wykład 15

Kinematyka bryły
Ruch postępowy
Jeżeli bryła sztywna porusza się w taki sposób, że wektor
to ruch bryły sztywnej nazywa się ruchem postępowym.
rAB ,
łączący punkty A i B tej bryły, pozostaje cały czas równoległy,
Tory wszystkich punktów bryły, np. A i B, mogą być dowolne, ale są one równoległe, a ponadto mają one w dowolnej
chwili czasu jednakowe prędkości i przyspieszenia. Badanie ruchu postępowego bryły sprowadza się do badania ruchu
jednego, dowolnie wybranego punktu bryły.
położenie bryły w chwili t
z
rAB (t )
A
rA (t )
O
położenie bryły w chwili t+∆t
B
A′
rB (t )
B′
Ruch postępowy bryły sztywnej
y
rAB (t ) = rB (t ) − rA (t ) = const
x
W ruchu postępowym wszystkie punkty bryły poruszają się po identycznych torach równolegle przesuniętych, a w danej
chwili czasu wszystkie punkty bryły mają takie same prędkości i takie same przyspieszenia
v = v A = vB ,
a = a A = aB .
(3.27)
Bryłę w ruchu postępowym można traktować jako punkt.
Prof. Edmund Wittbrodt
Ruch obrotowy
Jeżeli dwa punkty ciała sztywnego unieruchomimy, to prosta przechodząca przez te dwa punkty pozostaje nieruchoma i
ciało może się tylko obracać wokół tej prostej.
oś obrotu
z
C
ω
Punkty o takich samych
prędkościach
i przyspieszeniach
φ
O
A
B
Ruch obrotowy bryły
płaszczyzna prostopadła do osi obrotu
Tego rodzaju ruch nazywamy ruchem obrotowym, a wspomnianą prostą nazywamy osią obrotu.
Punkty leżące na prostej równoległej do osi obrotu mają takie same prędkości i przyspieszenia. W ruchu obrotowym
wystarczy analizować jeden, dowolnie wybrany przekrój ciała.
y
A
ρ
O
φ
x
Przekrój bryły prostopadły do osi obrotu
Prof. Edmund Wittbrodt
Położenie:
1) kąt ϕ = ϕ(t),
2) promień ρ = const (ciało jest sztywne).
Dla określenia położenia dowolnego punktu A należy podać:
Prędkość:
Prędkość kątową bryły obliczamy ze wzoru
ω = lim
∆t → 0
∆ϕ dϕ
=
= ϕ& ,
dt
∆t
a wektor prędkości kątowej
ω = ωk
.
(3.28)
Prędkość liniową punktu A, w układzie osi x,y,z, którego położenie określa wektor wodzący
zależności
v = r& = ω × r =
i
j
k
0
0
ω = − ρω sin ϕ i + ρω cos ϕ j
ρ cos ϕ
ρ sin ϕ
.
r [ ρ cos ϕ , ρ sin ϕ , 0] ,
obliczamy z
(3.29)
0
y
v
vy j
Zatem:
A
vxi
r
O
φ
gdzie:
v = vx i + v y j
vx = − ρω sin ϕ ,
,
v y = ρω cos ϕ ,
v = vx 2 + v y 2 = ωρ .
x
Prędkość punktu A w ruchu obrotowym bryły
Prof. Edmund Wittbrodt
Prędkość liniową punktu A możemy też wyrazić przyjmując układ współrzędnych naturalnych, taki że jedna z osi
pokrywa się z promieniem wodzącym, a druga jest do niej prostopadła.
t
y
v
A
ρ
φ
x
tor
n
Przy założeniu
ρ = const
mamy:
gdzie
v = vet ,
v = ρω
Prędkość punktu bryły w ruchu obrotowym
we współrzędnych naturalnych
(3.30)
.
Prof. Edmund Wittbrodt
Przyspieszenie:
ε = ω& = ϕ&& ,
Przyspieszenie kątowe bryły obliczamy ze wzoru
a wektor przyspieszenia
ε = εk
.
(3.31)
Przyspieszenie liniowe punktu A, w układzie osi x, y, z, obliczamy
y
ay i
a
A
ax i
x
a = v& =
d
(ω × r ) = ω& × r + ω × r&
dt
Ponieważ
r& = v = ω × r
,
.
(3.32)
ω& = ε
Na podstawie (1.19a) mamy
a = ε × r − ω 2r =
Przyspieszenie punktu bryły w ruchu obrotowym
, to
a = ε × r + ω × (ω × r ) .
ω × (ω × r ) = (ω ⋅ r )ω − (ω ⋅ ω )r = (0 ⋅ rx + 0 ⋅ ry + ω ⋅ 0) − ω 2 r = −ω 2 r
i
j
k
0
0
ε − ω 2 [ ρ cos ϕ i + ρ sin ϕ j ] ,
ρ cos ϕ
ρ sin ϕ
a ostatecznie
, więc przyspieszenie punktu jest równe
a = ax i + a y j
,
(3.33)
0
gdzie:
ax = − ρ (ε sin ϕ + ω 2 cos ϕ ) ,
a y = ρ (ε cos ϕ − ω 2 sin ϕ ) .
(3.33a)
Prof. Edmund Wittbrodt
Przyspieszenie liniowe punktu A możemy też wyznaczyć we współrzędnych naturalnych. Na podstawie wzoru (3.19), przy
ρ = const oraz s(t) = ρϕ(t), mamy
t
at et
a
A
anen
ρ
s(t)
ϕ(t)
n
Przyspieszenie punktu bryły w ruchu obrotowym
we współrzędnych naturalnych
a = at et + an en ,
(3.33b)
gdzie:
at = &&
s = ρϕ&& = ρε
,
an =
s&2
ρ
=
ρ 2ϕ& 2
= ρϕ& 2 = ρω 2 .
ρ
Prof. Edmund Wittbrodt