Streszczenie rozprawy doktorskiej

UNIWERSYTET JAGIELLO‹SKI
WYDZIAŠ MATEMATYKI I INFORMATYKI
INSTYTUT MATEMATYKI
WŠASNO‘CI PROJEKCJI MINIMALNYCH
DOMINIK MIELCZAREK
Praca doktorska napisana pod kierunkiem
prof. dr hab. Grzegorza Lewickiego
Kraków 2008
PODZI†KOWANIA
Szczególne podzi¦kowania skªadam mojej »onie Joannie, która podtrzymywaªa mnie na duchu w czasie pisania tej pracy. Jej pomoc duchowa
i wiara we mnie przyczyniªa si¦ w znacznym stopniu do napisania
tej pracy.
Dzi¦kuj¦ równie» mojemu promotorowi prof. dr hab. Grzegorzowi
Lewickiemu za cenne uwagi i zaproponowanie bardzo ciekawych
problemów, których rozwi¡zanie stanowi niniejsza praca.
1
Spis tre±ci
1 Wst¦p
3
2
1 Wst¦p
Oznaczmy przez P(X, Y ) zbiór wszystkich liniowych i ci¡gªych projekcji
z przestrzeni unormowanej (X, k · k) na jej podprzestrze« Y tzn.
©
ª
P(X, Y ) = P ∈ B(X, Y ) : P|Y = Id|Y ,
gdzie B(X, Y ) jest przestrzeni¡ odwzorowa« liniowych i ci¡gªych prowadz¡cych z X do Y .
Powiemy, »e odwzorowanie P : X → Y jest projekcj¡ z X na Y wtedy i tylko
wtedy, gdy P ∈ P(X, Y ).
Aby nie byªo w¡tpliwo±ci, w caªej tej pracy zakªadamy, »e ka»dy operator
jest liniowy.
Staª¡ równ¡
λ(X, Y ) = inf {kP k : P ∈ P(X, Y )} ,
nazywamy relatywn¡ staª¡ projekcji.
Projekcj¦ P0 ∈ P(X, Y ) nazywamy minimaln¡, je±li
kP0 k = λ(X, Y ).
Analogicznie, projekcj¦ P0 ∈ P(X, Y ) nazywamy kominimaln¡, je±li
kId − P0 k = inf {kId − P k : P ∈ P(X, Y ) } .
Istniej¡ przestrzenie dla których zbiór P(X, Y ) jest zbiorem pustym. Tak jest
na przykªad w przypadku, gdy X jest przestrzeni¡ ci¡gów ograniczonych z
norm¡ supremum, natomiast Y to podprzestrze« X zªo»ona z ci¡gów zbie»nych
do zera [42] .
Je±li jednak istnieje projekcja z przestrzeni X na Y , to przestrze« Y nazywamy uzupeªnialn¡.
Dla pewnych podprzestrzeni wiadomo, »e zbiór P(X, Y ) jest niepusty.
Zachodzi bowiem nast¦puj¡ce
Twierdzenie 1.1 [43] . Niech X b¦dzie przestrzeni¡ unormowan¡, a Y jej
podprzestrzeni¡. Je»eli wymiar lub kowymiar przestrzeni Y jest sko«czony,
to istnieje projekcja z przestrzeni X na podprzestrze« Y .
Zachodzi równie» nast¦puj¡ce
Twierdzenie 1.2 [43] . Niech X b¦dzie przestrzeni¡ unormowan¡, a Y jej
podprzestrzeni¡ o kowymiarze sko«czonym. Wtedy zachodzi nierówno±¢
√
λ(X, Y ) ≤ codimY + 1.
3
W przypadku gdy kowymiar Y jest sko«czony, to wiadomo równie» jaka jest
posta¢ dowolnej projekcji ze zbioru P(X, Y ).
Twierdzenie 1.3 [43] . Niech Y b¦dzie podprzestrzeni¡ przestrzeni Banacha
X . Ponadto niech kowymiar Y b¦dzie równy k oraz
Y =
k
\
kerfi ,
i=1
gdzie funkcjonaªy f1 , . . . , fk z X ∗ s¡ liniowo niezale»ne.
Wtedy operator P jest projekcj¡ z X na Y wtedy i tylko wtedy, gdy istniej¡
y1 , . . . , yk ∈ X speªniaj¡ce warunki fi (yj ) = δij dla i, j = 1, . . . , k i takie,
»e
k
X
P (·) = Id(·) −
fi (·)yi .
i=1
Odnotujmy, »e projekcje minimalne s¡ zwi¡zane w pewnym sensie z twierdzeniem Hahna-Banacha, poniewa» w przypadku projekcji z X na Y szukamy
rozszerzenia operatora Id: Y → Y na X o mo»liwie najmniejszej normie, a
takim rozszerzeniem jest dowolna projekcja minimalna.
Minimalno±¢ projekcji jest ±ci±le zwi¡zana z nast¦puj¡c¡ nierówno±ci¡ Lebesgue'a
kx − P xk ≤ kId − P kdist(x, Y ) ≤ (1 + kP k) dist(x, Y ),
która zachodzi dla dowolnej projekcji P ∈ P(X, Y ) i dla dowolnego x ∈ X .
Nierówno±¢ ta daje oszacowanie aproksymacji dowolnego elementu x ∈ X
przez element P x ∈ Y . Wida¢, »e ta aproksymacja jest lepsza dla projekcji
P o maªej normie.
Za pocz¡tek teorii projekcji minimalnych mo»na uzna¢ twierdzenie o minimalno±ci projekcji Fouriera.
Twierdzenie 1.4 [11] . Niech Yn oznacza podprzestrze« wielomianów try-
gonometrycznych stopnia co najwy»ej n. Wtedy klasyczna projekcja Fouriera
z przestrzeni C(2π) na Yn jest minimalna.
Bardzo wa»nym poj¦ciem jest jedyno±¢ projekcji minimalnej. Projekcj¦ minimaln¡ P0 ∈ P(X, Y ) nazywamy jedyn¡, je±li jest jedyn¡ projekcj¡ minimaln¡. Przez wiele lat problem czy klasyczna projekcja Fouriera jest jedyna,
byª nierozwi¡zany. Udaªo si¦ go rozwi¡za¢ dopiero 20 lat po opublikowaniu
pracy [11].
Twierdzenie 1.5 [15] . Klasyczna projekcja Fouriera z przestrzeni C(2π) na
podprzestrze« Yn jest jedyna.
4
Oczywi±cie, projekcja minimalna nie zawsze istnieje. Jednak dla pewnych
przestrzeni wiemy, »e projekcje minimalne istniej¡.
Zachodzi bowiem nast¦puj¡ce
Twierdzenie 1.6 [17] . Niech Y b¦dzie podprzestrzeni¡ przestrzeni Banacha
X . Je±li zbiór P(X, Y ) jest niepusty i przestrze« Y jest izomorczna z przestrzeni¡
dualn¡ do pewnej przestrzeni Banacha Z , to istnieje projekcja minimalna z
X na Y .
Niestety twierdzenie 1.6, a raczej jego dowód, jest zupeªnie niekonstruktywny.
W pewnych jednak przypadkach mo»na konstruktywnie wyznaczy¢ projekcj¦
minimaln¡.
Przypomnimy podstawowe poj¦cia zwi¡zane z dziaªaniem grupy na zbiorze.
Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Banacha, a G zwart¡ grup¡ topologiczn¡. Powiemy,
»e grupa G dziaªa jako grupa operatorów na przestrzeni X , je±li ka»demu elementowi g ∈ G odpowiada ci¡gªy operator Ag : X → X o wªasno±ciach:
Ae = Id, Axy = Ax Ay ,
dla dowolnych x, y ∈ G. Operator Ag w skrócie oznaczamy przez g .
Dodatkowo zakªadamy, »e dla ustalonego x ∈ X funkcja Ag (x) jest ci¡gªa ze
wzgl¦du na zmienn¡ g .
Powiemy, »e podprzestrze« Y przestrzeni X jest niezmiennicza wzgl¦dem G
je±li
Ag (Y ) ⊂ Y,
dla dowolnego g ∈ G.
Mówimy, »e projekcja P ∈ P(X, Y ) jest przemienna z grup¡ G wtedy i tylko
wtedy, gdy dla ka»dego g ∈ G zachodzi
Ag P = P A g .
Wtedy zachodzi nast¦puj¡ce twierdzenie Rudina
Twierdzenie 1.7 [37] . Niech zwarta grupa topologiczna G dziaªa jako grupa
operatorów na przestrzeni Banacha X . Zaªó»my, »e podprzestrze« Y przestrzeni
X jest niezmiennicza wzgl¦dem grupy G. Wtedy, je±li istnieje projekcja z
przestrzeni X na Y , to dla ka»dego ε > 0 istnieje projekcja Q, która jest
przemienna z grup¡ G i taka, »e
kQk ≤ (λ(X, Y ) + ε) sup kgk2 .
g∈G
5
Dla dowolnej ustalonej projekcji P ∈ P(X, Y ) o wªasno±ci kP k ≤ λ(X, Y )+ε
szukana projekcja Q jest zdeniowana wzorem
Z
Q(x) =
gP g −1 (x)dg,
G
dla x ∈ X . Symbol dg oznacza probabilistyczn¡ miar¦ Haara na grupie G.
W szczególno±ci, je±li dla ka»dego elementu g ∈ G operatory Ag s¡ izometriami, wtedy zachodzi nast¦puj¡ce
Twierdzenie 1.8 Niech zwarta grupa topologiczna G dziaªa jako grupa op-
eratorów na przestrzeni Banacha X . Zaªó»my, »e podprzestrze« Y przestrzeni
X jest niezmiennicza wzgl¦dem grupy G. Ponadto niech dla ka»dego g ∈ G
operator Ag b¦dzie izometri¡ na X .
Wtedy, je±li istnieje dokªadnie jedna projekcja P ∈ P(X, Y ) przemienna z
grup¡ G, to projekcja ta jest minimalna i kominimalna.
Powy»sze rozumowanie nie implikuje, »e projekcja ta jest jedyna. Mo»e si¦
bowiem zdarzy¢, »e istnieje wiele projekcji nieprzemiennych z grup¡ G o minimalnej normie.
Twierdzenie 1.8 wyrosªo z dowodu twierdzenia o minimalno±ci projekcji Fouriera, przypadek ten byª jego pierwszym zastosowaniem.
Przejd¹my teraz do twierdze« dotycz¡cych jedyno±ci projekcji.
Dla dowolnej przestrzeni unormowanej X przez S(X) oznaczamy sfer¦ jednostkow¡ a przez B(X) domkni¦t¡ kul¦ jednostkow¡.
Przestrze« unormowan¡ (X, k·k) nazywamy gªadk¡ wtedy i tylko wtedy, gdy
dla ka»dego punktu x ∈ S(X) istnieje dokªadnie jeden funkcjonaª fx ∈ S(X ∗ )
taki, »e fx (x) = kxk.
Punktem ekstremalnym zbioru K nazywamy ka»dy punkt ze zbioru K , nie
b¦d¡cy ±rodkiem »adnego odcinka o ko«cach b¦d¡cych dwoma ró»nymi punktami zbioru K . Zbiór punktów ekstremalnych zbioru K oznaczamy przez
extK .
Zachodzi znane twierdzenie
Twierdzenie 1.9 [27] . Niech X b¦dzie gªadk¡ przestrzeni¡ Banacha a Y
dowoln¡ jej podprzestrzeni¡. Wtedy je±li istnieje projekcja z X na Y o normie
równej jeden, to projekcja ta jest jedyna.
Podprzestrze« Y przestrzeni unormowanej X nazwiemy sªabo oddzielaj¡c¡,
je»eli ka»dy punkt ekstremalny sfery jednostkowej S(Y ∗ ) ma jedyne rozszerzenie do punktu ze sfery jednostkowej S(X ∗ ).
6
Twierdzenie 1.10 [12] . Niech Y b¦dzie sªabo oddzielaj¡c¡ podprzestrzeni¡
przestrzeni unormowanej X . Wtedy je»eli istnieje projekcja z X na Y o
normie równej jeden, to projekcja ta jest jedyna.
Inne rezultaty dotycz¡ce problemów istnienia, jedyno±ci, oszacowania relatywnej staªej projekcji mo»na znale¹¢ w [1], [2], [4], [5], [8], [9], [13], [16], [18],
[19], [21], [20], [22], [33], [35], [38].
Oznaczmy przez
n
o
B(X) = T : X → X : T jest liniowy i ci¡gªy ,
z norm¡
kAk = sup kAxk,
kxk=1
dla A ∈ B(X).
Operator A ∈ B(X) jest zwarty, je±li domkni¦cie zbioru A (B (X)) jest zwarte
w X.
Oznaczmy przez
n
o
K(X) = T ∈ B(X) : T jest zwarty ,
z norm¡
kAk = sup kAxk,
kxk=1
dla A ∈ K(X).
Przejd¹my teraz do omówienia gªównych wyników pracy. Praca ta skªada si¦
z sze±ciu rozdziaªów. W drugim rozdziale pracy w lemacie ?? podana zostaªa
ogólna posta¢ projekcji na pewne podprzestrzenie o kowymiarze niesko«czonym.
Korzystaj¡c z lematu ?? w podrozdziale drugim zostaªa wyznaczona projekcja minimalna i norma tej projekcji z przestrzeni funkcji ci¡gªych na odcinku [0, 1] na podprzestrze« Y funkcji, które zeruj¡ si¦ na ci¡gu {xn }∞
n=1 ⊂
[0, 1] monotonicznie zbie»nym do jedno±ci (twierdzenia ??, ??, ??, ??).
Gªównymi twierdzeniami w tej pracy s¡ nast¦puj¡ce
Twierdzenie 1.11 [30] . Niech H b¦dzie o±rodkow¡ i rzeczywist¡ przestrzeni¡
Hilberta. Wtedy istnieje dokªadnie jedna projekcja Pa ∈ P (K(H), Y ) o normie
równej jeden, gdzie
ª
©
Y = A ∈ K(H) : A = AT .
7
Projekcja ta wyra»a si¦ wzorem
Pa (A) =
A + AT
,
2
dla dowolnego operatora A ze zbioru K(H), oczywi±cie AT oznacza operator
sprz¦»ony do A.
Projekcj¦ Pa nazywamy projekcj¡ u±redniania.
Dowód tego twierdzenia skªada si¦ z dwóch cz¦±ci. Pierwsza cz¦±¢ to twierdzenie ?? dotycz¡ce przypadku, gdy H jest niesko«czenie wymiarow¡, rzeczywist¡ i o±rodkow¡ przestrzeni¡ Hilberta.
Druga cz¦±¢ to twierdzenie ?? dotycz¡ce przypadku, gdy H jest rzeczywist¡,
sko«czenie wymiarow¡ przestrzeni¡ Hilberta.
Twierdzenie 1.12 Niech H b¦dzie o±rodkow¡, rzeczywist¡ przestrzeni¡ Hilberta.
Niech Q ∈ P (U(H), Y1 ) b¦dzie dowoln¡ projekcj¡ o normie równej jeden,
gdzie
©
ª
U(H) = A ∈ B(H) : A − AT jest zwarty ,
©
ª
Y1 = A ∈ B(H) : A = AT .
Wtedy Q wyra»a si¦ wzorem
Q(A) =
A + AT
,
2
dla A ∈ U(H).
W rozdziale czwartym koncentrujemy si¦ na przestrzeni macierzy kwadratowych z norm¡ generowan¡ przez norm¦ symetryczn¡.
Bardziej szczegóªowo, niech
Xn = {A: Rn → Rn : A jest liniowe} ,
©
ª
Yn = A ∈ Xn : A = AT .
Po ustaleniu w przestrzeni Rn bazy kanonicznej, ka»dy element z przestrzeni
Xn jest macierz¡ kwadratow¡ o wymiarze n.
Powiemy, »e norma k · k na przestrzeni Rn jest symetryczna, je±li speªnia
warunek
w
w w n
w n
w
w wX
wX
w
w w
w
εi aσ(i) ei w ,
ai ei w = w
w
w
w w
w
i=1
i=1
8
dla dowolnych ai ∈ R, dowolnej permutacji σ zbioru {1, . . . , n}, dowolnych
εi ∈ {−1, 1}. Oczywi±cie, ei , to i-ty wektor bazy kanonicznej w przestrzeni
Rn .
Powiemy, »e norma k · k na przestrzeni Xn jest generowana przez norm¦
symetryczn¡ na przestrzeni Rn wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje norma k · k0
symetryczna na przestrzeni Rn i taka, »e
kAk = sup kAxk0 ,
kxk0 =1
dla dowolnej macierzy A ∈ Xn .
Gªównym rezultatem w rozdziale czwartym jest nast¦puj¡ce
Twierdzenie 1.13 [31] . Je±li w przestrzeni unormowanej (Xn , k·k) norma
macierzy k · k jest generowana przez norm¦ symetryczn¡ na przestrzeni Rn ,
to projekcja u±redniania Pa ∈ P(Xn , Yn ) okre±lona wzorem
Pa (A) =
A + AT
,
2
dla A ∈ Xn , jest projekcj¡ minimaln¡.
W rozdziale tym zostaªa wyliczona norma projekcji u±redniania w przypadku
normy macierzy generowanej przez normy
k · k1 , k · k∞ (twierdzenie ??, twierdzenie ??).
Wykazano równie», »e je±li norma macierzy nie jest generowana przez norm¦
symetryczn¡, to projekcja u±redniania nie jest minimalna (twierdzenie ??).
Wyniki rozdziaªu trzeciego zostaªy opublikowane w [30] . Natomiast wyniki
z rozdziaªu czwartego opublikowano w [31] .
9
Literatura
[1] M. Baronti, P. Papini, Norm one projections onto subspaces of lp , Ann.
Mat. Pura Appl. 152 (1988), 53-61.
[2] J. Blatter, E. W. Cheney, Minimal projections onto hyperplanes in sequence spaces, Ann. Mat. Pura Appl. 101 (1974), 215-227.
[3] H. F. Bohnenblust, Subspaces of lp,n -spaces, Amer. J. Math. 63 (1941),
64-72.
[4] B. L. Chalmers, G. Lewicki, Symmetric spaces with maximal projections
constants, J. Funct. Anal. 200 (1) (2003), 1-22.
[5] B. L. Chalmers, G. Lewicki, Symmetric subspaces of L1 with large projections constants, Studia Math. 134 (1999), 119-134.
[6] B. L. Chalmers, D. Mupasiri and M. Prophet, A characterization and
equations for shape-preserving projections, Journ. Approx. Th. vol. 138
(2006), 184 - 196.
[7] B. L. Chalmers, F. T. Metcalf, The determination of minimal projections
and extensions in L1 , Trans. Amer. Math. Soc. 329 (1992), 289-305.
[8] E. W. Cheney, P. D. Morris, On the existence and characterization of
minimal projections, J. Reine Angew. Math. 270 (1974), 61-76.
[9] E. W. Cheney, W. A. Light, Approximation Theory in Tensor Product
Spaces, Lectures Notes in Math. vol 1169, Springer-Verlag, Berlin (1985).
[10] E. W. Cheney, C. R. Hobby, P. D. Morris, F. Schurer and D. E. Wulbert,
On the minimal property of Fourier projection, Bull. Amer. Math. Soc.
75 (1969), 51-52.
[11] E. W. Cheney, C. R. Hobby, P. D. Morris, F. Schurer and D. E. Wulbert,
On the minimal property of Fourier projection, Trans. Amer. Math. Soc.
143 (1969), 249-258.
[12] E. W. Cheney, K. H. Price, Minimal projections in Approximation Theory, Proc. Symp. Lancaster, July 1969, London (1970), 249-258. Trans.
Amer. Math. Soc. 143 (1969), 249-258.
[13] H. B Cohen, F. E. Sullivan, Projections onto cycles in smooth, reexive
Banach spaces, Pac. J. Math. 265 (1981), 235-246.
10
[14] H. S. Collins, W. Ruess, Weak compactness in spaces of compact operators and of vector-valued functions, Pac. J. Math. 106 (1983), 45-70.
[15] S. D. Fisher, P.D. Morris, D.E. Wulbert, Unique minimality of Fourier
projections, Trans. Amer. Math. Soc. 265 (1981), 235-246.
[16] C. Franchetti, Projections onto hyperplanes in Banach spaces, J. Approx.
Theory 38 (1983), 319-333.
[17] J. R. Isbell, Z. Semadeni, Projections constants and spaces of continuous
functions, Trans. Amer. Math. Soc. 107 no. 1 (1963), 38 - 48.
[18] J. E. Jamison, A. Kaminska and G. Lewicki, One-complemented subspaces of Musielak-Orlicz sequence spaces, Journ. Approx. Th. vol. 130,
(2004), 1 - 37.
[19] H. Koenig, Spaces with large projections constants, Isreal J. Math. 50
(1985), 181-186.
[20] H. Koenig, N. Tomczak-Jaegermann, Norms of minimal projections, J.
Funct. Anal. 119 (1994), 253-280.
[21] H. Koenig, N. Tomczak-Jaegermann, Bounds for projection constants
and 1-summing norms, Trans. Amer. Math. Soc. 320 (1990), 799-823.
[22] G. Lewicki, Best approximation in spaces of bounded linear operators,
Dissertations Math. 330 (1994), 1-103.
[23] G. Lewicki, On the unique minimality of the Fourier type-type extensions
in L1 space, in: "Proceedings Fifth Internat. Conf. On Function Spaces,
Poznan 1998", Lect. Not. Pure and Applied Math. 213 (1998), 337-345.
[24] G. Lewicki, G. Marino and P. Pietramala, Fourier-type minimal extensions in real L1 -space, Rocky Mount.J.Math. 30 no.3 (2000), 1025-1037.
[25] G. Lewicki, M. Prophet, Codimension-one minimal projections onto
Haar subspaces, Journ. Approx. Th. vol. 127 (2004), 198 - 206.
[26] G. Lewicki, M. Prophet, Minimal multi-convex projections, Studia Math.
178 (2007), 99-124.
[27] G. Lewicki, L. Skrzypek, Chalmers-Metcalf operator and uniqueness of
minimal projections, Journ. Aprox. Th. 148 (2007), 71-91.
[28] P. V. Lambert, Minimum norm property of the Fourier projection in
spaces of continuous function Bull. Soc. Math. Belg. 21 (1969), 359-369.
11
[29] P. V. Lambert, Minimum norm property of the Fourier projection in
spaces of L1 -spaces Bull. Soc. Math. Belg. 21 (1969), 370-391.
[30] D. Mielczarek, The unique minimality of an averaging projection,
Monatsch. Math. 154 (2008), 157-171.
[31] D. Mielczarek, Minimal projections onto spaces of symmetric matrices,
Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica 44 (2006), 69-82.
[32] J. Musielak, Wst¦p do analizy funkcjonalnej, PWN (1989).
[33] Wª. Odyniec, G. Lewicki, Minimal projections in Banach Spaces, in:
Lectures Notes in Mathematics, Vol. 1449, Springer, Berlin, Heildelberg,
New York, 1990.
[34] R. Phelps, Lectures on Choquet's Theorem, in: D.Van Nistrand Company, Vol. 1449, Springer, New York 1996.
[35] B. Randriannantoanina, One-complemented subspaces of real sequence
spaces, Results Math. (33) (1998), 139-154.
[36] S. Rolewicz, On minimal projections of the spaces L1 ([0, 1]) on 1codimensional subspace, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 34 (1996), 151153.
[37] W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN (2002).
[38] L. Skrzypek, Uniqueness of minimal projections in smooth matrix spaces,
J. Approx. Theory (107) (2000), 315-336.
[39] L. Skrzypek, B. Shekhtman, Uniqueness of minimal projections onto
two-dimensional subspaces, Studia Math. (168) (2005), 237-284.
[40] L. Skrzypek, B. Shekhtman, Norming points and unique minimality of
orthogonal projections, Abstract and Applied Analysis (2006), 1-17.
[41] L. Skrzypek, On the uniqueness of norm-one projection in James-type
spaces generated by lattice norms, East Journal an Approximations (6)
(2000), 21-51.
[42] A. Sobczyk, Projections of the space (m) on its subspace c0 , Bull. Amer.
Math. Soc. 47 (1941), 938-947.
[43] P. Wojtaszczyk, Banach Spaces For Analysts, Cambridge Univ. Press,
1991.
12