Zestaw 11 Zadanie 1 Udowodnić, że okrąg, którego średnicą jest

Zestaw 11
Zadanie 1
Udowodnić, że okrąg, którego średnicą jest bok trójkąta, przechodzi przez punkty, które są
spodkami wysokości na dwóch pozostałych bokach tego trójkąta.
Zadanie 3
Wiedząc, że
x
1
jest liczbą całkowitą udowodnić, że
x
2
x
1
2
x
także jest liczbą całkowitą.
Zadanie 3
Przekątne AC i BD kwadratu ABCD przecinają się w punkcie O. M jest środkiem odcinka OD, N
środkiem odcinka BC. Udowodnić, że trójkąt AMN jest prostokątny równoramienny.
Zadanie 4
Pieszy przeszedł 3/8 długości mostu AB i usłyszał nadjeżdżający z tyłu autobus. Gdyby pobiegł do
A, to właśnie tam spotkałby autobus, a gdy pobiegnie do B, to tam dogoni go autobus. Z jaką
prędkością biegnie pieszy, jeżeli autobus jedzie z prędkością 60 km/h?
Zadanie 5
W trójkąt wpisano okrąg styczny do boków AB, BC i AC odpowiednio w punktach M, D, N.
Znaleźć pole tego trójkąta wiedząc, że |NC| = 3, |MA| = 2 i kąt ACB ma miarę 60.
Zadanie 6
Liczba abcabc jest podzielna przez 10985. Jaka to liczba?
Zadanie 7
Która z liczb jest większa 3100 – 2150 czy 350 + 275 ?
Zadanie 8
Liczba x podzielona przez a daje iloraz 69 i pewną resztę r. Ta sama liczba podzielona przez
kwadrat liczby a daje iloraz 23 i tę samą resztę r. Znaleźć największą liczbę o tej własności.
Zadanie 9
Oblicz odległość początku układu współrzędnych od prostej y = 2x + 4.
Zadanie 10
Udowodnić, że dla każdej liczby nieparzystej n, liczba postaci n3 – n2 – n + 1 jest podzielna przez
16.