wykład 12

Popęd i popęd bryły
Bryła w ruchu postępowym. Zasada pędu i popędu ma postać:
p 2 − p1 = S1, 2
gdzie:
p = m ⋅ vc
pęd bryły w ruchu postępowym
t2
S1, 2 = ∫ W ⋅ dt
popęd siły działającej na bryłę w ruchu postępowym
t1
zaś:
vc
prędkość środka masy bryły (równa prędkości każdego punktu)
W
siła działająca na bryłę zredukowana do środka masy ( M c = 0 )
Prof. Edmund Wittbrodt
Pokręt i kręt bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada krętu, krętu i pokrętu oraz zasada zachowania krętu. Dla ruchu postępowego, obrotowego i płaskiego bryły
słuszne są zasady krętu, krętu i pokrętu oraz zasada zachowania krętu, które możemy sformułować w postaci następujących
twierdzeń.
Twierdzenie 1
Pochodna względem czasu krętu ciała, względem punktu O, jest równa momentowi sił zewnętrznych działających na
to ciało względem tego samego punktu O
K& O = M O .
(4.68)
Równanie (4.68) możemy też przedstawić w postaci
t2
∫
K O 2 − K O1 = M O dt
t1
.
(4.69)
Twierdzenie 2
Pokręt sił zewnętrznych względem punktu O działających na ciało jest równy przyrostowi krętu tego ciała
Twierdzenie 3
Jeżeli moment sił zewnętrznych działających na ciało względem punktu O jest równy zero, to kręt tego ciała
względem punktu O nie może ulec zmianie
K O = const .
(4.70)
Prof. Edmund Wittbrodt
Pokręt i kręt bryły w ruchu postępowym względem nieruchomego punktu O obliczamy:
t2
t2
t1
t1
Π1, 2 = ∫ M O ⋅ dt = rOC × ∫ W ⋅ dt = rOC × S1, 2
K O = rOC × mv c
pokręt,
kręt bryły w ruchu postępowym
gdzie: rOC – wektor promień o początku w punkcie O i końcu w środku masy ciała, vC – prędkość środka masy bryły
(jednakowa dla wszystkich punktów), m – masa bryły.
mv
C
rOC
KO
O
Kręt bryły w ruchu postępowym
Prof. Edmund Wittbrodt
Pokręt i kręt bryły w ruchu obrotowym obliczamy następująco. Równanie (4.77) przekształcamy do postaci
d
( J zω ) = M z ,
dt
J zω 2
∫
a po scałkowaniu
J zω1
t2
d ( J zω ) = ∫ M z dt
t1
,
otrzymujemy
t2
J zω 2 − J zω1 = M z dt
∫
t1
gdzie:
J zω
,
(4.83)
kręt bryły w ruchu obrotowym,
t2
∫ M z dt
t1
pokręt (impuls momentu).
Prof. Edmund Wittbrodt
Pokręt i kręt bryły w ruchu płaskim względem dowolnego, nieruchomego punktu O, obliczamy:
t2
Π1, 2 = ∫ ( M C + rOC × WC ) ⋅ dt
pokręt siły i momentu działającego na bryłę
t1
K O = K C + rOC × mvC
kręt bryły względem punktu O
gdzie: KC – kręt ciała względem środka masy, rOC – wektor a początku w punkcie O i końcu w środku masy bryły,
vC – prędkość środka masy bryły, m – masa bryły.
vC
C
rOC
KO
Kręt bryły w ruchu płaskim
O
Prof. Edmund Wittbrodt
Praca i energia bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada energii i pracy ma w tym przypadku postać podobną, jak dla punktu materialnego.
Przyrost energii kinetycznej przy przemieszczaniu ciała z jednego położenia w drugie jest równy pracy wszystkich sił
zewnętrznych działających na to ciało
∆ E = E2 − E1 = L1,2 ,
(4.72)
gdzie: E1 – energia kinetyczna bryły w położeniu początkowym, E2 – energia kinetyczna bryły w położeniu końcowym, L1,2
– praca sił i zewnętrznych, wykonana na drodze od położenia początkowego do końcowego bryły.
Różniczkową postać zasady energii otrzymamy przez zróżniczkowanie (4.72) względem czasu
E& = N
,
gdzie: E – energia kinetyczna bryły,
(4.73)
N=
dL
dt – moc.
Prof. Edmund Wittbrodt
Pracę i energię bryły w ruchu postępowym możemy obliczyć, określając najpierw energię kinetyczną masy elementarnej
a)
W
dm
b)
dr
2
v
1
tor
dE =
Bryła w ruchu postępowym:
a) określanie energii kinetycznej,
b) określanie pracy sił przyłożonych do bryły
1
dmv 2 , co po scałkowaniu daje energię kinetyczną bryły w ruchu postępowym w postaci
2
mv 2
E=
2 ,
gdzie:
m–
masa bryły,
v
– prędkość punktu bryły (jednakowa dla wszystkich punktów).
Pracę sił przyłożonych do ciała poruszającego się ruchem postępowym (rys. 4.25b) możemy obliczyć określając najpierw
pracę elementarną dL = W ⋅ dr , skąd
r2
r2
r1
r1
L1, 2 = ∫ dL = ∫ W ⋅ dr .
(4.71)
Prof. Edmund Wittbrodt
Pracę i energię bryły w ruchu obrotowym obliczamy, przekształcając z kolei równanie (4.77) następująco
Jz
dω
= Mz
dt
dϕ ,
co możemy dalej zapisać
dϕ
Jz
dω = J zω dω = M z dϕ ,
dt
po scałkowaniu
ω2
ϕ2
ω1
ϕ1
∫ J zω d ω = ∫ M z dϕ ,
przyjmuje postać
E2 − E1 = L1,2 ,
gdzie:
J zω 2
E=
2
(4.84)
energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym,
ϕ2
L1,2 =
∫ M z dϕ
ϕ1
praca par sił (momentów) działających na bryłę na drodze od
ϕ1
do
ϕ2 .
Prof. Edmund Wittbrodt
Praca i energia bryły w ruchu płaskim jest odpowiednio sumą pracy oraz energii ruchu postępowego środka masy i ruchu
obrotowego bryły względem osi przechodzącej przez środek masy. Energię kinetyczną obliczamy więc
vC2
ω2
E = m + JC
2
2
.
(4.92)
Z kolei praca wykonana przez siły i momenty przyłożone do ciała, zredukowane do jego środka masy, jest sumą
s2
ϕ2
s1
ϕ1
L1,2 = ∫ WC ⋅ ds +
∫ M C dϕ ,
(4.93)
gdzie: 〈 s1 , s2 〉 – droga przebyta przez środek masy bryły, 〈ϕ1 , ϕ 2 〉 – kąt obrotu bryły.
Prof. Edmund Wittbrodt
Obliczanie reakcji dynamicznych łożysk
Do obliczania reakcji dynamicznych łożysk w ruchu obrotowym bryły stosujemy zasadę d’Alemberta:
Bx
z
l
dAt
α
By
x
dAn
ρ
α
z
Ax
ω
y
ε
Ay
dm
x
y
Określanie reakcji dynamicznych łożysk bryły ruchu obrotowym
W przypadku obliczania reakcji dynamicznych łożysk (rys. 4.27) warunki równowagi bryły są następujące:
Ax + Bx +
By l +
∫
(m)
∫ dAn sin α + ∫ dAt cos α = 0 ,
( m)
zdAn cos α −
Ay + By +
(m)
∫
( m)
zdAt sin α = 0
,
2
gdzie: dAn = dm ρω , dAt = dmερ , a ponadto:
Bx l +
∫
(m)
∫ dAn cos α − ∫ dAt sin α = 0 ,
(m)
(m)
zdAn sin α +
ρ sin α = x , ρ cos α = y .
∫
( m)
zdAt cos α = 0
,
(4.79)
Prof. Edmund Wittbrodt
Po podstawieniu (4.79) do (4.78) otrzymujemy:
Ax + Bx + ω 2
Ay + By + ω 2
By l + ω 2
∫
( m)
Bx l + ω 2
∫
xdm + ε
∫
ydm − ε
(m)
ydm = 0
,
∫
xdm = 0
,
( m)
( m)
yzdm − ε
( m)
∫
( m)
∫ xzdm + ε ∫
( m)
∫
xzdm = 0 ,
( m)
a po skorzystaniu z zależności:
(4.80)
yzdm = 0 ,
∫
xdm = xC m ,
∫
ydm = yC m ,
( m)
( m)
∫
( m)
∫
(m)
xzdm = Dxz ,
(4.81)
yzdm = D yz ,
Prof. Edmund Wittbrodt
otrzymujemy:
Ax + Bx = −ω 2 xC m − ε yC m ,
Ay + B y = −ω 2 yC m + ε xC m ,
By l = −ω 2 Dyz + ε Dxz .
(4.82)
Bx l = −ω 2 Dxz − ε D yz ,
Z powyższych równań wynika, że reakcje dynamiczne w łożyskach będą równe zero, gdy spełnione będą dwa warunki:
1) środek masy leży na osi obrotu bryły (xC = yC = 0)
2) oś obrotu jest jedną z głównych osi bezwładności obracającej się bryły (Dxz = Dyz = 0).
Wirnik, w którym spełnione są te warunki nazywamy wyrównoważonym.
Prof. Edmund Wittbrodt