )S 1 (τi ) ≥ 0,
które zapisujemy
γi − γi−1 ≥
α−1
β+1 K
.
S 1 (τi )
Ze strategia˛ Π ∈ A(y) zwiazujemy
˛
proces portfela N Π (t)
Π
N (t) =
∞
X
1[τi ,τi+1 ) (t)Ni ,
i=0
i proces bogactwa W Π (t) = N Π (t) · S(t).
DEFINICJA 4.4. Rynek nazywamy uczciwym, jeśli proces bogactwa każdej strategii dopuszczalnej
jest skończony na każdym przedziale [0, T ], T ∈ R+ .
Cz˛esto bardzo trudno jest udowodnić, że optymalna strategia spełnia założenie v) definicji 4.2
(patrz np. lemat 2.12 w pracy Eastham’a i Hastings’a [10]). Stwierdzenie 4.3 pozwoli nam na pokazanie, że jeśli rynek jest uczciwy, to każda strategia spełniajaca
˛ warunki i)–iv) definicji 4.2 spełnia
v).
LEMAT 4.5. Jeśli rynek jest uczciwy i strategia Π spełnia warunki i)–iv) definicji 4.2 dla (s, x), to
spełnia również warunek v) tzn. dla dowolnej stałej L > 0
P(s,x) lim τn ≤ L = 0.
n→∞
Dowód. Ustalmy strategi˛e spełniajac
˛ a˛ i)– iv) dla (s, x) i liczb˛e L > 0. Załóżmy, że
P(s,x) lim τn ≤ L > 0
n→∞
i oznaczmy to zdarzenie przez A. Dalsze rozumowanie b˛edziemy przeprowadzać na A. Strategia musi
sfinansować nieskończona˛ liczb˛e transakcji na przedziale [0, L]. Musi zatem zarabiać nieskończenie
wiele pieni˛edzy (choć może je wydać na dokonywanie transakcji). Skonstruujemy strategi˛e, której
bogactwo b˛edzie nieskończone w momencie L, a tym samym zaprzeczy uczciwości rynku.
64
Ustalmy α > 1. Niech Π̃ b˛edzie strategia˛ skonstruowana˛ w stwierdzeniu 4.3. Oszcz˛edności skumulowane w S 1 sa˛ ograniczone przez
γi − γi−1 ≥
α−1
β+1 K
.
S 1 (τi )
Jako że S 1 ma prawie wszystkie trajektorie cádlág, które sa˛ funkcjami ograniczonymi na [0, L] dla
każdego ω ∈ Ω, to γi daży
˛ do nieskończoności. Stad
˛ bogactwo W̃ (t) portfela Π̃ daży
˛ do nieskończoności, gdyż
W̃ (L) ≥ lim γi S 0 (L).
i→∞
Przeczy to uczciwości rynku i kończy dowód.
4.2.
Problem optymalizacyjny
Dla strategii Π ∈ A(y), y ∈ E, rozważmy proces
 Π 
N (t)
Y Π (t) =  S(t) .
X(t)
Warunek samofinansowania opisujemy specyfikujac
˛ funkcj˛e Γ : E → E (patrz podrozdz. 3.2):
Γ(η, s, x) = {(η1 , s, x) ∈ E :
η1 · s + c(η, η1 , s) = η · s}, (η, s, x) ∈ E.
(4.2)
W nomenklaturze rozdziału 3, zbiór sterowań dopuszczalnych przy funkcji Γ startujacych
˛
zy ∈E
jest identyczny ze zbiorem strategii dopuszczalnych A(y). Wynika to stad,
˛ że sterowanie oddziałuje
tylko na pierwsza˛ współrz˛edna.˛ Stad
˛ też b˛edziemy zamiennie używać nazw sterowanie i strategia.
Wprowadzamy funkcjonał celu
Z ∞
e−αt F Y Π (t) dt, Π ∈ A(y), y ∈ E,
J(Π) = E y
0
dla ustalonej stopy dyskonta α ≥ 0 i nieujemnej funkcji ciagłej
˛
F : E → R+ spełniajacej
˛
Założenie UF.
F (0, s, x) =
min F (η, s, x), (s, x) ∈ (0, ∞) × Rm .
η∈[0,∞)d
W dalszej cz˛eści powiemy, co skłoniło nas do wprowadzenia powyższego założenia. Nie sa˛ to wzgl˛edy
techniczne, lecz kwestia poprawności zastosowanej techniki modelowania. Niech
v(y) = sup J(Π), y ∈ E,
Π∈A(y)
b˛edzie funkcja˛ wartości problemu. Musimy niezależnie opisać operator impulsu, gdyż, jak wspomnieliśmy w dyskusji warunku samofinansowania, zbiór Γ(y) może być pusty dla pewnych y ∈ E.
W przypadku, gdy zbiór Γ(η, s, x) jest pusty, dokonujemy sztucznego skoku do (0, s, x).
(
supỹ∈Γ(y) c(y, ỹ) + u(y) , Γ(y) 6= ∅
M u(y) =
, y = (η, s, x) ∈ E.
(4.3)
u(0, s, x),
Γ(y) = ∅
65
4.2. PROBLEM OPTYMALIZACYJNY
Wprowadzamy nowa˛ funkcj˛e opisujac
˛ a˛ możliwe transakcje
(
Γ(y),
Γ(y) 6= ∅,
Γ̃(y) =
dla y = (η, s, x) ∈ E.
{(0, s, x)}, Γ(y) = ∅,
Wtedy operator M przyjmuje postać
M u(y) = sup
c(y, ỹ) + u(y) .
ỹ∈Γ̃(y)
Teraz możemy zapisać operator Bellmana
nZ τ
o
y
e−αt F Y (t) dt + e−ατ M u Y (τ ) , y ∈ E,
Ku(y) = sup E
τ
(4.4)
0
gdzie u : E → R+ jest dowolna˛ funkcja˛ taka,˛ że M u jest funkcja˛ mierzalna.˛
Wzbogaćmy notacj˛e. Oznaczmy przez C l (K, L) zbiór funkcji półciagłych
˛
z dołu z K do L. Pou
dobnie C (K; L) jest zbiorem funkcji półciagłych
˛
z góry. Wykażmy własności operatora impulsu.
LEMAT 4.6. M przekształca w siebie C b (E; R+ ), C(E; R+ ) i C u (E; R+ ). Ponadto dla każdej
funkcji ciagłej,
˛
nieujemnej istnieje funkcja impulsu w myśl twierdzenia 3.10.
Dowód. Ciagłość
˛
funkcji kosztu c implikuje, że Γ̃(y) jest zbiorem zwartym dla każdego y ∈ E. Weźmy zatem u ∈ C u (E, R+ ) i ciag
˛ yn → y wSE. Oznaczmy przez zn punkty realizujace
˛ maksimum w
M u(yn ), tzn. u(zn ) = M u(yn ). Ponieważ n∈N Γ̃(yn ) jest zbiorem ograniczonym, to jego domkni˛ecie jest zwarte i możemy znaleźć podciag
˛ (zn ) zbiegajacy
˛ do jakiegoś z ∈ E. Oznaczmy ten podciag
˛
też przez zn . Funkcja u jest półciagła
˛ z góry, a wi˛ec lim supn→∞ u(zn ) ≤ u(z). Ponadto z ∈ Γ̃(y) z
ciagłości
˛
funkcji kosztu c. Zatem u(z) ≤ M u(y) i M u jest półciagła
˛ z góry.
Udowodnimy teraz, że M u jest półciagła
˛ z dołu dla ciagłej
˛
funkcji u. Podobnie jak powyżej bierzemy ciag
˛ yn zbiegajacy
˛ do y w E i ustalamy > 0. Oznaczamy przez z punkt realizujacy
˛ maksimum
w M u(y) tzn. u(z) = M u(y). Z ciagłości
˛
u istnieje δ > 0, taka że
ỹ ∈ B(z, δ)
=⇒
|u(ỹ) − u(z)| ≤ ,
gdzie B(z, δ) = {y ∈ E : kz − yk ≤ δ}. Ponadto B(z, δ) ∩ Γ̃(yn ) 6= ∅ dla dostatecznie dużych n.
Zatem lim inf n→∞ M u(yn ) ≥ u(z)−. Ponieważ może być dowolnie mały, to zachodzi nierówność
lim inf n→∞ M u(yn ) ≥ u(z) i M u jest półciagła
˛ z dołu. Łacz
˛ ac
˛ ten rezultat z powyższym otrzymujemy, że obrazem funkcji ciagłej
˛
jest funkcja ciagła.
˛
Ograniczoność jest oczywista.
Pozostało nam wykazanie, że istnieje funkcja impulsu dla operatora M u, gdzie u ∈ C(E; R+ ).
Skorzystamy z twierdzenia 3.10. Jedynym warunkiem, który należy sprawdzić, jest istnienie ciagu
˛ γn
odwzorowań ośrodkowych zbiegajacego
˛
punktowo do Γ̃. Połóżmy zatem
γn (y) =
[
B(z, 1/n), y ∈ E,
z∈Γ̃(y)
A wi˛ec γn (y) jest 1/n-otoczka˛ zbioru Γ̃(y). Ponadto γn sa˛ odwzorowaniami ośrodkowymi ze zbiorem
E 0 (patrz definicja 3.9) składajacym
˛
si˛e ze wszystkich punktów o współrz˛ednych wymiernych. Z
domkni˛etości Γ̃(y) wynika, że limn→∞ γn (y) = Γ̃(y). Zastosowanie twierdzenia 3.10 kończy dowód.
66
Udowodnimy teraz analogon lematu 3.13. Niech
Z ∞
y
e−αt F Y (t) dt, y ∈ E,
v0 (y) = E
0
i vi+1 = Kvi , i = 0, 1, . . ..
S(t)
LEMAT 4.7. Jeśli F ∈ C(E; R+ ), v(y) < ∞ dla y ∈ E i
jest procesem Fellera, to vi
X(t)
sa˛ funkcjami ciagłymi
˛
i zbiegaja˛ monotonicznie do funkcji wartości v. Ponadto vi jest funkcja˛
wartości problemu z ograniczona˛ przez i liczba˛ impulsów.
Dowód. Ciagłości
˛
vi dowodzimy przez indukcj˛e. Ciagłość
˛
v0 wynika wprost z fellerowskości procesów opisujacych
˛
model rynku. Załóżmy, że vi jest funkcja˛ ciagł
˛ a.˛ Z lematu
4.6 wynika, że M vi jest
S(t)
również funkcja˛ ciagł
˛ a.˛ Zatem znów na mocy fellerowskości
mamy, że vi+1 jest funkcja˛
X(t)
ciagł
˛ a.˛
Rozumowanie analogiczne do dowodu lematu 3.15 prowadzi do konkluzji, że vi jest funkcja˛ wartości dla problemu z ograniczona˛ przez i liczba˛ impulsów. Stad
˛ dostajemy, że vi jest ciagiem
˛
niemalejacym
˛
i vi ≤ v. Chcemy teraz wykazać, że vi zbiega punktowo do v. Ustalmy y ∈ E. Oznaczmy
granic˛e limi→∞ vi (y) przez u(y). Ustalmy strategi˛e Π ∈ A(y) i oznaczmy przez Πi jej obci˛ecie do i
pierwszych impulsów. Oczywiście vi (y) ≥ J(Πi ) i u(y) ≥ J(Πi ). Najpierw zauważmy, że
Z τi
e−αs F Y Π (s) ds
gi =
0
R∞
jest monotonicznym ciagiem
˛
nieujemnych zmiennych losowych z granica˛ g = 0 e−αs F Y Π (s) ds.
Zatem z twierdzenia o zbieżności monotonicznej E y gi → E y g = J(Π). Ponadto, J(Πi ) ≥ E y gi ,
co pociaga
˛ lim inf i→∞ J(Πi ) ≥ J(Π). To, razem z faktem, że J(Πi ) ≤ vi (y) i vi ≤ v dowodzi, że
v(y) = u(y).
Podamy teraz znaczenie założenia UF. Zauważmy, że w przypadku, gdy w portfelu nie ma dostatecznie dużo aktywów, aby pokryć koszty jakiejkolwiek transakcji (Γ(·) = ∅), to nast˛epuje bankructwo portfela, czyli usuni˛ecie z niego wszystkich akcji. Naszym celem jest jednak rozważanie tylko
takich strategii, w których transakcje nie maja˛ miejsca w momentach, gdy zbiór Γ(·) jest pusty. Dzi˛eki warunkowi UF zapewniamy, że strategia optymalna nigdy nie zawiera transakcji prowadzacej
˛ do
bankructwa, czyli spełnia ona nasze oczekiwania.
4.3.
Ograniczona funkcja F
W rozdziale tym zajmiemy si˛e rozwiazaniem
˛
problemu optymalnego sterowania w przypadku funkcji
F ograniczonej i nieujemnej.
Założenia NFL. Dla każdego y = (n, s, x) ∈ E istnieje > 0, taki że dla dowolnego T > 0
sup
sup E z N Π (T )S(T ) < ∞,
z∈B(y,) Π∈A(z)
gdzie N Π jest procesem zawartości portfela zwiazanym
˛
ze strategia˛ Π, zaś B(y, ) jest kula˛ otwarta˛
w E.
4.3. OGRANICZONA FUNKCJA F
67
Założenie NUM. S 1 jest procesem niemalejacym.
˛
Założenie NFL pełni funkcj˛e warunku braku arbitrażu. Zauważmy, że implikuje ono uczciwość rynku.
Założenie NUM wymusza, by proces S 1 był procesem rachunku bankowego tzn. wymusza istnienie
procesu nieujemnego r(t), takiego że
Z t
r(s)ds .
S 1 (t) = exp
0
Założenia NUM i NFL pozwalaja˛ na wprowadzenie oszacowań na szybkość zbieżności momentów impulsów dla strategii dopuszczalnych. Poniższy wynik b˛edziemy wielokrotnie wykorzystywać
w tym rozdziale. Przedtem jednak wprowadzimy nast˛epujac
˛ a˛ konwencj˛e oznaczeń strategii inwestycyjnych. Momenty impulsów strategii Π ∈ A oznaczymy przez τ0Π , τ1Π , . . ., zaś zawartość portfela
przez N0Π , N1Π , . . ..
LEMAT 4.8. Jeżeli spełnione sa˛ założenia NFL i NUM, to dla dowolnego y ∈ E istnieje δ > 0
Π
sup E z e−ατi → 0,
sup
gdy i → ∞.
z∈B(y,δ) Π∈A(z)
gdzie B(y, δ) jest kula˛ otwarta˛ w E.
Dowód. Ustalmy T > 0. Dla dowolnej strategii dopuszczalnej Π ∈ A(z) możemy dokonać zgrubnego
oszacowania
Π
E z e−ατi ≤ Pz (τiΠ ≤ T ) + e−αT Pz (τiΠ > T ) ≤ Pz (τiΠ ≤ T ) + e−αT .
(4.5)
Na mocy założenia NFL istnieje kula B(2y, ), taka że
sup
sup E z N Π (T )S(T ) < ∞.
z∈B(2y,) Π∈A(z)
Oznaczmy ta˛ liczb˛e przez H(T ). Ustalmy δ = 2 . Weźmy z ∈ B(y, δ) i strategi˛e Π ∈ A(z). Na mocy
stwierdzenia 4.3 istnieje podwojona strategia Π̃ ∈ A(2z) (tzn. z α = 2) i nast˛epujace
˛ oszacowanie na
oszcz˛edności zdeponowane w S 1
1
β+1 K
γi − γi−1 ≥ 1
.
S (τi )
1
1
S 1 jest niemalejacy,
˛ wi˛ec γi S 1 (τi ) ≥ i β+1
K. A zatem H(T ) ≥ i β+1
K. Z nierówności Czebyszewa
1
z Π
z Π̃
z
Π̃
P (τi ≤ T ) = P (τi ≤ T ) ≤ P N (T )S(T , z) > i
K
β+1
≤
E z N Π̃ (T )S(T , z)
H(T )
≤ 1
,
1
i β+1 K
i β+1 K
przy czym szacowanie to nie zależy od wyboru Π ∈ A(z), z ∈ B(y, δ). Zatem, korzystajac
˛ z (4.5),
dla dowolnego Π ∈ A(z), z ∈ B(y, δ) mamy
Π
E z e−ατi ≤
Π
H(T )
+ e−αT .
1
i β+1
K
Czyli E z e−ατi zbiega do e−αT jednostajnie dla Π ∈ A(z), z ∈ B(y, δ). Z dowolności T zbieżność
Π
E z e−ατi do zera jest też jednostajna.
68
TWIERDZENIE 4.9. Jeżeli spełnione sa˛ założenia NFL i NUM, oraz F ∈ C b (E; R+ ), to funkcja
wartości v jest ciagła
˛ i spełnia równanie Bellmana
v = Kv.
Dowód. Niech v b˛edzie funkcja˛ wartości. Zauważmy najpierw, że v jest funkcja˛ ograniczona.˛ Wynika
to z ograniczoności F . Niech
Z ∞
y
v0 (y) = E
0
i vi+1 = Kvi (y), i = 0, 1, . . .. Z lematu 4.7 wynika, że vi daż
˛ a˛ monotonicznie do v i sa˛ ciagłe.
˛
Pokażemy teraz, że v jest funkcja˛ ciagł
˛ a˛ dowodzac,
˛ że zbieżność vi do v jest niemal jednostajna
(jednostajna na zbiorach zwartych).
Ustalmy y ∈ E. Oznaczmy przez Πi obci˛ecie strategii Π do i pierwszych impulsów. Niech
Ai (y) = {Πi : Π ∈ A(y)}. Dostajemy wtedy nast˛epujace
˛ oszacowania:
0 ≤ v(y) − vi (y) = sup J(Π) − sup J(Π̃) ≤ sup J(Π) − J(Πi )
Π∈A(y)
Π̃∈Ai (y)
Π∈A(y)
kF k∞ y −ατ Π
E e
α
Π∈A(y)
≤ sup
(4.6)
Π
˛ do zera jednostajnie na pewnej kuli B(y, δ). A zatem na tej kuli
Na mocy lematu 4.8 E Π e−ατi daży
zbieżność vi do v jest jednostajna. W efekcie v jest funkcja˛ ciagł
˛ a.˛
Pozostaje nam wykazanie, że v = Kv. Prosto wynika to z ciagu
˛ równości
Z τ
y
−αs
−ατ
Gu(y) = G sup vi (y) = sup E
e
F Y (s) ds + e
M sup vi Y (τ )
τ
i
i
0
Z
τ
e−αs F Y (s) ds + e−ατ sup M vi Y (τ )
= sup E y
τ
i
0
Z τ
= sup E y
e−αs F Y (s) ds + e−ατ lim M vi Y (τ )
i→∞
τ
0
Z τ
= sup sup E y
e−αs F Y (s) ds + e−ατ M vi Y (τ ) = sup vi (y) = v(y).
i
τ
i
0
Wykorzystaliśmy twierdzenie o zbieżności monotonicznej pod znakiem całki i przemienność operatorów sup.
Powyższe twierdzenie, razem z lematem 4.6 dowodzi, że pod warunkiem NFL i NUM istnieje
strategia optymalna, która jest stacjonarna i markowska (patrz twierdzenie 3.11). Strategia ta jest sterowaniem, które zmienia tylko pierwsze d współrz˛ednych procesu Y , odpowiadajacych
˛
za zawartość
portfela. Nie dokonuje si˛e sterowanie procesami cen.
W dalszej cz˛eści tego podrozdziału chcielibyśmy pokazać zastosowanie twierdzenia 3.14 do wykazania, że funkcja wartości v jest ciagła
˛ i spełnia równanie Bellmana. W tym celu wprowadźmy
notacj˛e
1+
H (B, T ) = sup sup E z N Π (T )S z, T )
, >0
z∈B Π∈A(z)
dla zwartego zbioru B ⊆ E i T > 0.
4.3. OGRANICZONA FUNKCJA F
69
Założenie NFL1. Dla dowolnego y ∈ E istnieja˛ dodatnie stałe δ, θ, η, , przy czym η < α, takie, że
H (B, t) ≤ θeηt ,
gdzie B = B(y, δ) ⊆ E.
S(t)
TWIERDZENIE 4.10. Załóżmy, że spełnione sa˛ założenia NUM i NFL1,
jest procesem
X(t)
Fellera. Wtedy funkcja wartości v jest ciagła
˛ i spełnia równanie Bellmana v = Kv.
Dowód. Rozważmy nast˛epujac
˛ a˛ rodzin˛e operatorów:
Z τ
y
e−αs F Y (s) ds + e−ατ Mk u Y (τ ) ,
Kk u(y) = sup E
τ
0
Mk u(η0 , s, x) = sup{u(η1 , s, x) − 1/k :
η1 · s + c(η0 , η1 , s) = η0 · s, η1 ∈ [0, ∞)d } ∧ u(0, s, x)
dla k ≥ 0. Na mocy twierdzenia 3.14 istnieje jednoznaczne rozwiazanie
˛
równania uk = Kk uk w
przestrzeni funkcji ciagłych
˛
i ograniczonych, które jest funkcja˛ wartości zmodyfikowanego problemu
sterowania z funkcjonałem celu
Jk (Π) = E
y
nZ
∞
−αt
e
∞
o
X
Π
F Y (t) dt −
e−ατi 1/k , Π ∈ A(y), y ∈ E.
Π
0
i=1
Funkcje uk tworza˛ niemalejacy
˛ ciag,
˛ a zatem ich granica u jest funkcja˛ półciagł
˛ a˛ z dołu. Pokażemy,
że zbieżność jest niemal jednostajna, a wi˛ec u b˛edzie funkcja˛ ciagł
˛ a.˛ W tym celu wykażemy, że
∞
X
Π
E y e−ατi
i=1
jest ograniczone jednostajnie dla Π ∈ A(y), y ∈ B ⊆ E, B – kula.
Ustalmy y ∈ E. Na mocy założenia NFL2 istnieje kula B = B(2y, δ) i dodatnie stałe θ, η, , przy
czym η < α, takie, że
H (B, t) ≤ θeηt , t ≥ 0.
(4.7)
Weźmy z ∈ B(y, δ/2) i strategi˛e Π ∈ A(z). Na mocy stwierdzenia 4.3 istnieje podwojona strategia
Π̃ ∈ A(2z) (tzn. z α = 2) i nast˛epujace
˛ oszacowanie na oszcz˛edności zdeponowane w S 1
γi − γi−1 ≥
1
β+1 K
.
S 1 (τi )
1
S 1 jest niemalejacy,
˛ wi˛ec γi S 1 (τi ) ≥ i β+1
K. Z nierówności Czebyszewa, dla dowolnego t ≥ 0,
1
Pz (τiΠ ≤ t) = Pz (τiΠ̃ ≤ t) ≤ Pz N Π̃ (t)S(t) > i
K
β+1
1+
z
Π̃
E N (t)S(t)
H (B, t)
≤
≤
1+
1+ ,
1
1
i β+1 K
i β+1
K
przy czym szacowanie to nie zależy od wyboru Π ∈ A(z), z ∈ B(y, δ/2).
70
LEMAT 4.11. Niech h b˛edzie dystrybuanta˛ nieujemnej zmiennej losowej X. Jeśli h ≤ g, h(0) =
g(0) = 0 i h(∞) = g(∞) = 1, to
Z ∞
Z ∞
−αX
−αt
Ee
=
e dh(t) ≤
e−αt dg(t).
0
0
Dowód. Całkowanie przez cz˛eści daje
Z
T
−αt
e
−αT
dh(t) = e
Z
T
−αt
e
h(T )+α
−αT
h(t)dt ≤ e
Z
−αt
e
g(T )+α
Z
g(t)dt =
T
e−αt dg(t).
0
0
0
0
T
Powyższy lemat wraz z (4.7) pozwala nam na wyprowadzenie nast˛epujacego
˛
oszacowania:
Z ∞
Z ∞
H (B, t) D
Π
e−αt d eηt
E z e−ατi ≤
e−αt d
≤
1+
1+
1
i
0
0
i β+1
K
Z ∞
Dη
Dη 1
= 1+
,
e(η−α)t dt = 1+
i
i
α−η
0
gdzie
D=
θ
1+ .
1
β+1 K
Zatem istnieje L > 0 takie, że
∞
X
Π
E z e−ατi ≤
∞
Dη X 1
<L
α−η
i1+
i=1
i=1
dla Π ∈ A(z), z ∈ B(y, δ/2). Stad
˛ dla l > k
Jl (Π) − Jk (Π) =
∞
1 X z −ατ Π
1
E e i ≤ L, Π ∈ A(z), z ∈ B(y, δ/2).
k
k
i=1
A wi˛ec u(z) − uk (z) ≤ L/k dla z ∈ B(y, δ/2), czyli funkcje uk zbiegaja˛ do u jednostajnie na
B(y, δ/2). Z dowolności wyboru y ∈ E, u jest funkcja˛ ciagł
˛ a.˛
Oczywiście, u ≤ v. By udowodnić, że u = v zauważmy, że
J(Π) − Jk (Π) ≤
L
,
k
gdzie L jest stała˛ zależna˛ od y ∈ E, Π ∈ A(y). Otrzymujemy
v(y) = sup J(Π) ≤
Π∈A(y)
L
L
+ sup Jk (Π) = + uk (y).
k Π∈A(y)
k
Gdy k zbiega do nieskończoności uk (y) zbiega do v(y). Z jednoznaczności granicy u = v.
Na koniec pokażemy, że u = Ku.
Z τ
y
Ku(y) = K sup uk (y) = sup E
e−αs F Y (s) ds + e−ατ M sup uk Y (τ ) .
k
τ
0
k
4.4. NIEOGRANICZONA FUNKCJA F
71
Z przemienności operatorów sup w definicji M dostajemy
sup E
y
τ
Z
τ
e−αs F Y (s) ds + e−ατ sup M uk Y (τ ) .
k
0
Ciag
˛ funkcji ui jest monotoniczny, czyli supk uk (z) = limk→∞ uk (z), z ∈ E:
sup E y
τ
Z
τ
e−αs F Y (s) ds + e−ατ lim M uk Y (τ )
k→∞
0
Korzystamy z twierdzenia o monotonicznej zbieżności pod znakiem całki i dostajemy
sup lim E
τ
y
τ
Z
k→∞
e−αs F Y (s) ds + e−ατ M uk Y (τ ) .
0
Wiedzac,
˛ że E y e−ατ ≤ 1, możemy napisać
sup lim E
τ
k→∞
y
Z
τ
e−αs F Y (s) ds + e−ατ Mk uk Y (τ ) .
0
Na koniec, bazujac
˛ na tym, że Mk uk jest ciagiem
˛
rosnacym
˛
i tym samym pozwala na zamian˛e lim na
sup, wnioskujemy
sup sup E
k
4.4.
τ
y
Z
τ
e−αs F Y (s) ds + e−ατ Mk uk Y (τ ) = sup Kk uk (y) = sup uk (y) = u(y).
k
0
k
Nieograniczona funkcja F
Gdy F jest funkcja˛ ograniczona,˛ to funkcjonał celu jest ograniczony i całe rozważania prowadzone
sa˛ w przestrzeni funkcji ograniczonych. Jeśli F jest nieograniczone, to nie możemy liczyć na to, że
funkcja wartości jest ograniczona. Choć sposób post˛epowania b˛edzie podobny jak w poprzednim rozdziale, wykazanie ciagłości
˛
funkcji wartości b˛edzie wymagało silniejszych założeń i delikatniejszych
rozumowań. Dowód optymalności strategii z twierdzenia 3.11 nie b˛edzie też natychmiastowy.
Założenie NFL2. Dla każdego y = (n, s, x) ∈ E istnieja˛ η > 1, > 0 takie, że
sup sup E
z∈B Π∈A(z)
z
Z
∞
η
e−αt F Y Π (t)
dt < ∞,
0
gdzie B = B y, ⊆ E jest kula˛ otwarta.˛
S(t)
jest procesem Fellera i spełnione sa˛ założenia NUM,
X(t)
NFL i NFL2. Wtedy funkcja wartości v jest funkcja˛ ciagł
˛ a˛ i spełnia równanie Bellmana Kv = v.
Ponadto istnieje strategia optymalna.
72
Dowód. Założenie NFL2 gwarantuje, że v(y) < ∞ dla każdego y ∈ E. Niech
Z ∞
v0 (y) = E y
0
i vi+1 = Kvi (y), i = 0, 1, . . .. Z lematu 4.7 wynika, że vi daż
˛ a˛ monotonicznie do v i sa˛ ciagłe.
˛
Pokażemy teraz, że v jest funkcja˛ ciagł
˛ a˛ dowodzac,
˛ że zbieżność vi do v jest niemal jednostajna.
Ustalmy y ∈ E. Na mocy lematu 4.8 i założenia NFL2 istnieja˛ stałe > 0 i η > 1 takie, że
sup
Π
sup E z e−ατi → 0,
gdy i → ∞,
z∈B(y,) Π∈A(z)
sup
sup E
z
∞
Z
−αt
e
(4.8)
η
dt < ∞.
F Y (t)
Π
0
z∈B(y,) Π∈A(z)
Zauważmy, że vi daży
˛ do v jednostajnie na B(y, ), jeśli
Z ∞
z
e−αt F Y Π (t) dt → 0,
E
i → ∞,
τiΠ
jednostajnie dla z ∈ B(y, ) i Π ∈ A(z). Stosujemy dwukrotnie nierówność Höldera
E
z
Z
∞
−αt
e
τiΠ
Π
F Y (t) dt ≤ E z
Z
∞
−αt
e
1 Z
η
η
F Y (t)
dt
∞
Π
τiΠ
−αt
e
η−1 η
dt
τiΠ
η−1 η
1 −ατ Π η
dt
F Y (t)
e
e i
=E
α
τiΠ
Z ∞
η−1
1 η
η
η
z 1 −ατiΠ
z
−αt
Π
E e
≤ E
e
F Y (t)
dt
α
τiΠ
1
Z ∞
η−1
η
η
η
Π
z
−αt
z 1 −ατiΠ
F Y (t)
dt
≤ E
e
E e
α
0
= (I) · (II).
z
Z
∞
−αt
Π
1
η
Na mocy (4.8) pierwszy składnik (I) jest jednostajnie ograniczony, zaś drugi składnik (II) daży
˛
jednostajnie do zera. Możemy wyciagn
˛ ać
˛ wniosek, że vi daży
˛ do v jednostajnie na B(y, ). Z dowolności y ∈ E funkcja wartości v jest ciagła.
˛
Identycznie jak w dowodzie twierdzenia 4.9 pokazujemy,
że v = Kv.
Na zakończenie musimy jeszcze wykazać istnienie strategii optymalnej. Na mocy lematu 4.6 istnieje funkcja impulsu I dla M v. Definiujemy zbiór kontynuacji C = {y ∈ E : M v(y) > v(y)}.
Ustalmy y ∈ E. Tworzymy strategie
Πi = (y, 0), (Y1 , τ1 ), . . . , (Yi , τi ) , i ∈ N,
zgodnie z konstrukcja˛ przeprowadzona˛ przed twierdzeniem 3.11. Pokażemy, że strategia
Π = (y, 0), (Y1 , τ1 ), . . .
jest optymalna. Wystarczy wykazać, że v(y) − J(Πi ) daży
˛ do zera, gdy i daży
˛ do nieskończoności. Z
lematu 4.7 wynika, że J(Πi ) = vi (y), natomiast zbieżność vi (y) do v(y) już wykazaliśmy.
73
4.5. PRZYKŁADY
4.5.
Przykłady
W tym podrozdziale skupimy si˛e na przykładach modeli rynków, które spełniaja˛ warunki NFL, NFL1
lub NFL2.
Dyfuzja z ograniczonymi współczynnikami zależnymi od markowskich czynników ekonomicznych
Modelujemy proces cen jako eksponent˛e Doleans-Dade dyfuzji ze współczynnikami zależnymi od
zewn˛etrznego procesu reprezentujacego
˛
czynniki ekonomiczne.
dS i (t)
= µi X(t) dt + σ i X(t) · dW (t), i = 1, . . . , d,
i
S (t)
(4.9)
gdzie W (t) jest p-wymiarowym procesem Wienera, µi : Rm → R jest dryfem, σ i : Rm → Rp –
wektorem zmienności, a X(t) jest procesem Fellera. Zakładamy, że µi i σ i , i = 1, . . . , d, sa˛ funkcjami
ograniczonymi. Równanie (4.9) posiada jednoznaczne rozwiazanie,
˛
które możemy zapisać wzorem
Z t
Z t
Z
2
1 t
i
i
i
i
i
σ X(u) du +
µ X(u) du ,
S (t) = S (s) exp
σ X(u) · dW (u) −
2 s
s
s
i = 1, . . . , d.
Ponadto, jest to proces Fellera.
Korzystajac
˛ z jawnej postaci rozwiazania
˛
(4.9) udowodnimy oszacowanie na bogactwo portfela.
Pozwoli nam to wykazać warunek NFL.
LEMAT 4.13. Dla dowolnego y = (η, s, x) ∈ E, Π ∈ A(y), t ≥ 0,
E y N Π (t) · S(t) ≤ η · s eβ̃t ,
(4.10)
gdzie
β̃ =
sup
µi (x).
(x,i)∈Rm ×{1,...,d}
Dowód. Ustalmy y, Π i t. Dla zwi˛ekszenia przejrzystości nie b˛edziemy pisać Π przy N Π i τkΠ . Wykażemy, że dla dowolnego i ∈ N
E y N (τi ∧ t) · S(τi ∧ t)eβ̃(t−τi ∧t) ≤ n · s eβ̃t .
Warunek samofinansowania implikuje, że
N (τi ∧ t) · S(τi ∧ t) ≤ N (τi−1 ∧ t) · S(τi ∧ t).
Ponadto, z mocnej własności Markowa procesu cen wynika, że
n o
E y N (τi ∧ t) · S(τi ∧ t)eβ̃(t−τi ∧t) ≤ E y E y N (τi−1 ∧ t) · S(τi ∧ t)eβ̃(t−τi ∧t) Fτi−1 ∧t
Rozwijamy iloczyn skalarny pod warunkowa˛ wartościa˛ oczekiwana˛
E y N (τi−1 ∧ t) · S(τi ∧ t)eβ̃(t−τi ∧t) Fτi−1 ∧t
=
d
X
k=1
E y N k (τi−1 ∧ t)S k (τi ∧ t)eβ̃(t−τi ∧t) Fτi−1 ∧t
74
Oszacowujemy każdy ze składników oddzielnie.
E y N k (τi−1 ∧ t)S k (τi ∧ t)eβ̃(t−τi ∧t) Fτi−1 ∧t
k
y
= N (τi−1 ∧ t) E eβ̃(t−τi ∧t) S k (τi−1 ∧ t)
Z τi ∧t
Z
1 τi ∧t σ k X(u) 2 du
exp
σ k X(u) dW (u) −
2 τi−1 ∧t
τi−1 ∧t
Z τi ∧t
+
µk X(u) du Fτi−1 ∧t
τi−1 ∧t
k
k
≤ N (τi−1 ∧ t)S (τi−1 ∧ t)
Z
β̃(t−τi ∧t) β̃(τi ∧t−τi−1 ∧t)
y
e
exp
E e
τi ∧t
σ i X(u) dW (u)
τi−1 ∧t
1
−
2
k
β̃(τi−1 ∧t)
k
= N (τi−1 ∧ t)S (τi−1 ∧ t)e
ponieważ
Z
τi ∧t
τi−1 ∧t
i
2
σ X(u) du Fτ ∧t
i−1
,
Z
2
1 s
i
σ X(u) du
s 7→ exp
σ X(u) dW (u) −
2 0
0
jest martyngałem. Podsumowujac,
˛ pokazaliśmy
E y N (τi ∧ t) · S(τi ∧ t)eβ̃(t−τi ∧t) ≤ E y N (τi−1 ∧ t) · S(τi−1 ∧ t)eβ̃(τi−1 ∧t) .
Z
s
i
Powtarzajac
˛ powyższe rozumowanie i − 1 razy dostajemy
E y N (τi ∧ t) · S(τi ∧ t)eβ̃(t−τi ∧t) ≤ n · s eβ̃t .
Aby zakończyć dowód, wystarczy przejść z i do nieskończoności. Z lematu Fatou
E y lim inf N (τi ∧ t) · S(τi ∧ t)eβ̃(t−τi ∧t) ≤ n · s eβ̃t .
i→∞
Z dopuszczalności strategii Π wynika, że τi (ω) > t dla niekończenie wielu i. Zatem
lim inf N (τi ∧ t) · S(τi ∧ t)eβ̃(t−τi ∧t) = N (t) · S(t),
k→∞
co kończy dowód.
Zauważmy zatem, że w rozważanym modelu warunek NFL jest spełniony. Przy dodatkowych zastrzeżeniach możemy wykazać NFL2.
WNIOSEK 4.14. Jeśli F (n, s, x) = (n · s)γ dla γ ∈ (0, 1) i α > β̃, to warunek NFL2 jest spełniony.
Dowód. Ustalmy kul˛e B ⊆ E i oznaczmy η = γ1 . Weźmy y = (n, s, x) ∈ B i Π ∈ A(y)
Z ∞
Z ∞
γη
y
−αt
Π
y
E
e
N (t) · S(t) dt = E
e−αt N Π (t) · S(t)dt
0
0
Z ∞
=
e−αt E y N Π (t) · S(t) dt
Z0 ∞
n·s
≤
e−αt n · s eβ̃t dt =
.
α − β̃
0
75
4.5. PRZYKŁADY
Zatem NFL2 jest spełniony, gdyż n · s jest ograniczony w zbiorach ograniczonych.
Aby znaleźć warunki, przy których założenie NFL2 jest spełnione dla szerszej klasy funkcji, musimy udowodnić trudniejsza˛ wersj˛e lematu 4.13.
LEMAT 4.15. Dla y = (n, s, x) ∈ E, Π ∈ A(y) i ograniczonego momentu stopu σ
1/2
E y e−ασ N Π (σ) · S(σ) ≤ n · s E y e−2(α−β)σ
,
(4.11)
gdzie
β = sup
i=1,...,d
1
sup kσ i (x)k2 + sup µi (x) .
2 x∈Rm
x∈Rm
Dowód. Podobnie jak poprzednio, w dowodzie b˛edziemy opuszczać oznaczenie Π przy N Π i τiΠ .
Ustalmy y = (n, s, x) ∈ E i Π ∈ A(y). Pokażemy najpierw, że dla dowolnego i ∈ N i ograniczonej
zmiennej losowej ξ
n
1/2 o
(4.12)
E y e−α(τi ∧σ) N (τi ∧ σ) · S(τi ∧ σ) E y ξ|Fτi ∧σ
n
1/2 o
.
≤ E y e−α(τi−1 ∧σ) N (τi−1 ∧ σ) · S(τi−1 ∧ σ) E y ξe2(β−α)(τi ∧σ−τi−1 ∧σ) Fτi−1 ∧σ
Warunek samofinansowania implikuje, że
N (τi ∧ t) · S(τi ∧ t) ≤ N (τi−1 ∧ t) · S(τi ∧ t).
Zatem
n
1/2 o
n
o
1/2 y
y
y
≤ E E N (τi−1 ∧ σ) · S(τi ∧ σ) E ξ|Fτi ∧σ
Fτi−1 ∧σ
Rozwijamy iloczyn skalarny pod wewn˛etrzna˛ wartościa˛ oczekiwana˛
n
o
1/2 E y N (τi−1 ∧ σ) · S(τi ∧ σ) E y ξ|Fτi ∧σ
Fτi−1 ∧σ
=
d
X
n
o
1/2 N k (τi−1 ∧ σ)E y S k (τi ∧ σ) E y ξ|Fτi ∧σ
Fτi−1 ∧σ
k=1
Nast˛epnie szacujemy każdy składnik oddzielnie, korzystajac
˛ z mocnej własności Markowa procesu
cen
n
o
1/2 N k (τi−1 ∧ σ)E y S k (τi ∧ σ) E y ξ|Fτi ∧σ
Fτi−1 ∧σ
= N k (τi−1 ∧ σ)S k (τi−1 ∧ σ)
Z τi ∧σ
Z
Z τi ∧σ
1 τi ∧σ σ k X(u) 2 du +
E y exp
σ k X(u) dW (u) −
µk X(u) du
2 τi−1 ∧σ
τi−1 ∧σ
τi−1 ∧σ
1/2 y
Fτ ∧σ
E ξ|Fτi ∧σ
i−1
76
Stosujemy nierówność Schwartza
Z τi ∧σ
Z
Z τi ∧σ
2
1 τi ∧σ k
y
k
k
exp
σ X(u) dW (u) −
E
σ X(u) du +
µ X(u) du
2 τi−1 ∧σ
τi−1 ∧σ
τi−1 ∧σ
1/2 y
Fτ ∧σ
E ξ|Fτi ∧σ
i−1
1/2
Z
2 1 τi ∧σ k
≤ E
exp
2σ X(u) dW (u) −
2σ X(u) duFτi−1 ∧σ
2 τi−1 ∧σ
τi−1 ∧σ
Z τi ∧σ
Z τi ∧σ
k
2
y
k
exp
E
σ X(u) du +
2µ X(u) du − 2α(τi ∧ σ)
y
τi ∧σ
Z
k
τi−1 ∧σ
τi−1 ∧σ
E
y
1/2
ξ|Fτi ∧σ Fτi−1 ∧σ
.
Pierwszy czynnik możemy zapisać jako
M k (τi ∧ σ) y
Fτ ∧σ ,
E
M k (τi−1 ∧ σ) i−1
gdzie
t
Z
k
M (t) = exp
0
jest martyngałem. Zatem E
momentem stopu. Stad
˛
y
{M k (τ
E
1
2σ X(u) dW (u) −
2
k
y
i
∧ σ)|Fτi−1 ∧σ } =
Z
M k (τ
t
2σ k X(u) 2 du
0
i−1
∧ σ), ponieważ σ jest ograniczonym
M k (τi ∧ σ) Fτ ∧σ = 1.
M k (τi−1 ∧ σ) i−1
Drugi czynnik szacujemy korzystajac
˛ z ograniczoności σ i i µi
Z τi ∧σ
Z τi ∧σ
i
2
y
i
σ X(u) du +
2µ X(u) du − α(τi ∧ σ)
E
exp
τi−1 ∧σ
τi−1 ∧σ
E
y
1/2
ξ|Fτi ∧σ Fτi−1 ∧σ
1/2
≤ E e
E ξ|Fτi ∧σ Fτi−1 ∧σ
1/2
y
−2α(τi−1 ∧σ) 2(β−α)(τi ∧σ−τi−1 ∧σ) y
= E e
e
E ξ|Fτi ∧σ Fτi−1 ∧σ
y
2β(τi ∧σ−τi−1 ∧σ)−2α(τi ∧σ)
y
1/2
= e−α(τi−1 ∧σ) E y ξ e2(β−α)(τi ∧σ−τi−1 ∧σ) Fτi−1 ∧σ
Dostajemy zatem oszacowanie
n
1/2 o
n
1/2 o
≤ E y e−α(τi−1 ∧σ) N (τi−1 ∧ σ) · S(τi−1 ∧ σ) E y ξ e2(β−α)(τi ∧σ−τi−1 ∧σ) Fτi−1 ∧σ
,
które kończy dowód (4.12).
77
4.5. PRZYKŁADY
Wykażemy teraz, że dla dowolnego i ∈ N
n
o
1/2
E y e−α(τi ∧σ) N (τi ∧ σ) · S(τi ∧ σ) ≤ n · s E y e2(β−α)(τi ∧σ)
.
(4.13)
Zastosujmy oszacowanie (4.12) z ξ = 0
n
o
E y e−α(τi ∧σ) N (τi ∧ σ) · S(τi ∧ σ)
n
1/2 o
.
≤ E y e−α(τi−1 ∧σ) N (τi−1 ∧ σ) · S(τi−1 ∧ σ) E y e2(β−α)(τi ∧σ−τi−1 ∧σ) Fτi−1 ∧σ
Nast˛epnie stosujemy (4.12) z ξ = exp 2(β − α)(τi ∧ σ − τi−1 ∧ σ)
n
1/2 o
E y e−α(τi−1 ∧σ) N (τi−1 ∧ σ) · S(τi−1 ∧ σ) E y e2(β−α)(τi ∧σ−τi−1 ∧σ) Fτi−1 ∧σ
n
1/2 o
.
≤ E y e−α(τi−2 ∧σ) N (τi−2 ∧ σ) · S(τi−2 ∧ σ) E y e2(β−α)(τi ∧σ−τi−2 ∧σ) Fτi−2 ∧σ
Ostatni krok powtarzamy i − 2 razy i dostajemy (4.13). Przechodzimy teraz z i do nieskończoności.
Zauważamy, że z twierdzenia o zbieżności monotonicznej pod znakiem całki i z dopuszczalności
strategii Π wynika, że
lim E y e2(β−α)(τi ∧σ) = E y e2(β−α)σ .
i→∞
Zauważmy, że τi (ω) > σ(ω) dla niekończenie wielu i, bo σ jest ograniczonym momentem stopu, zaś
Π jest strategia˛ dopuszczalna.˛ Stosujac
˛ lemat Fatou i powyższa˛ uwag˛e dostajemy
n
o
n
o
lim inf E y e−α(τi ∧σ) N (τi ∧ σ) · S(τi ∧ σ) ≥ E y lim inf e−α(τi ∧σ) N (τi ∧ σ) · S(τi ∧ σ)
i→∞
i→∞
n
o
= E y e−ασ N (σ) · S(σ) .
A zatem
n
o
1/2
,
E y e−ασ N (σ) · S(σ) ≤ n · s E y e2(β−α)σ
co kończy dowód.
Określimy teraz szersza˛ rodzin˛e funkcji F , dla których udowodnimy istnienie strategii optymalnej.
Nie skorzystamy przy tym z twierdzenia 4.12, lecz silniej wykorzystamy postać procesu cen.
Założenie AF. Istnieja˛ stałe A, B takie, że
0 ≤ F (η, s, x) ≤ A + B(η · s), (η, s, x) ∈ E.
Założenie AF ogranicza wzrost funkcji F w stosunku do bogactwa. Zauważmy, że jeśli F (η, s, x) =
u(η · s), czyli jest użytecznościa˛ bogactwa, to warunek AF jest spełniony dla dowolnej nieujemnej
wkl˛esłej lub wypukło-wkl˛esłej funkcji u. Obejmuje to cała˛ klas˛e stosowanych obecnie funkcji użyteczności.
TWIERDZENIE 4.16. Załóżmy, że F spełnia założenia AF, α > β, gdzie
β = sup
i=1,...,d
1
sup kσ i (x)k2 + sup µi (x) ,
2 x∈Rm
x∈Rm
oraz zachodzi NUM. Wtedy funkcja wartości v jest funkcja˛ ciagł
˛ a˛ i spełnia równanie Bellmana
Kv = v. Ponadto istnieje strategia optymalna.
78
Dowód. Dowód tego twierdzenia b˛edzie bazował na dowodzie twierdzenia 4.12. Zauważmy, że założenie NFL jest spełnione na mocy lematu 4.13. Nie mamy tylko NFL2. Jest ono wykorzystywane w
dowodzie twierdzenia 4.12 tylko do pokazania, że dla dowolnego zbioru zwartego B ⊆ E
Z ∞
e−αt F N Π (t) · S(t) dt → 0
Ey
τiΠ
jednostajnie dla y ∈ B i Π ∈ A(y).
Ustalmy zatem zbiór zwarty B ⊆ E, y ∈ B i Π ∈ A(y). Na mocy założenia AF
Z ∞
Z ∞
Z ∞
e−αt B N Π (t) · S(t) dt
e−αt A +
e−αt F Y Π (t) dt = E y
Ey
τiΠ
τiΠ
A
Π
≤ E y e−ατi + B E y
α
Zajmijmy si˛e drugim składnikiem
Z ∞
Z
−αt Π
y
e N (t) · S(t)dt =
E
τiΠ
∞
τΠ
i Z
∞
−αt
e
Π
N (t) · S(t)dt
τiΠ
n
o
Π
E y e−α(t+τi ) N Π (t + τiΠ ) · S(t + τiΠ ) dt
0
Na mocy lematu 4.15 dla dowolnego T > 0
o1/2
n
o
n
Π
Π
.
E y e−α(t+τi ∧T ) N Π (t + τiΠ ∧ T ) · S(t + τiΠ ∧ T ) ≤ n · s E y e2(t+τi ∧T )(β−α)
Ze zbieżności monotonicznej
o1/2
o1/2 n
n
Π
Π
.
= E y e2(t+τi )(β−α)
lim E y e2(t+τi ∧T )(β−α)
T →∞
i granica jest skończona, gdyż (β − α) < 0. Lemat Fatou daje
n
o
Π
E y lim inf e−α(t+τi ∧T ) N Π (t + τiΠ ∧ T ) · S(t + τiΠ ∧ T )
T →∞
n
o
Π
≤ lim inf E y e−α(t+τi ∧T ) N Π (t + τiΠ ∧ T ) · S(t + τiΠ ∧ T )
T →∞
n
o1/2
Π
.
≤ n · s E y e2(t+τi )(β−α)
Zauważmy też, że
Π
Π
lim inf e−α(t+τi ∧T ) N Π (t + τiΠ ∧ T ) · S(t + τiΠ ∧ T ) = e−α(t+τi ) N Π (t + τiΠ ) · S(t + τiΠ ),
T →∞
a wi˛ec
n
o
n Π
o1/2
Π
E y e−α(t+τi ) N Π (t + τiΠ ) · S(t + τiΠ ) ≤ n · s et(β−α) E y e2τi (β−α)
.
Podsumowujac
˛
E
y
Z
∞
−αt
e
F Y (t) dt
Π
τiΠ
n Π
o1/2 Z ∞
A y −ατ Π
y
2τ
(β−α)
t(β−α)
e
dt
≤ E e i +n·sB E e i
α
0
A
B y n 2τ Π (β−α) o1/2
Π
= E y e−ατi + n · s
E e i
.
α
α−β
79
4.5. PRZYKŁADY
Π
Π
Warunek NFL implikuje nam, że zarówno E y e−ατi jak i E y e2τi (β−α) daż
˛ a˛ do zera jednostajnie
dla y ∈ B i Π ∈ A(y). Stad
˛
Z ∞
y
e−αt F N Π (t) · S(t) dt = 0,
lim
sup
E
i→∞ y∈B,Π∈A(y)
τiΠ
co kończy dowód, gdyż dalej post˛epujemy identycznie jak w dowodzie twierdzenia 4.12.
Na zakończenie zwróćmy uwag˛e na to, że zwi˛ekszenie rodziny funkcji F okupiliśmy zmiana˛ oszacowania na możliwe stopy dyskonta α. We wniosku 4.14 wymagaliśmy tylko, by
α > β̃ =
sup
µi (x).
(x,i)∈Rm ×{1,...,d}
Natomiast w twierdzeniu 4.16 żadamy,
˛
aby
α > β = sup
i=1,...,d
1
sup kσ i (x)k2 + sup µi (x) .
2 x∈Rm
x∈Rm
Multiplikatywny proces cen
Ceny modelujemy jako d-wymiarowy proces dany przez
S i (t) = eZ
i (t)
, i = 1, . . . , d.
Proces Z(t) nie musi być procesem Fellera. Dopiero razem z procesem X(t), który, przypomnijmy,
reprezentuje czynniki ekonomiczne, spełnia warunek Fellera. Formalnie
Z(t), X(t) ∈ E Z × E X ,
Z
d
X
m
E = R , E = R . Zauważmy także, że proces S(t), X(t) spełnia warunek Fellera.
Celem tej cz˛eści jest znalezienie wystarczajacych
˛
warunków wyrażonych w terminach procesu
Z(t), X(t) na to, by były spełnione założenia NFL, NFL1 i NFL2. Wyniki b˛eda˛ znacznie ogólniejsze niż w poprzednim przykładzie, lecz także słabsze w tym sensie, że dolne ograniczenie na
współczynnik dyskonta α b˛edzie wyższe. Jedynym założeniem, które zrobimy, jest
Założenie MLT. Dla dowolnego T > 0 istnieje β > 0
2 2
E z S i (t) Fs ≤ S i (s) e2β(t−s) , s ≤ t ≤ T , i = 1, . . . , d, z ∈ E.
Proces dyfuzji (4.9) z ograniczonymi współczynnikami spełnia MLT z β równym temu z lematu 4.15.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, przedstawione dowody nie b˛eda˛ brały pod uwag˛e istnienia kosztów za transakcje. Tutaj jednak b˛edziemy musieli jawnie ograniczyć nasze rozważania do
takiego przypadku. Chociaż usuniemy koszty za transakcje, to pozostaniemy przy wymaganiu, by
nasza strategia była sterowaniem impulsowym. Zwróćmy uwag˛e, że wszelkie górne oszacowania bogactwa portfela bez kosztów za transakcje przenosza˛ si˛e w oczywisty sposób na przypadek kosztów
za transakcje. Zastosowana sztuczka nie jest wi˛ec żadnym ograniczeniem.
Zdefiniujemy teraz strategi˛e bez kosztów za transakcje. Różni si˛e ona od definicji 4.2 tylko punktem iv).
DEFINICJA 4.17. Π = (N0 , 0), (N1 , τ1 ), . . . jest strategia˛ dopuszczalna˛ bez kosztów za transakcje dla (s0 , x0 ) ∈ E S × E X , jeśli
80
i)
ii)
iii)
iv)
v)
0 ≤ τ1 ≤ τ2 · · · sa˛ momentami stopu,
Ni jest Fτi mierzalne,
Ni ∈ E N P(s0 ,x0 ) -p.n.,
Ni S(τi ) = Ni−1 S(τi ) P(s0 ,x0 ) -p.n. (samofinansowanie),
P(s,x) (limn→∞ τn = ∞) = 1.
Zbiór strategii dopuszczalnych bez kosztów za transakcje dla y = (η0 , s0 , x0 ) ∈ E b˛edziemy oznaczać przez Ã(y). Składa si˛e on z tych wszystkich strategii dopuszczalnych bez kosztów za transakcje
dla (s0 , x0 ), w których N0 = η0 .
Możemy teraz sformułować główny wynik.
TWIERDZENIE 4.18. Załóżmy, że proces cen spełnia warunek MLT. Dla dowolnego T > 0 istnieje
β > 0 taka, że
2
sup E y N Π (T ) · S(T ) ≤ (η0 · s0 )2 e2βT , y = (η0 , s0 , x0 ) ∈ E.
(4.14)
Π∈Ã(y)
Ponadto, β jest równa stałej z warunku MLT.
Trywialnie dostajemy analogiczny wynik dla przypadku z kosztami za transakcje.
WNIOSEK 4.19. Jeśli proces cen spełnia MLT, to istnieje β > 0 zależna od T > 0, taka że
2
sup E y N Π (T ) · S(T ) ≤ (η0 · s0 )2 e2βT , y = (η0 , s0 , x0 ) ∈ E.
Π∈A(y)
Dowód twierdzenia 4.18 bazuje na dyskretyzacji czasu i pewnego rodzaju ciagłości
˛
procesu Fellera.
Poczatkowo
˛
dowodzimy (4.14) dla strategii z transakcjami w ustalonej, skończonej liczbie deterministycznych momentów. Nast˛epnie, gdy zbiór tych momentów staje si˛e g˛estszy w [0, T ], proponowane
przybliżenie lewej strony (4.14) staje si˛e coraz lepsze, by w granicy osiagn
˛ ać
˛ równość.
Dowód twierdzenia 4.18. W dowodzie, jeśli nie b˛edzie to niejednoznaczne, opuszczać b˛edziemy
oznaczenie Π przy N Π i τiΠ . Dla n ∈ N wprowadzimy diadyczny podział odcinka [0, T ]
o
n T 2T
Dn = 0, n , n , . . . , T .
2 2
W zbiorze strategii Ã(y) wybieramy te, których transakcje maja˛ miejsce w Dn Py -p.n. Oznaczamy ten
zbiór przez Ãn (y). Możemy postrzegać strategie z Ãn (y) jako takie, które maja˛ transakcj˛e w każdym
punkcie Dn . Uzasadnić to można brakiem kosztów za transakcje. Teraz, niech Ãm (y) b˛edzie zbiorem
strategii o co najwyżej m transakcjach w [0, T ]. Zaś Ãm
eciem dwóch powyższych
n (y) jest przeci˛
zbiorów. Formalnie
Ãn (y) = {Π ∈ Ã(y) :
Py (τi ∩ [0, T ] ∈ Dn ∀i) = 1}, y ∈ E, n ∈ N,
Ãm (y) = {Π ∈ Ã(y) :
τm+1 > T Py -p.n.}, y ∈ E, m ∈ N,
m
Ãm
n (y) = Ã (y) ∩ Ãn (y), y ∈ E, m ∈ N.
Poniższy lemat dowodzi całkowalności lewej strony (4.14) dla strategii z Ãm .
LEMAT 4.20.
2
E y N Π (T ) · S(T ) < ∞, Π ∈ Ãm (y), m ∈ N, y ∈ E.
81
4.5. PRZYKŁADY
Dowód. Wykażemy oszacowanie
2
E y N Π (T ) · S(T ) ≤ (η0 · s0 )2 e2mβT ,
(4.15)
gdzie y = (η0 , s0 , x0 ), Π ∈ Ãm (y), zaś β jest stała˛ z założenia MLT.
2
Zauważmy najpierw, że N (T ) · S(T ) jest nieujemna˛ zmienna˛ losowa,˛ wi˛ec jej warunkowa
wartość oczekiwana jest dobrze zdefiniowana, choć może być nieskończona w niektórych punktach.
Π ≤ T . Formalnie można to
Ustalmy m ∈ N. Brak kosztów za transakcje pozwala nam założyć, że τm
zrobić w nast˛epujacy
˛ sposób
0
τ10 = τ1 ∧ T , . . . , τm
= τm ∧ T ,
0
0
τm+1
= τ1 ∨ T , . . . τ2m
= τm ∨ T ,
0
τ2m+k
= τm+k , k > 0.
Oczywiście, proces zawartości portfela zwiazany
˛
z powyższa˛ modyfikacja˛ strategii jest identyczny z
Π
N (t).
Tak wi˛ec, zakładajac
˛ τm ≤ T , piszemy
d X
d
nX
o
2
E y N (T ) · S(T ) = E y
N i (T )S i (T )N j (T )S j (T )
i=1 j=1
= Ey
d X
d
nX
o
E y N i (T )S i (T )N j (T )S j (T )Fτm .
i=1 j=1
Szacujemy każdy składnik z osobna z nierówności Schwartza
E y N i (T )S i (T )N j (T )S j (T )Fτm = E y N i (τm )S i (T )N j (τm )S j (T )Fτm
= N i (τm )N j (τm )E y S i (T )S j (T )Fτm
2 12
≤ N i (τm )N j (τm ) E y S i (T ) Fτm
2 12
E y S j (T ) Fτm
.
Na mocy założenia MLT powyższe wyrażenie możemy oszacować z góry przez
12
21 j
N i (τm )N j (τm )S i (τm ) E y e2β(T −τm ) Fτm
S (τm ) E y e2β(T −τm ) Fτm
≤ N i (τm )N j (τm )S i (τm )S j (τm )e2βT .
Ostatecznie
d X
d
nX
o
2
E y N (T ) · S(T ) ≤ E y
N i (τm )N j (τm )S i (τm )S j (τm )e2βT
i=1 j=1
=E
y
2
N (τm ) · S(τm ) e2βT .
Założenie o samofinansowaniu daje
2
2
E y N (τm ) · S(τm ) e2βT = E y N (τm −) · S(τm ) e2βT .
82
Powtarzajac
˛ powyższe rozumowanie m razy dochodzimy do (4.15).
W poniższym lemacie wykorzystamy spostrzeżenie, że strategie z Ãn (y) można traktować jako
strategie, które maja˛ transakcj˛e w każdym punkcie Dn . Oznaczmy przez β stała˛ z założenia MLT dla
horyzontu T .
LEMAT 4.21. Dla każdego n ∈ N
2
E y N Π (T ) · S(T ) ≤ (η0 · s0 )2 e2βT , Π ∈ Ãn (y), y = (η0 , s0 , x0 ) ∈ E.
Dowód. Oznaczmy punkty Dn przez t0 , t1 , . . . , t2n , tzn. ti = T i/2n . Ponadto, niech N2n = N Π (t2n ),
N2n −1 = N Π (t2n −1 ), . . . . Oczywiście Ni jest Fti -mierzalne dla i = 0, . . . 2n .
Skorzystajmy z warunku samofinansowania N2n · S(T ) = N2n −1 · S(T ) i rozwińmy iloczyn
skalarny
2
2
2
E y N Π (T ) · S(T ) = E y N2n · S(T ) = E y N2n −1 · S(T )
d X
d
nX
o
y
=E
N2in −1 S i (T )N2jn −1 S j (T )
(4.16)
i=1 j=1
=E
y
d X
d
nX
o
E y N2in −1 S i (T )N2jn −1 S j (T )Ft2n −1 .
i=1 j=1
Szacujemy każdy składnik oddzielnie korzystajac
˛ z nierówności Schwartza
E y N2in −1 S i (T )N2jn −1 S j (T )Ft2n −1 = N2in −1 N2jn −1 E y S i (T )S j (T )Ft2n −1
2 21
≤ N2in −1 N2jn −1 E y S i (T ) Ft2n −1
2 12
y
j
.
E
S (T ) Ft2n −1
(4.17)
Na mocy założenia MLT szacujemy to przez
β
β
N2in −1 N2jn −1 S i (t2n −1 )e 2n S j (t2n −1 )e 2n .
Ostatecznie (4.16) jest ograniczone z góry przez
Ey
d X
d
nX
2β
N2in −1 S i (t2n −1 )N2jn −1 S j (t2n −1 )e 2n
o
2 2β
= E y N2n −1 · S(t2n −1 ) e 2n .
i=1 j=1
Powtarzajac
˛ powyższe rozumowanie (2n − 1) razy dochodzimy do nierówności, która˛ mieliśmy udowodnić.
W dalszej
˛
półgrupy zwiazanej
˛
z procesem
cz˛eści dowodu b˛edziemy wykorzystywali ciagłość
Z(t), X(t) . W celu uproszczenia zapisu przyjmijmy Ỹ (t) = Z(t), X(t) . Poniższe lematy oraz
referencje do dowodów pochodza˛ z pracy Stettnera [30].
LEMAT 4.22. Dla dowolnego zbioru zwartego K ⊆ E Z × E X , > 0, T > 0, istnieje zbiór zwarty
K1 ⊇ K, taki że
sup Pỹ Ỹ (t) ∈
/ K1 dla pewnego t ∈ [0, T ] < .
ỹ∈K
83
4.5. PRZYKŁADY
LEMAT 4.23. Niech Oδ (ỹ) = {z̃ ∈ E Z × E X :
kỹ − z̃k < δ}, ỹ ∈ E Z × E X .
/ Oδ (ỹ) < .
∀>0, δ>0 ∀K1 – zwarty ∃h0 ∀h≤h0 ∀ỹ∈K1 Pỹ Ỹ (h) ∈
Dowód lematu 4.22 można znaleźć w pracy Mackevicius [17], lemat 2. Lemat 4.23 może być dowiedziony identycznie do lematu 2.5 z monografii Dynkina [9]. Jako wniosek dostajemy
WNIOSEK 4.24. Niech τ b˛edzie ograniczonym momentem stopu. Dla dowolnych stałych δ, > 0
i zbioru zwartego B̃ ∈ E Z × E X istnieje η > 0, takie że
Pỹ kỸ (τ ) − Ỹ (σ)k ≥ δ, Ỹ (τ ) ∈ B̃ ≤ , ỹ ∈ E Z × E X .
dla dowolnej Fτ -mierzalnej zmiennej losowej σ spełniajacej
˛
0 ≤ σ − τ ≤ η.
Skorzystamy teraz z ciagłości
˛
procesu Fellera, udowodnionej powyżej, oraz z lematu 4.21, aby
otrzymać oszacowanie górne na bogactwo portfeli zwiazanych
˛
ze strategiami z Ãm (y).
LEMAT 4.25. Dla m ∈ N, y ∈ E, Π ∈ Ãm (y)
2
E y N Π (T ) · S(T ) ≤ lim
n→∞
2
0
E y N Π (T ) · S(T ) .
sup
Π0 ∈Ãm
n (y)
Dowód. Dowód opiera si˛e na nast˛epujacej
˛ dyskretyzacji strategii. Niech Π ∈ Ãm (y),
Π = (N0 , τ0 ), (N1 , τ1 ), . . . , (Nm , τm ) .
Jak poprzednio, możemy założyć, że τm ≤ T . Konstruujemy n-dyskretyzacj˛e Π, oznaczana˛ przez
Πn , która b˛edzie elementem Ãm
n (y). Modyfikujemy momenty transakcji:
τn,l =
kT
,
2n
jeżeli
(k − 1)T
kT
< τl ≤ n ,
n
2
2
k = 0, 1, . . . , 2n , l = 0, 1, . . . , m.
Zatem 0 ≤ τn,l − τn ≤ 2−n . Żadamy,
˛
aby liczba akcji w portfelu Πn była proporcjonalna do liczby
akcji w portfelu Π, tzn.
Nn,l = αn,l Nl , l = 0, 1, . . . , m.
Oczywiście αn,0 = 1. Ponadto musi być spełniony warunek samofinansowania
αn,l−1 Nl−1 · S(τn,l ) = αn,l Nl · S(τn,l ).
Powyższa relacja determinuje w całości αn,l . Ponadto, αn,l jest Fτn,l -mierzalna˛ zmienna˛ losowa.˛
Teraz dla dowolnych δ, > 0 znajdziemy N (δ, ), takie że dla n ≥ N (δ, ) istnieje zbiór An (δ, )
⊆ Ω o mierze Py {An (δ, )} ≥ 1 − oraz
An (δ, ) ⊆
n S i (τ )
o
n,l
−δ δ
∈
[e
,
e
],
i
=
1,
.
.
.
,
d,
l
=
0,
.
.
.
,
m
.
S i (τl )
Na mocy lematu 4.22 istnieje zbiór zwarty B̃1 ⊆ E Z × E X , taki że y ∈ [0, ∞)d × B̃1 i
Py
Z(t), X(t) ∈
/ B̃1 dla t ∈ [0, T ] <
.
m+1
(4.18)
84
Z wniosku 4.24 możemy znaleźć N ∈ N, takie że n-dyskretyzacja Πn strategii Π spełnia dla n ≥ N
Py |Z(τn,l ) − Z(τl )| > δ,
Z(τl ), X(τl ) ∈ B̃1 ≤
, l = 1, . . . , m.
m+1
Stad
˛
Py {Acn (δ, )} = Py ∃l∈{1,2,...,m} |Z(τn,l ) − Z(τl )| > δ
= Py ∃l∈{1,2,...,m} |Z(τn,l ) − Z(τl )| > δ, ∃t∈[0,T ] Z(τl ), X(τl ) ∈
/ B̃1
+ Py ∃l∈{1,2,...,m} |Z(τn,l ) − Z(τl )| > δ, ∀t∈[0,T ] Z(τl ), X(τl ) ∈ B̃1
≤ Py ∃t∈[0,T ] Z(τl ), X(τl ) ∈
/ B̃1
m
X
+
Py |Z(τn,l ) − Z(τl )| > δ, ∀t∈[0,T ] Z(τl ), X(τl ) ∈ B̃1
l=1
≤
+m
= .
m+1
m+1
Ustalmy δ, > 0 i weźmy n ≥ N (δ, ). Podamy teraz oszacowanie dolne na αn,m na zbiorze
An (δ, ). Ustalmy numer transakcji l ∈ {1, . . . , m}. Bogactwo przed transakcja˛ jest równe Nn,l−1 ·
S(τn,l ). Relacja (4.18) pozwala nam na dokonanie nast˛epujacych
˛
przekształceń:
Nn,l−1 · S(τn,l ) = αn,l−1 Nl−1 · S(τn,l ) = αn,l−1
d
X
i
Nl−1
S i (τn,l )
i=1
≥ αn,l−1
d
X
i
S i (τl )e−δ = αn,l−1 e−δ Nl−1 · S(τl ).
Nl−1
i=1
Ponieważ Π jest strategia˛ samofinansujac
˛ a˛
αn,l−1 e−δ Nl−1 · S(τl ) = αn,l−1 e−δ Nl · S(τl ).
A zatem, na mocy (4.18)
αn,l−1 e−δ Nl · S(τl ) = αn,l−1 e−δ
≥ αn,l−1 e−δ
d
X
i=1
d
X
Nli S i (τl )
Nli S i (τn,l )e−δ = αn,l−1 e−2δ Nl · S(τn,l ).
i=1
Warunek samofinansowania dla strategii Πn ma postać Nn,l · S(τn,l ) = Nn,l−1 · S(τn,l ). Dostajemy
zatem Nn,l ≥ αn,l−1 e−2δ Nl , co pozwala zapisać oszacowanie dolne na αn,l w postaci rekurencyjnej:
αn,l ≥ αn,l−1 e−2δ . Czyli
αn,m ≥ e−2mδ .
Podsumowujac
˛
2
2
2
E y 1An (δ,) Nn,m · S(T ) = E y 1An (δ,) αm Nm · S(T ) ≥ E y 1An (δ,) e−2mδ Nm · S(T )
2
= e−4mδ E y 1An (δ,) Nm · S(T ) .
85
4.5. PRZYKŁADY
Możemy teraz oszacować bogactwo portfela Π w momencie T przy pomocy strategii zdyskretyzowanych. Mamy
2
2
2
E y Nm · S(T ) = E y 1An (δ,) Nm · S(T ) + E y 1Acn (δ,) Nm · S(T )
2
2
≤ e4mδ E y 1An (δ,) Nn,m · S(T ) + E y 1Acn (δ,) Nm · S(T )
2
2
≤ e4mδ E y Nn,m · S(T ) + E y 1Acn (δ,) Nm · S(T )
2
2
0
≤ e4mδ lim
sup E y N Π (T ) · S(T ) + E y 1Acn (δ,) Nm · S(T ) . (4.19)
k→∞ Π0 ∈Ãm (y)
k
Zauważmy, że (4.19) zależy od n tylko poprzez zbiór An (δ, ). Weźmy δ = daż
˛ ace
˛ do zera. Wtedy
2
0
0
2
e4mδ lim
sup E y N Π (T ) · S(T ) → lim
sup E y N Π (T ) · S(T )
k→∞ Π0 ∈Ãm (y)
k→∞ Π0 ∈Ãm (y)
k
k
oraz
2
E y 1Acn (δ,) Nm · S(T ) → 0
na mocy twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej, gdyż z lematu 4.20 wynika, że Nm · S(T ) jest
całkowalne z kwadratem.
Zdefiniujmy
W (m, y) =
sup
2
E y N Π (T ) · S(T ) , m ∈ N, y ∈ E.
Π∈Ãm (y)
Dla dowolnej strategii Π ∈ Ãm (y), y = (η0 , s0 , x0 ) ∈ E, na mocy lematów 4.25 i 4.21
2
2
0
E y N Π (T ) · S(T ) ≤ lim
sup E y N Π (T ) · S(T ) ≤ (η0 · s0 )2 e2βT .
n→∞
Π0 ∈Ãm
n (y)
Zatem ciag
˛ W (m, y) m∈N jest ograniczony przez (η0 · s0 )2 e2βT dla y = (η0 , s0 , x0 ) ∈ E. Ponadto
jest niemalejacy
˛ wzgl˛edem m i zbiega do
2
sup E y N Π (T ) · S(T ) .
Π∈A(y)
Twierdzenie 4.18 lub dokładniej wniosek 4.19 pozwala nam znaleźć warunki dostateczne, by założenia NFL, NFL1 i NFL2 były spełnione. Niech wi˛ec MLT zachodzi ze stała˛ β, uniwersalna˛ dla
T > 0. Wtedy dla T > 0, z = (η0 , s0 , x0 ) ∈ E, Π ∈ A(z)
2
E y N Π (T ) · S(T ) ≤ 1 + E y N Π (T ) · S(T ) ≤ 1 + (η0 · s0 )2 e2βT ,
(4.20)
czyli założenie NFL jest spełnione. Aby wykazać NFL1 weźmy = 1, z = (η0 , s0 , x0 ) ∈ B ⊆ E –
kula i zauważmy
2
sup E y N Π (T ) · S(T ) ≤ (η0 · s0 )2 e2βt .
(4.21)
Π∈A(z)
Pokazaliśmy, że NFL1 jest zachodzi ze stała˛ η = 2β.
Jedynie przypadek NFL2 nie jest oczywisty. Załóżmy, podobnie jak w twierdzeniu 4.16, że F
spełnia założenie AF:
0 ≤ F (η, s, x) ≤ A + B(η · s), (η, s, x) ∈ E,
86
dla pewnych stałych A, B ∈ R+ . Na mocy (4.20) i (4.21), z = (η0 , s0 , x0 ) ∈ E
Z ∞
2
y
e−αt F Y Π (t) dt
sup E
Π∈A(z)
0
≤ sup E
y
Π∈A(z)
Z
∞
2 e−αt A2 + 2ABN Π (t) · S(t) + B 2 N Π (t) · S(t) dt
0
∞
2
e−αt N Π (t) · S(t) dt
N (t) · S(t)dt + B E
α
0
0
Z ∞
Z ∞
2
A
1
−αt+2βt
2
2
2
≤
e−αt+2βt dt.
e
dt + B (η0 · s0 )
+ 2AB
+ (η0 · s0 )
α
α
0
0
=
A2
+ 2AB E
y
Z
∞
−αt
e
Π
2
y
Z
Przyjmujac
˛ α > 2β, dostajemy górne ograniczenie zależne tylko od (η0 · s0 )2 , czyli od kwadratu
bogactwa poczatkowego.
˛
Jest ono ograniczone na dowolnym zbiorze zwartym zawartym w E, co
dowodzi założenia NFL2.
Jak wspomnieliśmy na poczatku
˛ tego przykładu, model dyfuzyjny rozpatrywany wcześniej spełnia
założenie MLT ze stała˛ β identyczna˛ do tej z lematu 4.15. Tutaj udowodniliśmy istnienie strategii
optymalnej dla F spełniajacego
˛
założenie AF i czynnika dyskonta α > 2β. Natomiast w twierdzeniu
4.16 dowodzimy tej samej tezy, ale przy słabszych założeniach: α > β. Udało nam si˛e zatem dowieść
ogólniejszego rezultatu ale kosztem gorszego oszacowania na czynnik dyskonta.
Bibliografia
[1] Bensoussan, A., Lions, J. L., Contrôl Impulsionnel Inéquations Quasi-Variationnelles, 1982, Dunod, Paris
[2] Bensoussan, A., Lions, J. L., Nouvelles Methodes en Contrôle Impulsionnel, Applied Mathematics
and Optimization 1, 1975, 289-312
[3] Bichteler, K., Stochastic integration with jumps, 2002, Cambridge University Press, Cambridge
[4] Bielecki, T.R., Pliska, S.R., Sherris, M., Risk sensitive asset allocation, J. Economic Dynamics
and Control 24, 2000, 1145-1177
[5] Cvitanić, J., Shreve, S.E., Soner H.M., There is no nontrivial hedging portfolio for option pricing
with transaction costs, 1995, Annals of Applied Probability 5/2, 327-355
[6] Davis, M.H.A., Markov Models and Optimization, 1993, Chapman & Hall, London
[7] Delbaen, F., Schachermayer, W., A general version of the fundamental theorem of asset pricing,
Mathematische Annalen 300, 1994, 463-520
[8] Dunford, N., Schwartz, J. T., Linear operators, Interscience Publishers, 1958
[9] Dynkin, E. B., Markov processes, 1965, Springer
[10] Eastham J.F., Hastings, K.J., Optimal impulse control of portfolios, Mathematics of Operation
Research 13, 4, 1988, 588 – 605
[11] He, S., Wang, J., Yan, J., Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press and
CRC Press Inc., 1992
[12] Jouini, E., Napp, C., Arbitrage and investment opportunities, Stochastics, 2001
[13] Jouini, E., Napp, C., Schachermayer, W., Arbitrage and state price deflators in a general intertemporal framework, ukaże si˛e w Journal of Mathematical Economics
[14] Karatzas, I., Shreve, S. E., Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, 1991
[15] Karatzas, I., Shreve, S. E., Methods of Mathematical Finance, Springer-Verlag, 1998
[16] Korn, R, Portfolio optimization with strictly positive transaction cost and impulse control, Finanace and Stochastics 2, 1998, 85 – 114
[17] Mackevicius, V., Passing to the limit in the optimal stopping problems of Markov processes,
ibidem 13.1, 1973, 115 – 128
87
88
BIBLIOGRAFIA
[18] Markowitz, H.M., Portfolio Selection, 1952, Journal of Finance 7 (1), 77-91
[19] Merton, R.C., Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model, J. of Economical Theory 3, 373-413
[20] Napp, C., Pricing issues with investment flows. Applications to market models with frictions, J.
of Mathematical Economics 35, 2001, 383-408
[21] Palczewski, J., Arbitrage and pricing in a general model with flows, 2003, Applicationes Mathematicae 30, 413-429
[22] Palczewski, J., Stettner, Ł., Impulsive control of portfolios, złożone do Applied Mathematics and
Optimisation
[23] Palczewski, J., Zabczyk, J., Portfolio diversification with Markovian prices, 2004, Preprint IMPAN 649
[24] Pliska, S. R., Suzuki, K., Optimal tracking for asset allocation with fixed and proportional transaction costs, Quantitative Finance, 2004, vol. 4, no. 2, 233-243
[25] Robin, M., Contrôle Impulsionnel des processus de Markov, praca habilitacyjna, Univérsité de
Paris IX, 1978
[26] Rogers, L. C. G., Williams D., Diffusions, Markov processes and martingales, 2000, Cambridge
University Press
[27] Schäl, M., A selection theorem for optimization problems, Archiv der Mathematik 25, 1974,
219-224
[28] Schwartz, L., Fonctions mesurables et *-scalairement mesurables, mesures banachiques majorees, martingales banachiques, et propriete de Radon-Nikodym, Exposés 4, 5 et 6, Seminaire
Maurey-Schwartz, Ecole Polytechnique, 1974-1975
[29] Stettner, Ł., On impulsive control with long run average cost criterion, Studia Math., 1983, vol.
76, 279-298
[30] Stettner, Ł., On some stopping and impulsive control problems with a general discount rate
criteria, Probability and Mathematical Statistics 10, 2, 1989, 223 – 245
[31] Stricker, Ch., Arbitrage et lois de martingale, Ann. Inst. Henri Poincaré 26, no. 3, 1990, 451-460
[32] Yosida, K., Functional analysis, Springer-Verlag, 1966
[33] Zabczyk, J., Stopping problems in stochastic control, Proceedings of International Congress of
Mathematicians, 1983, 1425-1437

Impulsowe portfele inwestycyjne: modelowanie rynku

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zaj ecia wspomagaj ace z matematyki, chemia I rok Zestaw M4

kol 2

Instytut Historii Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

Podr˛ecznik KDebugDialog

Zadanie 11.1. Wiemy, ˙ze stopy zwrotu 3 akcji s a opisywane przez

Technologia pisarstwa naukowego

Zagadki Humanistyczne - Zakład Logiki Stosowanej

Spór Hayek-Lange z dzisiejszej perspektywy

Zaawansowane narzędzia programowania rozproszonego

streszczenie