Statystyka matematyczna

Program przedmiotu:
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
30 godz. wykładów + 30 godz. ćwiczeń
Celem przedmiotu jest wprowadzenie do statystyki matematycznej jako teorii podejmowania
decyzji w warunkach niepewności (w zakresie pokrywającym wymagania egzaminu
aktuarialnego) z elementami statystyki praktycznej. Wykład obejmuje teorię estymacji i
testowania hipotez w próbach skończonych, a także podstawowe wprowadzenie do statystyki
asymptotycznej.
Wymagane wiadomości: Zaliczony kurs „Rachunek prawdopodobieństwa” .
1. Przypomnienie podstawowych faktów dotyczących wektorów losowych, rodzajów
zbieżności, twierdzeń granicznych i warunkowej wartości oczekiwanej.
2. Dystrybuanta empiryczna, nierówność Dworetzky’ego-Kiefera-Wolfowitza (bd.),
twierdzenie Gliwienki-Cantelliego, przestrzeń statystyczna, modele parametryczne i
nieparametryczne. Problemy statystyczne jako problemy decyzyjne. Reguły
niedopuszczalne i dopuszczalne, klasy istotnie zupełne. Statystyka, eksperyment
generowany przez statystykę.
3. Statystyki swobodne i statystyki dostateczne. Twierdzenie o rozkładzie warunkowym
próby względem wektora statystyk pozycyjnych.
4. Minimalne statystyki dostateczne. Kryterium faktoryzacji. Twierdzenie RaoBlackwella.
5.
Bayesowskie reguły decyzyjne. Twierdzenie o dopuszczalności bayesowskich reguł
decyzyjnych. Postać estymatorów bayesowskich parametru skalarnego.
6. Minimaksowe reguły decyzyjne. Twierdzenie o minimaksowości reguł bayesowskich
o stałej funkcji ryzyka. Estymator Rubina-Steinhausa.
7. Pojęcie nieobciążonej reguły decyzyjnej. Estymatory nieobciążone o minimalnej
wariancji.
8. Wykładnicze rodziny rozkładów, statystyki dostateczne w rodzinach wykładniczych,
statystyki zupełne, twierdzenie o minimalności statystyki dostatecznej i zupełnej,
twierdzenie o zupełności statystyk dostatecznych w rodzinach wykładniczych.
Twierdzenie Basu i twierdzenie Fishera.
9. Twierdzenie o wyznaczaniu estymatorów nieobciążonych o minimalnej wariancji.
Nierówność Cramera-Rao i informacja Fishera.
10. Twierdzenie o osiąganiu dolnego ograniczenia dla wariancji w nierówności CrameraRao. Macierz informacji Fishera. Wektorowa wersja nierówności Cramera-Rao.
Przedziały i zbiory ufności.
11. Estymatory asymptotycznie normalne, asymptotyczna nierówność typu Cramera-Rao
dla estymatorów asymptotycznie normalnych, program Fishera, asymptotyczna
efektywność.
12. Metoda największej wiarogodności. Twierdzenia o własnościach estymatorów w
próbach skończonych i twierdzenie o asymptotycznym istnieniu i normalności przy
warunkach typu Cramera.
13. Metoda najmniejszych kwadratów (MNK). Model liniowy. Twierdzenie GaussaMarkowa. Własności estymatorów w modelu z losowymi zmiennymi objaśniającymi.
MNK dla modeli nieliniowych.
14. Teoria i lemat Neymana-Pearsona. Testy najmocniejsze w rodzinach z
monotonicznym ilorazem wiarogodności. Testy nieobciążone. Test KołmogorowaSmirnowa. Test Wilcoxona. Test Kołmogorowa. Testy normalności Lillieforsa i
Shapiro-Wilka. Test chi-kwadrat. Test ilorazu wiarogodności.
Literatura:
1. J.Bartoszewicz, Wykłady ze statystyki matematycznej, PWN, 1989.
2. C.R. Rao, Modele liniowe statystyki matematycznej, PWN, 1982.
3. M. Krzyśko, Statystyka matematyczna, Wydawnictwo UAM, 1996.
4. E.L.Lehman, Teoria estymacji punktowej, PWN, 1991.
5. A.Jokiel-Rokita, R. Magiera, Modele i metody statystyki matematycznej w zadaniach, GiS,
2005.
Program przygotował: Zbigniew Szkutnik
23 marca 2012