Materiały pomocnicze

Weryfikacja
oszacowanego modelu
Weryfikacja merytoryczna oszacowanego modelu polega na konfrontacji otrzymanych wyników oraz
dotychczasowej
wiedzy
o
badanych
zjawiskach
ekonomicznych.
Weryfikacja
formalno-statystyczna
oszacowanego
modelu - ma na celu ocenę, czy otrzymane wyniki są
zgodne z przyjętą procedurą.
Badanie dopasowania modelu do danych empirycznych.
A. Dokładność szacunku równania
Miary te informują o tym z jaką dokładnością
oszacowane równanie wyznacza w obrębie próby
wartości zmiennej objaśnianej.
1 Współczynnik zbieżności
ϕ2
n
2
(
y
−
y
)
ˆ
∑ t
φ 2 = t =n1
2
(
)
y
−
y
∑ t
t =1
W zapisie macierzowym:
∑
ϕ =
2
2
yt
− ( X y ) αˆ
T
2
(
y
−
y
)
∑ t
T
Współczynnik zbieżności określa jaka część całkowitej
zmienności zmiennej objaśnianej nie została wyjaśniona
przez dany model ekonometryczny przez zmienne
objaśniające występujące w modelu, przybiera wartości
z p
przedziału [[0,1]
, ] Model ekonometryczny
y
y jjest lepiej
p j
dopasowany do danych empirycznych jeżeli φ2 jest bliższe
zeru.
2.Współczynnik determinacji R2
n
∑ ( yˆ t − y ) 2
R 2 = t =n1
2
(
)
y
−
y
∑ t
=1−φ 2
t =1
W zapisie
i i macierzowym:
i
R2 = 1 − ϕ 2 = 1 −
T T
2
y
−
X
y ) αˆ
(
∑ t
∑ ( yt − y ) 2
Współczynnik ten jest miarą dopasowania liniowego
modelu do danych rzeczywistych.
Określa on jaka część całkowitej zmienności zmiennej
objaśnianej
bj ś i
j została
t ł
wyjaśniona
j ś i
przez dany
d
model
d l
ekonometryczny
(przez
zmienne
objaśniające
występujące w modelu ).
Współczynnik determinacji jest odwrotnością współczynnika
zbieżności i przybiera wartości z przedziału [0,1]
Model ekonometryczny jest lepiej dopasowany do danych
empirycznych jeżeli R2 jest bliższe jedności.
3. Wariancja reszt modelu ( S e2 lub σ e2 ) oraz
3
standardowy błąd oceny ( S e lub σ e )
Wariancja reszt modelu:
n
∑ yt − yˆ t
σ e2 lub S e2 = t =1
n − (k + 1)
W zapisie
p
macierzowym:
y
σ e2 lub S e2
n
1
T
=
e
eˆ =
ˆ
∑
n − (k + 1) i =1
(
1
y T y − yˆ T yˆ
n − (k + 1)
)
Standardowy błąd oceny
σ e lub S e = σ e2
Se - odchylenie standardowe reszt ukazuje
o ile
przeciętnie odchylają się wartości teoretyczne zmiennej
objaśniającej (Y) od wartości empirycznych tych
zmiennych
4. Współczynnik zmienności resztowej Ve
Se
Ve =
∗ 100%
y
Współczynnik ten informuje nas jaką część średniego
poziomu zmiennej zależnej Y stanowi odchylenie
standardowe resztowe (jaką część średniego poziomu
zmiennej zależnej Y stanowią wahania przypadkowe).
Mniejsza wartość współczynnika Ve wskazuje na lepsze
dopasowanie modelu do danych empirycznych.
empirycznych
Dokładność szacunku parametrów
Standardowe
St
d d
bł d szacunku
błędy
k estymatorów
t
t ó
W przypadku gdy zmienne objaśniające są nielosowe,
macierz kowariancji MNK-estymatora
MNK estymatora wyraża się wzorem:
2
2
(
D (α) =σ ⋅ X X
T
)
−1
Ponieważ nie znamy wariancji zakłóceń
σ 2 zastępujemy
ją
wariancją
reszt
2
2
modelu
d l (Se lubσ e ) otrzymując
t
j w ten
t sposób
ób
2
macierz (Sα ) będącą
ę ą ą oszacowaniem macierzyy
kowariancji MNK-estymatorów.
2
Sα =
2
Se
(
⋅ X X
T
)
−1
Elementy leżące na głównej przekątnej tej macierzy
są wariancją charakteryzującą oczekiwany kwadrat
błędu estymatora.
Pierwiastek z tych wariancji jest odchyleniem
standardowym estymatorów zwanym również
średnim lub standardowym błędem szacunku:
σ α lub
l b Sα =
2
Se
Przykład:
Oszacowaliśmy model dla którego wariancja reszt modelu
jest równa:
(Se2 lubσ e2 ) = 0,7176
(
T
)
−1
Znane są również
Z
ó i ż elementy
l
t macierzy
i
odwrotnej
d t j X X .
Żeby wyznaczyć odchylenia standardowe estymatorów
należy
l ż wykonać
k ć działania:
d i ł i
⎡ 347,75807
2
D (α ) = 0,7176⋅ ⎢− 24,22513
⎢⎣− 24,13729
− 24,22513 − 24,13729⎤
1,70659
1,65713
1,65713
1,71003
⎥
⎥⎦
9
1
1
5
5
,
9
4
2
− 17,38395 − 17,32092⎤
5
6
4
2
2
,
1
1,18916
1,18916
⎥
⎥⎦
2
1
7
2
2
,
1
⎡
= ⎢ − 17,38395
⎢⎣ − 17,32092
Pierwiastki elementów leżących na głównej przekątnej
powyższej macierzy to właśnie średnie błędy ocen parametrów,
a zatem:
σ α 0 = 249,55119 = ±15,79719
σ α1 = 1,22465 = ±1,10664
σ α 2 = 1,22712 = ±1,10775