Okręgi o środkach w punktach A, B, C, tworzących

Treść:
Okręgi o środkach w punktach A, B, C, tworzących trójkąt i promieniach odpowiednio a, b, c
(przy czym a > b oraz a > c) położone są tak, że okręgi B i C są wewnętrznie styczne do okręgu
A, oraz zewnętrznie styczne do siebie (patrz drugi (dolny) rysunek poniżej). Znamy promień a.
Znaleźć obwód trójkąta ABC.
Rozwiązanie:
Jeżeli mogę posłużyć się następującymi twierdzeniami:
• (1) Środki okręgów stycznych i ich punkt styczności leżą na jednej prostej.
• (2) Odległość środków okręgów stycznych zewnętrznie jest równa sumie ich promieni.
• (3) Odległość środków okręgów stycznych wewnętrznie jest równa modułowi różnicy ich
promieni.
to rozwiązanie zadania jest natychmiastowe:
Okręgi B i C są styczne zewnętrznie, więc mamy
równość: BC = b + c. Okręgi A i B są styczne wewnętrznie, więc AB = |a – b|, a ponieważ z założenia
a > b, więc AB = a – b. Z tego samego powodu
AC = a - c. Zatem długość p obwodu trójkąta ABC
wynosi:
p = AB + BC + AC = (a − b) + (b + c) + (a − c) = 2 a
Jeżeli nie można posługiwać się powyższymi twierdzeniami - patrz niżej.
Dowiedziemy twierdzenia (1). W ramce oznaczonej “fałsz” na rysunku obok jest sytuacja,
gdzie punkt styczności P nie leży na odcinku
OY, łączącym środki O i Y okręgów stycznych zewnętrznie (musiałem przesunąć punkt
Y, aby cokolwiek było widać, ale jest to środek
okręgu). Styczna jest jedna dla okręgów stycznych (to jest określenie stycznych okręgów).
Wobec tego kąty odcinków OP i YP do tej
stycznej są proste. Ale wobec tego kąt OPY
= 180◦ . Jest to możliwe jedynie, gdy punkty
O, P, Y są współliniowe. Analogicznie można
rozumować dla okręgów stycznych wewnętrznie.
Skoro udowodniliśmy (1) to na rysunku obok OZ = OQ + QZ, czyli odległość środków okręgów
O, Z jest równa sumie promieni, czyli twierdzenie (2). Analogicznie OX = OR - XR, czyli mamy
twierdzenie (3).
Pozdrowienia - Antek